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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Sa 25.02.2006 | | Autor: | Tequila |
| Aufgabe | Nutzen Sie die geometrische Reihe um die nachfolgenden Funktionen jeweils durch eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt Null darzustellen, und ermitteln Sie das Konvergenzintervall.
b)
f(x) = [mm] \bruch{1}{(1+x)^{2}} [/mm] |
Hallo
beim Konvergenzintervall ausrechnen besteht nicht das Problem.
Nur wie stelle ich die Potenzreihe dar?
Ihr seht weiter unten wo ich nicht weiterkomme
Ich hab folgendes raus:
[mm] \bruch{1}{(1+x)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1+x)} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(1+x)}
[/mm]
also im prinzip 2 Reihen die multipliziert werden oder?
Erste Frage: Ist der Ansatz hier richtig?
( [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} x^n [/mm] ) * ( [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} x^n [/mm] )
das ergebnis lautet
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} (n+1)x^n [/mm]
Zweite Frage: Wie kommt man dann auf n+1 ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Sa 25.02.2006 | | Autor: | tausi |
Hallo Benni!
Du willst also nur die Potenzreihendarstellung:
Wir wissen, dass die Potenzreihendarstellung von [mm] \bruch{1}{1+x}:
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{1+x}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}$
[/mm]
Außerdem wissen wir, dass Potenzreihen gliedweise differenzierbar sind, also differenzieren wir beide Seiten:
[mm] $\bruch{1}{1+x}=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}nx^{n-1}$
[/mm]
Jetzt können wir noch die Laufvariable substituieren:
[mm] $\bruch{1}{1+x}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}(n+1)x^{n}$
[/mm]
Ich komme also auf dieses Ergebnis, es müsste stimmen, auch wenn es sich von deiner Lösung um ein Vorzeichen unterscheidet, aber du kannst es ja noch kontrollieren.
Tausi
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