Funktion untersuchen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= [mm]\bruch{1}{5}x^5 - 2x^3 + 5x[/mm] mit [mm]x \in \IR[/mm].
a) Geben Sie an und weisen Sie nach, welches Symmetrieverhalten bei der Funktion f vorliegt.
b) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f für x gegen Unendlich.
c) Bestimmen Sie die Steigung im Punkt P(0|f(0))
d) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente im P(-2|f(-2)).
e) Zeigen Sie, dass es keinen Punkt auf dem Graphen mit der Steigung –5 gibt.
f) An welcher Stelle ist die Steigung am kleinsten? Geben Sie die kleinste Steigung an. |
Sind meine Lösungen korrekt? Ich bitte um einen Kommentar und ggf. Korrekturhinweise.
zu a)
Die Funktion erhält nur ungerade Exponenten. Daher handelt es sich um eine punktsymmetrische Funktion.
Rechnerischer Beweis:
-f(-x) = [mm]\bruch{1}{5}x^5 - 2x^3 + 5x[/mm] [mm]\hat=[/mm] f(x)
zu b)
[mm]\limes_{x\rightarrow+\infty} f(x) = +\infty[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} f(x) = -\infty[/mm]
zu c)
[mm]f'(x) = 5x^4 - 6x^2 + 5[/mm]
[mm]f'(0) = 5[/mm]
zu d)
[mm]P(-2|-0,4)[/mm]
[mm]y = m * x + b[/mm]
[mm]f'(-2) = 61 \hat= m[/mm]
[mm]-0,4 = 61 * (-2) + b[/mm]
[mm]b = 121,6[/mm]
[mm]t(x) = 61x + 121,6[/mm]
zu e)
[mm]5x^4 - 6x^2 + 5 = -5[/mm]
[mm]5x^4 - 6x^2 + 10 = 0[/mm]
Substitutionsverfahren:
[mm]a = x^2[/mm]
[mm]5a^2 - 6a + 10 = 0[/mm]
p/q-Formel:
[mm]a^2 - 1,2a + 2 = 0[/mm]
[mm]a = 0,6 \pm \wurzel{0,36 - 2}[/mm]
=> keine reelle Lösung und somit keine Stelle mit der Steigung –5
zu f)
gesucht: Minimum der ersten Ableitung
[mm]f''(x) = 20x^3 - 12x[/mm]
[mm]f'''(x) = 60x^2 - 12[/mm]
[mm]20x^3 - 12x = 0[/mm]
[mm]4x(x^2-3) = 0[/mm]
[mm]4x = 0 \vee x^2-3 = 0[/mm]
=> [mm]x = 0 \vee x = 1,73 \vee x = -1,73[/mm]
[mm]f'''(0) = -12 < 0[/mm]
=> Maximum bei x = 0
[mm]f'''(\pm1,73) = 23,9 > 0[/mm]
=> Minimum bei x = [mm]\pm1,73[/mm]
Die Steigung ist also an der Stelle x = [mm]\pm1,73[/mm] am geringsten.
|
|
| |
|
Hallo Apfelchips,
> Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= [mm]\bruch{1}{5}x^5 - 2x^3 + 5x[/mm]
> mit [mm]x \in \IR[/mm].
>
> a) Geben Sie an und weisen Sie nach, welches
> Symmetrieverhalten bei der Funktion f vorliegt.
>
> b) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f für x
> gegen Unendlich.
>
> c) Bestimmen Sie die Steigung im Punkt P(0|f(0))
>
> d) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente im
> P(-2|f(-2)).
>
> e) Zeigen Sie, dass es keinen Punkt auf dem Graphen mit der
> Steigung –5 gibt.
>
> f) An welcher Stelle ist die Steigung am kleinsten? Geben
> Sie die kleinste Steigung an.
>
>
>
> Sind meine Lösungen korrekt? Ich bitte um einen Kommentar
> und ggf. Korrekturhinweise.
>
>
> zu a)
>
> Die Funktion erhält nur ungerade Exponenten. Daher handelt
> es sich um eine punktsymmetrische Funktion.
>
> Rechnerischer Beweis:
> -f(-x) = [mm]\bruch{1}{5}x^5 - 2x^3 + 5x[/mm] [mm]\hat=[/mm] f(x)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu b)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow+\infty} f(x) = +\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} f(x) = -\infty[/mm]
>
Laut Aufgabe ist nur das Verhalten für x gegen [mm]\infty[/mm] gefordert.
