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| Aufgabe | Hallo, die Aufgabenstellung lautet:
Die Funktion z : [mm] \IR \mapsto \IR [/mm] sei definiert durch:
z(x) = |([ x + [mm] \bruch{1}{2}] [/mm] - x)|.
Skizzieren Sie den Graphen von z und zeigen Sie:
a) Für |x| ≤ 1/2 gilt z(x) = |z|.
b) Für alle x [mm] \in \IR [/mm] und n [mm] \in \IZ [/mm] gilt z(x + n) = z(x).
c) Die Funktion z ist stetig. |
Wie soll ich das genau machen? Bräuchte einige Tips.
Danke.
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> Hallo, die Aufgabenstellung lautet:
> Die Funktion z : [mm]\IR \mapsto \IR[/mm] sei definiert durch:
> z(x) = |([ x + [mm]\bruch{1}{2}][/mm] - x)|.
> Skizzieren Sie den Graphen von z und zeigen Sie:
> a) Für |x| ≤ 1/2 gilt z(x) = |z|.
Ich denke, hier hättest Du eigentlich [mm] $z(x)=\left|\red{x}\right|$ [/mm] schreiben sollen.
> b) Für alle x [mm]\in \IR[/mm] und n [mm]\in \IZ[/mm] gilt z(x + n) = z(x).
> c) Die Funktion z ist stetig.
> Wie soll ich das genau machen?
Mit dem Skizziern wartest Du natürlich besser, bis Du a) und b) gezeigt hast.
Zu a): für [mm] $-\frac{1}{2}\leq x<\frac{1}{2}$ [/mm] ist
[mm]z(x)=\left|\left[x+\frac{1}{2}\right]-x\right|=\left|0-x\right|=|x|[/mm]
und für [mm] $x=\frac{1}{2}$ [/mm] ist
[mm]z(x)=\left|\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right]-\frac{1}{2}\right|=\left|1-\frac{1}{2}\right|=\left|\frac{1}{2}\right|[/mm]
was zu zeigen war.
Zu b): hier versuchst Du den Funktionsterm $z(x+n)$ so umzuformen, dass Du $z(x)$ erhältst:
[mm]z(x+n)=\left|\left[x+n+\frac{1}{2}\right]-(x+n)\right|=\left|n+\left[x+\frac{1}{2}\right]-x-n\right|=z(x)[/mm]
$n$ aus der Gauss-Klammer herauszuziehen ist natürlich nur deshalb zulässig, weil [mm] $n\in\IZ$ [/mm] vorausgesetzt werden darf.
Zu c): folgt aus a) und b) unter Berücksichtigung von $z(-1/2)=z(1/2)$.
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| Aufgabe | Was genau sind denn die Kriterien von Stetigkeit?
Was genau muss ich also zeigen? |
Danke.
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Hallo!
Die Stetigkeit heißt anschaulich doch, dass du die Funktion zeichnen kannst, ohne den Stift ein zweites mal anzusetzen.
Wenn du dir nun einen Punkt bei [mm] x_0 [/mm] anschaust, so sollte [mm] f(x_0) [/mm] existieren und gleich dem limes von links und rechts an die Funktion sein: [mm] \lim_{h\mapsto0}f(x_0-h)=\lim_{h\mapsto0}f(x_0+h)=f(x_0) [/mm] .
Wenn die Grenzwerte gleich sind und existieren (nicht z.B. unendlich sind) und [mm] f(x_0) [/mm] nicht existiert, kann man das als stetig hebbare Lücke bezeichnen. Die Funktion ist da nicht stetig, aber man kann einen Wert finden, der die Funktion stetig machen würde. Beispiel ist x/x . Da darf man keine 0 einsetzen, mann kann aber zusätzlich definieren: f(0)=0 und damit die Lücke beseitigen.
Jetzt gibts noch ein Problem mit der Notation. Was heißt bei dir [] ?
Eigentlich versteht man unter [mm] $[\,]$ [/mm] das gewöhnlichr Auf- oder Abrunden.
[mm] \lfloor\,\rfloor [/mm] ist das reine abrunden auf die nächst kleinere ganze Zahl
[mm] \lceil\,\rceil [/mm] ist entsprechend das reine Aufrunden.
Somebody hat in seiner Rechnung abgerundet, das siehst du in seiner ersten Formel. setzt du ein x , das knapp kleiner als 1/2 ist ein, ergibt das gewöhnliche Runden 1, das reine Abrunden dagegen 0.
Die kritischen Punkte, die du dir anschauen musst, sind beim normalen Runden also da, wo das Argument die Werte 0,5; 1,5; 2,5... annimmt, beim reinen Auf- oder Abrunden mußt du auf ganze Zahlen achten.
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| Aufgabe | | Also reicht es, folgendes zu schreiben? |
[mm] \limes_{n\rightarrow\0} z(x_0 [/mm] - h) = [mm] z(x)=\left|\left[x_0 - h + \frac{1}{2}\right]-(x_0 - h)\right|=\left|[x_0 + 1/2)] - x_0\right| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\0} z(x_0 [/mm] + h)
Wenn h gegen 0 geht, sieht man, dass beide Limiten gleich sind. Ist somit dann gezeigt, dass z(x) stetig ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Fr 23.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Gleichungskette ist so sinnlos und falsch, es fehlen lim Zeichen, und du hast nichts gezeigt, sondern nur die Def. der Stetigkeit für die spezielle fkt hingeschrieben, ohne die Gleicheit irgendwie zu zeigen.
Gruss leduart
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| Aufgabe | Ich dachte, die Gleichheit folgt dann aus dem Grund, weil ich h einmal addiere und einmal subtrahiere, jedoch h gegen 0 geht_somit wäre ja die Addition gleich der Subtraktion. Aber irg.wie hatte ich auch 'n blödes Gefühl bei der Sache...
Kann mir jemand einen Ansatz geben? |
Danke.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 So 25.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Aufgabe | Kann ich nun bei c) folgend argumentieren?
1.) Wir wissen ja aus a) und b), dass [mm] \limes_{n\rightarrow\1/2} [/mm] = z(1/2) und [mm] \limes_{n\rightarrow\-1/2} [/mm] = z(-1/2) ist.
2.) Außerdem wissen wir ja auch (was für die Stetigkeit wichtig ist), dass z(x [mm] \pm [/mm] n) = z(x) ist (wenn x [mm] \le [/mm] 1/2 und n [mm] \in \IZ). [/mm] |
Kann ich aus 2.) auch folgendes Schlussfolgern?
$ [mm] \lim_{h\mapsto0}f(x_0-h)=\lim_{h\mapsto0}f(x_0+h)=f(x_0) [/mm] $
Weil das ja genau DAS ist, was ich für die Stetigkeit brauche...
Danke...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mo 26.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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