Funktion umkehrbar? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Mo 02.07.2012 | | Autor: | deb01 |
| Aufgabe | Die Funktion f:R->R, f(x)= sin x +2x-1 sei gegeben.
a) Zeigen Sie, dass f eine Umkehrfunktion hat.
b) Berechnen Sie das Taylor-Polynom zweiten Grades für g:=f^-1 zum Entwicklungspunkt [mm] \pi. [/mm] |
Hallo Leute,
ich bin das erste mal in diesem Forum und entschuldige mich vorab, wenn ich irgendwas falsch gemacht bzw. vergessen habe zu berücksichtigen.
Ich habe Probleme bei der AUfgabenstellung a)
Ich soll zeigen dass f eine Umkehrfunktion hat, leider ist Mathe nicht gerade meine Stärke.
Mein Lösungsansatz: Eine Funktion f ist umkehrbar, wenn f injektiv+surjektiv, also bijektiv ist.
Leider weiß ich auch nicht, wie ich das zeigen soll?! Ich habe ein bisschen recherchiert, aber einen richtigen Ansatz, mit dem ich wirklich vorankomme, habe ich leider nicht gefunden.
Könntet ihr mir einen Ansatz bzw Tipp geben?
Lg
Deniz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Mo 02.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion f:R->R, f(x)= sin x +2x-1 sei gegeben.
> a) Zeigen Sie, dass f eine Umkehrfunktion hat.
> b) Berechnen Sie das Taylor-Polynom zweiten Grades für
> g:=f^-1 zum Entwicklungspunkt [mm]\pi.[/mm]
> Hallo Leute,
>
> ich bin das erste mal in diesem Forum und entschuldige mich
> vorab, wenn ich irgendwas falsch gemacht bzw. vergessen
> habe zu berücksichtigen.
>
> Ich habe Probleme bei der AUfgabenstellung a)
> Ich soll zeigen dass f eine Umkehrfunktion hat, leider ist
> Mathe nicht gerade meine Stärke.
> Mein Lösungsansatz: Eine Funktion f ist umkehrbar, wenn f
> injektiv+surjektiv, also bijektiv ist.
> Leider weiß ich auch nicht, wie ich das zeigen soll?! Ich
> habe ein bisschen recherchiert, aber einen richtigen
> Ansatz, mit dem ich wirklich vorankomme, habe ich leider
> nicht gefunden.
> Könntet ihr mir einen Ansatz bzw Tipp geben?
>
> Lg
>
> Deniz
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Zur Surjektivität zeige:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)= \infty [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow
- \infty}f(x)=- \infty
[/mm]
Mit dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen folgt dann : [mm] f(\IR)=\IR.
[/mm]
Zur Injektivität:
Zeige: f'(x)>0 für alle x [mm] \in \IR. [/mm] Damit ist f streng wachsend und somit injektiv.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mo 02.07.2012 | | Autor: | deb01 |
Hallo Fred,
erstmal vielen Dank für die Antwort.
Für die Surjektivität bedeutet das dann, dass ich einen beliebigen positiven Wert wähle und zeige, dass die Funktion sich gg Unendlich, und für einen beliebigen negativen Wert die Funktion sich gg - unendlich läuft?
Habe ich das richtig verstanden?
Mittels der Ableitung, die > 0 ist, zeige ich dann die Injektivität. Dadurch ist die Funktion bijektiv und somit umkehrbar.
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Mo 02.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> erstmal vielen Dank für die Antwort.
> Für die Surjektivität bedeutet das dann, dass ich einen
> beliebigen positiven Wert wähle und zeige, dass die
> Funktion sich gg Unendlich, und für einen beliebigen
> negativen Wert die Funktion sich gg - unendlich läuft?
> Habe ich das richtig verstanden?
nein. Ist Dir denn klar, was
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)= \infty [/mm] $ und $ [mm] \limes_{x\rightarrow - \infty}f(x)=- \infty [/mm] $
bedeuten?
> Mittels der Ableitung, die > 0 ist, zeige ich dann die
> Injektivität.
Eine streng monotone Funktion ist injektiv. Ist Dir klar warum ?
FRED
> Dadurch ist die Funktion bijektiv und somit
> umkehrbar.
> Stimmt das so?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Mo 02.07.2012 | | Autor: | deb01 |
> nein. Ist Dir denn klar, was
>
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)= \infty[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow - \infty}f(x)=- \infty[/mm]
>
> bedeuten?
Ich denke schon. Der Grenzwert der Funktion geht gegen unendlich wenn x gegen unendlich geht.
Wenn x gegen - unendlich geht, geht die Funktion auch gegen - unendlich.
>
>
> > Mittels der Ableitung, die > 0 ist, zeige ich dann die
> > Injektivität.
>
>
> Eine streng monotone Funktion ist injektiv. Ist Dir klar
> warum ?
