Funktionen in R^n < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f(x_1,x_2)= {x_1x_2*\bruch{(x_1)^2-(x_2)^2}{(x_1)^2+(x_2)^2}}
[/mm]
a) f ist stetig
b) f ist einmal partiell stetig diffbar |
Soooo...und da bin ich schon wieder mit neuen Fragen:
also, wenn ich zeigen will, dassdiese funktion stetig ist, guck ich mir erstma den teil an, der für x [mm] \not= [/mm] 0 definiert wurde. Der ist ja als komopsition stetiger funktionen stetig. Muss ich sowas noch mit definition für stetigkeit beweisen?Und wie würd das in dem Fall gehen?
mhm keene ahnung..
naja wenn also das mit der verkettung von stetigen funktionen ausreicht, muss ich nun noch zeigen, dass der obere Teil für x->0 gegen 0 strebt oder?
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} f(x_1,x_2)=
[/mm]
[mm] {x_1x_2*\bruch{(x_1)^2-(x_2)^2}{(x_1)^2+(x_2)^2}} [/mm] = 0
also ist [mm] f(x_1,x_2) [/mm] stetig
So, dann gehts weiter..
also [mm] \partial_x_1 f(x_1,x_2)= [/mm]
[mm] x_2*(\bruch{(x_1)^2-(x_2)^2}{(x_1)^2+(x_2)^2} [/mm] + [mm] x_1x_2*(\bruch{(2(x_2)^2*2x_1)}{((x_1)^2+(x2)^2)^2})
[/mm]
so, dAS ist die wunderbare ableitung nach der ersten variabelne...mit der 2.geht es natürlich genauso...
wenn diese funktion dann stetig ist, (ist sie, weil sie wieder komposition stetiger funktionen ist) ist die funktion stetig partiell diffbar , richtig?
Lg sandra...und im voraus danke für eure schnelle Hilfe bei all den vielen Fragen;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mo 04.09.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Sandra!
> [mm]f(x_1,x_2)= {x_1x_2*\bruch{(x_1)^2-(x_2)^2}{(x_1)^2+(x_2)^2}}[/mm]
>
> a) f ist stetig
> b) f ist einmal partiell stetig diffbar
Zu einer Funktion gehören immer 2 Mengen, nämlich der Definitionsbereich A und der Wertebereich B, also
f: A [mm] \to [/mm] B
> Soooo...und da bin ich schon wieder mit neuen Fragen:
>
> also, wenn ich zeigen will, dassdiese funktion stetig ist,
> guck ich mir erstma den teil an, der für x [mm]\not=[/mm] 0
> definiert wurde. Der ist ja als komopsition stetiger
> funktionen stetig. Muss ich sowas noch mit definition für
> stetigkeit beweisen?Und wie würd das in dem Fall gehen?
>
> mhm keene ahnung..
> naja wenn also das mit der verkettung von stetigen
> funktionen ausreicht, muss ich nun noch zeigen, dass der
> obere Teil für x->0 gegen 0 strebt oder?
Beim Verketten muß eben der Wertebereich der einen Funktion Teilmenge des Definitionsbereich der anderen sein.
Zu deiner Funktion oben:
Wenn wir als Def.-ber. nur Paare [mm] (x_{1}, x_{2}) \not= [/mm] (0, 0) zulassen, ist alles paletti. Andernfalls mußt du erst einmal festlegen, was f((0, 0)) sein soll. Wenn das = 0 sein soll, dann mußt du deine (eure) Definition von Stetigkeit anwenden. Stetigkeit wird über Folgen oder mittels [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] definiert.
Wie würdest du die 'Funktion'
f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(x) = [mm] \bruch{x}{x^{2}} [/mm] behandeln?
