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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Aufgabe3:
Ermitteln Sie Definitionsbereich, Nullstellen, lokale Extrema und Wendestellen der Funktionen
(a) f(x) = (ln(x))/(x)
(b) f(x) = [mm] (x^{2}-1)/(x+2) [/mm]
Prüfen Sie auch, wo diese Funktionen positiv/negativ, monoton wachsend/fallend, konvex/konkav sind!
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So, dann muss ich noch ein letztes Mal für heute eine Frage stellen?
Ist das so richtig?:
DANKESCHÖN im Voraus!!!
(b)
g(x) = [mm] (x^{2}-1)/(x+2)
[/mm]
g(x)= [mm] (x^{2}+ [/mm] 4x + [mm] 1)/(x+2)^{2}
[/mm]
g(x)= [mm] (6)/(x+2)^{3}
[/mm]
g(x)= ( [mm] -18)/(x+2)^{4}
[/mm]
Definitionsbereich: x aus R, x nicht 2
Nullstellen: f(x)= 0
0 = [mm] x^2 [/mm] 1 - - > x1 = 1 und x2 = -1
Lokale Extrema: f(x)=0 und f(x) <> 0
0 = [mm] x^2 [/mm] +4x + 1 quadratische Lösungsformel ergibt: x1 = -2 + [mm] (3)^{1/2} [/mm] und x2 = -2 - [mm] (3)^{1/2}
[/mm]
f(x1) < 0 - - > lokales Maximum und f(x2) > 0 - - > lokales Minimum
Wendestellen: f(x)=0, f(x) nicht 0
0 = 6 falsche Aussage - - > keine Wendestelle, damit kein Wendepunkt
Positiv: f(x) > 0 : -2<x<=-1 und 1 < x
Negativ: f(x) < 0 : -2>x und 1 > x > -1
Monoton wachsend: f(x)>0: x aus [mm] (-\infinity, -2-(3)^{1/2}] [/mm] und x aus [mm] [-2+(3)^{1/2},\infinity)
[/mm]
Monoton fallend: f(x)<0: -2 < [mm] x<=-2+(3)^{1/2} [/mm] und [mm] -2-(3)^{1/2} [/mm] =< x < -2
Konvex: f(x)>0: x > -2
Konkav: f(x)<0: x < -2
(a)
f(x) = ln(x)/x
f(x)= [mm] (1-ln(x))/x^2
[/mm]
f(x)= - [mm] (2*(ln(x)-3))/x^3
[/mm]
f(x)= [mm] (11-ln(x))/x^4
[/mm]
Definitionsbereich: x aus R, x>0
Nullstellen: f(x)= 0
0 = ln(x) - - > 1 = x
Lokale Extrema: f(x)=0 und f(x) <> 0
0 = 1-ln(x)
1 = ln(x) - - > x = e
f(e) = 4/ [mm] e^3 [/mm] > 0 - - > lokales Minimum
Wendestellen: f(x)=0, f(x) nicht 0
0 = -2*(ln(x)-3) = -2ln(x) + 6
3 = ln(x) - - > x = 20,08554
f(20,08554) = [mm] (11-3)/20,08554^4 [/mm] = 0,00005 nicht 0 daher Wendestell x= 20,08554
Positiv: f(x) > 0 : x>1
Negativ: f(x) < 0 : 0<x<1
Monoton wachsend: f(x)>0: x > e
Monoton fallend: f(x)<0: x<e
Konvex: f(x)>0: x > 20,08554
Konkav: f(x)<0: x < 20,08554
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> Aufgabe3:
> Ermitteln Sie Definitionsbereich, Nullstellen, lokale
> Extrema und Wendestellen der Funktionen
> (a) f(x) = (ln(x))/(x)
> (b) f(x) = [mm](x^{2}-1)/(x+2)[/mm]
> Prüfen Sie auch, wo diese Funktionen positiv/negativ,
> monoton wachsend/fallend, konvex/konkav sind!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> So, dann muss ich noch ein letztes Mal für heute eine Frage
> stellen?
>
> Ist das so richtig?:
>
> DANKESCHÖN im Voraus!!!
>
> (b)
> g(x) = [mm](x^{2}-1)/(x+2)[/mm]
>
> g(x)= [mm](x^{2}+[/mm] 4x + [mm]1)/(x+2)^{2}[/mm]
>
> g(x)= [mm](6)/(x+2)^{3}[/mm]
>
> g(x)= ( [mm]-18)/(x+2)^{4}[/mm]
>
> Definitionsbereich: x aus R, x nicht 2
>
> Nullstellen: f(x)= 0
> 0 = [mm]x^2[/mm] 1 - - > x1 = 1 und x2 = -1
>
> Lokale Extrema: f(x)=0 und f(x) <> 0
Wenn Du die Funktion schon in g(x) umbenennst, dann bleib lieber dabei...