Da jeder Wert nur einmal angenommen werden kann. Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mo 02.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Dann zeig mal, dass es zu jedem [mm] y_0 \in \IR [/mm] genau ein [mm] x_0 \in \IR [/mm] gibt mit [mm] f(x_0)=y_0.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mo 02.07.2012 | | Autor: | deb01 |
Ganz ehrlich, ich weiss nicht wie ich das zeigen soll?
Außerdem ist der Graph der abgeleiteten Funktion die Cosinus-Funktion um 2 auf der y-Achse nach oben verschoben.
Somit sehe ich vom Graph her keine monton wachsende Funktion.
Jetzt bin ich irgendwie total verwirrt?! :(
Gruß
Deniz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mo 02.07.2012 | | Autor: | fred97 |
1. Es ist f'(x)=cos(x)+2 [mm] \ge [/mm] -1+2=1>0 für alle x. Damit ist f streng wachsend und somit injektiv.
2. Sei [mm] y_0 \in \IR.
[/mm]
Wegen [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty [/mm] gibt es ein b [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] f(b)>y_0.
[/mm]
Wegen [mm] \limes_{x\rightarrow - \infty}f(x)=- \infty [/mm] gibt es ein a [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] f(a)
Aus 1. folgt: a<b. Der Zwischenwertsatz garantiert nun, dass es ein [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] gibt mit [mm] f(x_0)=y_0
[/mm]
Fazit: [mm] f(\IR)=\IR.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mo 02.07.2012 | | Autor: | deb01 |
> 1. Es ist f'(x)=cos(x)+2 [mm]\ge[/mm] -1+2=1>0 für alle x. Damit
> ist f streng wachsend und somit injektiv.
>
>
>
>
> 2. Sei [mm]y_0 \in \IR.[/mm]
>
> Wegen [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty[/mm] gibt es ein b
> [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]f(b)>y_0.[/mm]
>
> Wegen [mm]\limes_{x\rightarrow - \infty}f(x)=- \infty[/mm] gibt es
> ein a [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]f(a)
>
> Aus 1. folgt: a<b. Der Zwischenwertsatz garantiert nun,
> dass es ein [mm]x_0 \in[/mm] [a,b] gibt mit [mm]f(x_0)=y_0[/mm]
>
> Fazit: [mm]f(\IR)=\IR.[/mm]
>
> FRED
>
>
Hallo Fred,
ok, soweit habe ich es verstanden. Aber wie kann ich daraus dann erkennen das f umkehrbar ist?
Ich sehe den Zusammenhang nicht?! :(
Gruß
Deniz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Mo 02.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> > 1. Es ist f'(x)=cos(x)+2 [mm]\ge[/mm] -1+2=1>0 für alle x. Damit
> > ist f streng wachsend und somit injektiv.
> >
> >
> >
> >
> > 2. Sei [mm]y_0 \in \IR.[/mm]
> >
> > Wegen [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty[/mm] gibt es ein b
> > [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]f(b)>y_0.[/mm]
> >
> > Wegen [mm]\limes_{x\rightarrow - \infty}f(x)=- \infty[/mm] gibt es
> > ein a [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]f(a)
> >
> > Aus 1. folgt: a<b. Der Zwischenwertsatz garantiert nun,
> > dass es ein [mm]x_0 \in[/mm] [a,b] gibt mit [mm]f(x_0)=y_0[/mm]
> >
> > Fazit: [mm]f(\IR)=\IR.[/mm]
> >
> > FRED
> >
> >
> Hallo Fred,
>
> ok, soweit habe ich es verstanden. Aber wie kann ich daraus
> dann erkennen das f umkehrbar ist?
> Ich sehe den Zusammenhang nicht?! :(
f ist injektiv und surjektiv, also ex. die Umkehrfunktion [mm] f^{-1}: \IR \to \IR.
[/mm]
FRED
>
> Gruß
>
> Deniz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Mo 02.07.2012 | | Autor: | deb01 |
> f ist injektiv und surjektiv, also ex. die Umkehrfunktion
> [mm]f^{-1}: \IR \to \IR.[/mm]
>
> FRED
Achsoooo :)
Danke Fred.
Lg
Deniz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mo 02.07.2012 | | Autor: | deb01 |
Hallo,
jetzt die folgende Frage:
Was ist die Umkehrfunktion von sin(x) + 2x - 1?
Umkehrfunktion bedeutet doch nach x aufzulösen?
Aber wie kann ich das x aus sin(x) rauslösen? mit Arcsin(sin(x))=1 wäre das sin-Problem gelöst. Aber dann habe ich noch arcsin(2x)-arcsin(1) da stehen?
Gruß Deniz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Mo 02.07.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
>
> jetzt die folgende Frage:
>
> Was ist die Umkehrfunktion von sin(x) + 2x - 1?
Du sollst nur zeigen, dass f(x) umkehrbar ist. Dass eine Umkehrfunktion existiert, bedeutet nicht, dass man diese auch konkret angeben kann. Hier dürftest du einen solchen Fall haben.