> So, dann gehts weiter..
mit den gleichen Problemen, das kriegen wir später.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Die Funktion ist für x [mm] \not= [/mm] 0 wiefolgt definiert
$ [mm] f(x_1,x_2)= [/mm]
[mm] {x_1x_2\cdot{}\bruch{(x_1)^2-(x_2)^2}{(x_1)^2+(x_2)^2}} [/mm] $
und für x=0 : 0
> Zu einer Funktion gehören immer 2 Mengen, nämlich der
> Definitionsbereich A und der Wertebereich B, also
> f: A [mm]\to[/mm] B
Ja das habe ich vergessen hinzuschreiben, das stimmt.Sorry.
Also die Funktion ist f: [mm] R^2->R
[/mm]
>
>
>>
> Beim Verketten muß eben der Wertebereich der einen Funktion
> Teilmenge des Definitionsbereich der anderen sein.
Jo das stimmt. Aber ist es nicht sogar gar nicht mal die verkettung hier, sondern einfach das Produkt, bzw. die Summe stetiger Funktionen?
>
> Zu deiner Funktion oben:
> Wenn wir als Def.-ber. nur Paare [mm](x_{1}, x_{2}) \not=[/mm] (0,
> 0) zulassen, ist alles paletti. Andernfalls mußt du erst
> einmal festlegen, was f((0, 0)) sein soll. Wenn das = 0
> sein soll, dann mußt du deine (eure) Definition von
> Stetigkeit anwenden. Stetigkeit wird über Folgen oder
> mittels [mm]\epsilon[/mm] und [mm]\delta[/mm] definiert.
Soo das heiß, ich muss jetzt mit Epsilon und Delta herumhantieren;)Na toll^^
>
> Wie würdest du die 'Funktion'
> f: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit f(x) = [mm]\bruch{x}{x^{2}}[/mm] behandeln?
>
> > So, dann gehts weiter..
>
> mit den gleichen Problemen, das kriegen wir später.
>
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
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Also ihc muss jetzzt erstma arbeiten gehen..Werd mich dann gleich mal an die Epsilon/delta-Geschichte begeben. danke schonmal
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Hallo Pusteblume,
zeig doch einfach folgendes:
(1) die Projektionen [mm] \pi_j\colon\IR^2\to\IR,\: \pi_j((x_1,x_2)):=x_j\:\: (j\in\{1,2\}) [/mm] sind stetige Funktionen von [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR
[/mm]
(explizit mit dem [mm] \epsilon-\delta [/mm] Kalkül).
(2) Sind allgemein [mm] f,g\colon \IR^2\to\IR [/mm] stetig, so auch f+g, [mm] f\cdot [/mm] g und [mm] \frac{f}{g} f\:ur [/mm] den Fall, dass [mm] g\neq [/mm] 0 ist (was heissen [mm] soll:\forall x\in\IR^2\: g(x)\neq [/mm] 0).
Das bringt Dich bei Deiner Funktion schon fast ans Ziel, nicht wahr ?
Gruss + frohes Schaffen
Mathias
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Mhm..ja ich stell mich glaube ich ein wenig doof an^^
Vielleicht habe ich mir doch! ein wenig zu viel aufgelastet in dieses Semesterferien...naja, da muss ich jetzt durch!
Also wir haben bisher nicht von Projektionen gesprochen, aber ich denke es ist ja nichts anderes als eine Abbildung(also eine Funktion, nicht wahr?
Aber was soll ich denn da jetzt so allgemein zeigen?Versteh ich nicht....
Ja das Produkt/Summe etc. von stetigen FUnktionen wieder stetig sind, das ist klar(vielleicht auch das einzige was mir bisher klar ist;))
Aber was genau, soll ich jetzt damit epsilon/delta machen?
Ich hätte es wahrscheinlich jetzt so gemacht, das ich das einmal für g(x):= [mm] x_1x_2 [/mm] , einmal für h(x):= [mm] (x_1)^2+(x_2)^2 [/mm] und für i(x):= [mm] (x_1)^2-(x_2)^2 [/mm] mit epsilon/delta gezeigt hätte....viel zu umständlich oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 07.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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