> 0 = [mm]x^2[/mm] +4x + 1 quadratische Lösungsformel ergibt: x1 = -2
> + [mm](3)^{1/2}[/mm] und x2 = -2 - [mm](3)^{1/2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") - bis hierhin alles richtig, einschließlich der Ableitungen
> f(x1) < 0 - - > lokales Maximum und f(x2) > 0 - - >
> lokales Minimum
Sicher? Nicht doch eher andersrum? 
> Wendestellen: f(x)=0, f(x) nicht 0
> 0 = 6 falsche Aussage - - > keine Wendestelle, damit kein
> Wendepunkt
> Positiv: f(x) > 0 : -2<x<=-1 und 1 < x
> Negativ: f(x) < 0 : -2>x und 1 > x > -1
>
> Monoton wachsend: f(x)>0: x aus [mm](-\infinity, -2-(3)^{1/2}][/mm]
> und x aus [mm][-2+(3)^{1/2},\infinity)[/mm]
> Monoton fallend: f(x)<0: -2 < [mm]x<=-2+(3)^{1/2}[/mm] und
> [mm]-2-(3)^{1/2}[/mm] =< x < -2
>
> Konvex: f(x)>0: x > -2
> Konkav: f(x)<0: x < -2
>
Sonst alles korrekt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Ultio |
Vielen, Vielen Dank!!!
Gruß
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> (a)
> f(x) = ln(x)/x
> f(x)= [mm](1-ln(x))/x^2[/mm]
> f(x)= - [mm](2*(ln(x)-3))/x^3[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Falsches Vorzeichen: [mm] f''(x)=\bruch{-3+2\ln{x}}{x^3}
[/mm]
> f(x)= [mm](11-ln(x))/x^4[/mm]
Das ist weder die nächste Ableitung Deines noch meines Ergebnisses...
Ich habe: [mm] f'''(x)=\bruch{11-6\ln{x}}{x^4}
[/mm]
> Definitionsbereich: x aus R, x>0
> Nullstellen: f(x)= 0
> 0 = ln(x) - - > 1 = x
> Lokale Extrema: f(x)=0 und f(x) <> 0
> 0 = 1-ln(x)
> 1 = ln(x) - - > x = e
> f(e) = 4/ [mm]e^3[/mm] > 0 - - > lokales Minimum
bis hier wieder gut
> Wendestellen: f(x)=0, f(x) nicht 0
> 0 = -2*(ln(x)-3) = -2ln(x) + 6
> 3 = ln(x) - - > x = 20,08554 ok, aber behalte im Kopf: gerundet!
> f(20,08554) = [mm](11-3)/20,08554^4[/mm] = 0,00005 nicht 0 daher
Stop. Mal abgesehen davon, dass f'''(x) wohl doch anders ist als hier, sollte Dich "0,00005" skeptisch machen. Das sieht sehr nach der typischen Auswirkung einer Rundungsvereinfachung aus. Da würde ich viel Anstrengung aufwenden, um nachzuweisen, dass der Wert wirklich nicht Null ist!
> Wendestell x= 20,08554
> Positiv: f(x) > 0 : x>1
> Negativ: f(x) < 0 : 0<x<1
Ja.
> Monoton wachsend: f(x)>0: x > e
> Monoton fallend: f(x)<0: x<e
Nein. Rechne das nochmal nach.
> Konvex: f(x)>0: x > 20,08554
> Konkav: f(x)<0: x < 20,08554
Na schön...
Grüße,
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Ultio |
Darüber hatte ich auch gestutzt, aber wenn es eine folge ist dann konvergiert diese gegen 0 aber so:
[mm] e^{3}=20,08553692
[/mm]
8/ 162754,7914 = 0,000049154
selbst bei 9 Dezimalstellen ist es nicht 0 oder seh ich das falsch?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Fr 12.12.2008 | | Autor: | reverend |
Du hast Recht.
Es ist dann nur geschickter, den Wert gar nicht erst ausgerechnet hinzuschreiben, sondern anzugeben [mm] \bruch{8}{e^{12}} [/mm] nach Deiner bzw. [mm] -\bruch{7}{e^{12}} [/mm] nach meiner. Dann sieht man sofort, dass es nicht Null ist, und wer will, kann auch sehen, dass der Wert aber nahe bei Null liegt. Wie nahe, ist doch egal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Ultio |
Ableitungen rechne ich gerade nochmal nach, danke dir aber, dass du darauf aufmerksam gemacht hast.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Ultio |
Du hast recht mit deinen Ableitungen...Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Fr 12.12.2008 | | Autor: | reverend |
Wie schön, dann haben wir ja beide einmal recht gehabt.
Gleichstand.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Ultio |
Danke, hab jetzt alles richtig...
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