>
> Umkehrfunktion bedeutet doch nach x aufzulösen?
Ja, wenn man [mm] f^{-1}(x) [/mm] konkret bestimmen will, ist das einer der Schritte.
>
> Aber wie kann ich das x aus sin(x) rauslösen? mit
> Arcsin(sin(x))=1 wäre das sin-Problem gelöst. Aber dann
> habe ich noch arcsin(2x)-arcsin(1) da stehen?
Oh nein, [mm] \arcsin(a+b)\ne\arcsin(a)+\arcsin(b)
[/mm]
Nachzulesen ![[]](/images/popup.gif) hier
Ausserdem gilt:
[mm] \arcsin(\sin(x))=x\red{\ne}1
[/mm]
>
> Gruß Deniz
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mo 02.07.2012 | | Autor: | deb01 |
Hallo Marius,
danke für die ANtwort. Die Frage in der Aufgabenstellung lautet aber
b) Berechnen Sie das Taylor-Polynom zweiten Grades für g:=f^-1 zum Entwicklungspunkt $ [mm] \pi. [/mm] $
Das bedeutet doch, dass ich die Umkehrfunktion von f berechnen und dann dann den Taylor-Polynom berechnen soll. Oder verstehe ich die Aufgabe falsch?
Gruß
Deniz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Mo 02.07.2012 | | Autor: | deb01 |
Kann mir keiner weiterhelfen?
Wie kann ich die Umkehrfunktion aus
sin(x)+2x-1
ermitteln?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Mo 02.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo du musst keine explizite darstellung der Umkehrfkt haben um ihre ableitung zu bestimmen. sicher habt ihr gelernt, wie man die Ableitung einer Umkehtfkt bildet?
zur Widerholung:
[mm] f(f^{-1}(x))=x
[/mm]
beide Seiten ableiten -links nach Kettenregel-
nach [mm] (f^{-1})' [/mm] auflösen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mo 02.07.2012 | | Autor: | deb01 |
> Hallo du musst keine explizite darstellung der Umkehrfkt
> haben um ihre ableitung zu bestimmen. sicher habt ihr
> gelernt, wie man die Ableitung einer Umkehtfkt bildet?
> zur Widerholung:
> [mm]f(f^{-1}(x))=x[/mm]
> beide Seiten ableiten -links nach Kettenregel-
> nach [mm](f^{-1})'[/mm] auflösen!
> Gruss leduart
Hallu leduart,
ganz ehrlich ich kann damit nichts anfangen. Ich habe wegen Krankheit in der Vorlesung gefehlt. Aber im Skript habe ich dazu nichts gefunden.
Was genau meinst du mit beide Seiten ableiten? Welche beiden Seiten?
Gruß
Deniz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Mo 02.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das mit dem script glaub ich kaum, ausserdem gibts Bücher, oder schlimmstenfalls auch noch wiki und Mitschriften von Mitstudis!
ableiten sollst du die beiden Seiten der einzigen Gleichung, die ich dir geschrieben hatte!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Mo 02.07.2012 | | Autor: | deb01 |
Ich werde es mal versuchen und dann Bescheid geben.
Vielen Dank leduart.
Gruß
Deniz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mo 02.07.2012 | | Autor: | deb01 |
Hallo leduart,
ich muss doch trotzdem f(x) nach x umstellen, oder?
Wie geht das bei der Funktion f(x)=sin(x)+2x-1 ???
Gruß
Deniz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Mo 02.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, musst du nicht! nur an der Stelle [mm] \pi [/mm] musst du [mm] f^{-1}(\pi) [/mm] kennen.
also versuchen wir das : [mm] f(\pi)=2\pi-1, [/mm] geht nicht, also [mm] f(\pi/2)=sin\pi/2)+\pi-1=\pi
[/mm]
hurra! [mm] f^{-1}(\pi)=\pi/2!
[/mm]
und jetzt die Formel, die ich dir empfohlen habe herzuleiten, hast du die inzwischen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mo 02.07.2012 | | Autor: | deb01 |
Hallo leduart,
1=y'*cosy+2y'
Stimmt das?
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Hallo,
> Hallo leduart,
>
> 1=y'*cosy+2y'
>
> Stimmt das?
Was machst du denn da?
Leduart hatte geschrieben:
Leite hier
[mm]f\left(f^{-1}(x)\right)=x[/mm]
auf beiden Seiten nach [mm]x[/mm] ab, das gibt (linkerhand mit Kettenregel)
[mm]\underbrace{f'\left(f^{-1}(x)\right)}_{\text{äußere Abl.}}\cdot{}\underbrace{\left[f^{-1}\right]'(x)}_{\text{innere Abl.}} \ = \ 1[/mm]
Also [mm]\left[f^{-1}\right]'(x)=...[/mm]
Dann deine konkrete Funktion einsetzen und die Stelle, um die du das TP berechnen sollst ...
Gruß
schachuzipus
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