>
>
> zu c)
>
> [mm]f'(x) = 5x^4 - 6x^2 + 5[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]f'(x) = \red{1}x^4 - 6x^2 + 5[/mm]
> [mm]f'(0) = 5[/mm]
>
>
>
> zu d)
>
> [mm]P(-2|-0,4)[/mm]
>
> [mm]y = m * x + b[/mm]
>
> [mm]f'(-2) = 61 \hat= m[/mm]
>
> [mm]-0,4 = 61 * (-2) + b[/mm]
> [mm]b = 121,6[/mm]
>
> [mm]t(x) = 61x + 121,6[/mm]
>
>
>
> zu e)
>
> [mm]5x^4 - 6x^2 + 5 = -5[/mm]
> [mm]5x^4 - 6x^2 + 10 = 0[/mm]
>
>
> Substitutionsverfahren:
>
> [mm]a = x^2[/mm]
>
> [mm]5a^2 - 6a + 10 = 0[/mm]
>
>
> p/q-Formel:
>
> [mm]a^2 - 1,2a + 2 = 0[/mm]
>
> [mm]a = 0,6 \pm \wurzel{0,36 - 2}[/mm]
> => keine reelle Lösung und
> somit keine Stelle mit der Steigung –5
>
>
>
> zu f)
>
> gesucht: Minimum der ersten Ableitung
>
> [mm]f''(x) = 20x^3 - 12x[/mm]
>
> [mm]f'''(x) = 60x^2 - 12[/mm]
>
>
> [mm]20x^3 - 12x = 0[/mm]
>
> [mm]4x(x^2-3) = 0[/mm]
>
> [mm]4x = 0 \vee x^2-3 = 0[/mm]
> => [mm]x = 0 \vee x = 1,73 \vee x = -1,73[/mm]
>
> [mm]f'''(0) = -12 < 0[/mm]
> => Maximum bei x = 0
>
> [mm]f'''(\pm1,73) = 23,9 > 0[/mm]
> => Minimum bei x = [mm]\pm1,73[/mm]
>
>
> Die Steigung ist also an der Stelle x = [mm]\pm1,73[/mm] am
> geringsten.</span></span>
Bei d)-f) handelt es sich jeweils um Folgefehler,
da die fehlerhafte Ableitung aus c) verwendet wurde.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für die Hinweise, MathePower!
Hier meine Korrektur:
zu c)
[mm]f'(x) = x^4 - 6x^2 + 5[/mm]
[mm]f'(0) = 5[/mm]
zu d)
[mm]P(-2|-0,4)[/mm]
[mm]y = m * x + b[/mm]
[mm]f'(-2) = -3 \hat= m[/mm]
[mm]-0,4 = -3 * (-2) + b[/mm]
[mm]b = -6,4[/mm]
[mm]t(x) = -3x -6,4[/mm]
zu e)
[mm]x^4 - 6x^2 + 5 = -5[/mm]
[mm]x^4 - 6x^2 + 10 = 0[/mm]
Substitutionsverfahren:
[mm]a = x^2[/mm]
[mm]a^2 - 6a + 10 = 0[/mm]
p/q-Formel:
[mm]a = 3 \pm \wurzel{9 - 10}[/mm]
=> keine reelle Lösung und somit keine Stelle mit der Steigung –5
zu f)
gesucht: Minimum der ersten Ableitung
[mm]f''(x) = 4x^3 - 12x[/mm]
[mm]f'''(x) = 12x^2 - 12[/mm]
[mm]4x^3 - 12x = 0[/mm]
[mm]4x(x^2-3) = 0[/mm]
[mm]4x = 0 \vee x^2-3 = 0[/mm]
=> [mm]x = 0 \vee x = 1,73 \vee x = -1,73[/mm]
[mm]f'''(0) = -12 < 0[/mm]
=> Maximum bei x = 0
[mm]f'''(\pm1,73) = 23,9 > 0[/mm]
=> Minimum bei x = [mm]\pm1,73[/mm]
Die Steigung ist also an der Stelle x = [mm]\pm1,73[/mm] am geringsten.
|
|
|
| |
|
Hallo Apfelchips,
> Vielen Dank für die Hinweise, MathePower!
> Hier meine Korrektur:
>
>
> zu c)
>
> [mm]f'(x) = x^4 - 6x^2 + 5[/mm]
>
> [mm]f'(0) = 5[/mm]
>
>
>
> zu d)
>
> [mm]P(-2|-0,4)[/mm]
>
> [mm]y = m * x + b[/mm]
>
> [mm]f'(-2) = -3 \hat= m[/mm]
>
> [mm]-0,4 = -3 * (-2) + b[/mm]
> [mm]b = -6,4[/mm]
>
> [mm]t(x) = -3x -6,4[/mm]
>
>
>
> zu e)
>
> [mm]x^4 - 6x^2 + 5 = -5[/mm]
> [mm]x^4 - 6x^2 + 10 = 0[/mm]
>
>
> Substitutionsverfahren:
>
> [mm]a = x^2[/mm]
>
> [mm]a^2 - 6a + 10 = 0[/mm]
>
>
> p/q-Formel:
>
> [mm]a = 3 \pm \wurzel{9 - 10}[/mm]
> => keine reelle Lösung und
> somit keine Stelle mit der Steigung –5
>
>
>
> zu f)
>
> gesucht: Minimum der ersten Ableitung
>
> [mm]f''(x) = 4x^3 - 12x[/mm]
>
> [mm]f'''(x) = 12x^2 - 12[/mm]
>
>
> [mm]4x^3 - 12x = 0[/mm]
>
> [mm]4x(x^2-3) = 0[/mm]
>
> [mm]4x = 0 \vee x^2-3 = 0[/mm]
> => [mm]x = 0 \vee x = 1,73 \vee x = -1,73[/mm]
>
> [mm]f'''(0) = -12 < 0[/mm]
> => Maximum bei x = 0
>
> [mm]f'''(\pm1,73) = 23,9 > 0[/mm]
> => Minimum bei x = [mm]\pm1,73[/mm]
>
>
> Die Steigung ist also an der Stelle x = [mm]\pm1,73[/mm] am
> geringsten.
Stimmt alles.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Do 24.05.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Super. Nochmals danke für Deine Bemühungen!
|
|
|
|
