Funktionen mit Parametern < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion
[mm] f_{a}(x)=\bruch{1}{2}x^4+2x^3+3ax^2+6a^2x
[/mm]
Stellen Sie fest, für welche Werte von a der Graph der Funktion Wendepunkte besitzt. |
Erstmal hab ich die Ableitungen gebildet:
[mm] f_{a}'(x)=2x^3+6x^2+6ax+6a^2
[/mm]
[mm] f_{a}''(x)=6x^2+12x+6a
[/mm]
[mm] f_{a}'''(x)=12x+12
[/mm]
Sind die Ableitungen richtig?ich wusst nicht ib ich bei der zweiten Ableitung das [mm] 6a^2 [/mm] weglassen muss oder es zu 12a wird. Ich hab es weggelassen da es ja kein x gibt.
Danach muss ich erstmal die Wendestellen bestimmen:
[mm] f_{a}''(x)=0 [/mm] und [mm] f_{a}'''(x)\not=0
[/mm]
also:
[mm] 6x^2+12x+6a=0
[/mm]
[mm] \gdw6x^2+12x=-6a
[/mm]
Aber wie geht es weiter?? Muss ich x ausklammern?
aber das bringt mir ja nicht viel.......
Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Do 06.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
deine Ableitungen sind korrekt.
> Ich hab es weggelassen da es ja kein x gibt.
Richtig, es fällt beim Ableiten weg, das es nur eine Zahl ist!
> Danach muss ich erstmal die Wendestellen bestimmen:
>
> [mm]f_{a}''(x)=0[/mm] und [mm]f_{a}'''(x)\not=0[/mm]
>
> also:
>
> [mm]6x^2+12x+6a=0[/mm]
> [mm] \gdw6x^2+12x=-6a
[/mm]
Du kannst doch einfach mal die pq-Formel anwenden:
[mm] x^2+2x+a=0
[/mm]
und tust so, als wäre a dein q.
Mit der a-b-c-Formel (ähnlich der pq-Formel) komme ich dann auf:
[mm] x_{1/2}=\bruch{-12\pm\wurzel{144-4*6*6a}}{2*6}
[/mm]
[mm] x_{1/2}=\bruch{-12\pm\wurzel{144-144a}}{12}
[/mm]
daraus kannst du folgern, a [mm] \le [/mm] 1.
Für a=1:
[mm] x_{1}=\bruch{-12\pm\wurzel{144-144}}{12}=\bruch{-12}{12}=-1.
[/mm]
Für a=1 folgt x=-1.
Für x=-1 folgt aber [mm] f_1'''(-1)=0 [/mm] und damit kein Wendepunkt.
Jetzt muss man sich Gedanken machen über a<1.
Mir ist eben eingefallen, du könntest (ich bin mir nicht 100 pro sicher) sagen,
dass [mm] f_a'''(x)=0 [/mm] genau dann, wenn x=-1. Und x=-1 genau dann, wenn a=1. Und da für alle a<1 gilt: [mm] x\not=-1, [/mm] gilt - meines Erachtens -, dass für alle a<1 ein Wendepunkt vorliegt. Aber sicher bin ich mir nicht.
Ich hoffe, dass hilft dir weiter.
MfG barsch
|
|
|
| |
|
Wenn ich [mm] 6x^2+12x+6a [/mm] mit der pq formel berechne sieht es wie folgt aus:
[mm] 6x^2+12x+6a=0
[/mm]
[mm] \gdw x^2+2x+a=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{1,2}=-1\pm\wurzel{1^2-a}
[/mm]
[mm] \gdw x_{1,2}=-1\pm1\wurzel{-a}
[/mm]
und unter der wurzel darf ja nichts negatives stehen....jetzt bin ich verwirrt^^
Kann da einer mal gucken
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Do 06.09.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo shabi_nami,
Deine Art des Wurzelziehens ist schon etwas sehr generös, um es mal so höflich zu sagen  . Einen Faktor kannst Du aus einer Wurzel ausklammern, aber Du kannst keine Wurzel summandenweise ziehen.
[mm] \wurzel{1-a} [/mm] kann durchaus positiv sein, nämlich, wenn a kleiner als 1 ist.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
ups....hehe. Ist mir auch grad eingefallen
ja ok wir haben dann den Term: [mm] -1\pm\wurzel{1-a}
[/mm]
es kommen unterschiedliche Werte heraus wenn ich für a immer was anderes einsetze. Wie kann ich dann auf exakte egebnisse kommen?
man kann ja einmal einsetzen [mm] a\ge1 [/mm] und [mm] a\le1 [/mm]
aber dann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Do 06.09.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo shabi_nami.
Du kannst doch mit den Werten [mm] x_{w_{1}}=1-\wurzel{1-a} [/mm] und
[mm] x_{w_{2}}=1+\wurzel{1-a} [/mm] durchaus konkrete Werte für die y-Koordinate der Wendepunkte berechnen.
Also:
[mm] f(1-\wurzel{1-a})=\bruch{1}{2}(1-\wurzel{1-a})^{4}+2(1-\wurzel{1-a})^{3}+3a(1-\wurzel{1-a})²+6a²(1-\wurzel{1-a})
[/mm]
Und das ganze kannst du jetzt ja noch ein wenig zusammenfassen.
Also:
[mm] =\bruch{1}{2}*(1-4(1-\wurzel{1-a})+6(1-\wurzel{1-a})²-4(1-\wurzel{1-a})³+(1-\wurzel{1-a})^{4})+2(1-3(1-\wurzel{1-a})+3(1-\wurzel{1-a})²-(1-\wurzel{1-a})³)+3a(1-2(1-\wurzel{1-a})+(1-\wurzel{1-a})²)+6a²(1-\wurzel{1-a})
[/mm]
=...
Marius
|
|
|
| |
|
Und zwar bin ich grad dabei die x-werte in den term einzusetzen erstmal einen:
$ [mm] f(1-\wurzel{1-a})=\bruch{1}{2}(1-\wurzel{1-a})^{4}+2(1-\wurzel{1-a})^{3}+3a(1-\wurzel{1-a})²+6a²(1-\wurzel{1-a}) [/mm] $
mit dem vereinfachen komm ich nicht ganz klar:
der Anfang geht ja noch
[mm] \bruch{1}{2}(4-3a)....
[/mm]
4-3a erhält man ja wenn man [mm] (-1+\wurzel{1-a})^4 [/mm] vereinfacht also ausrechnet
aber bei [mm] (-1+\wurzel{1-a})^3 [/mm] komm ich auf kein ergebnis
bei mir siehst so aus:
[mm] -2+2\wurzel{1-a}+a-a\wurzel{1-a}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Fr 07.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Shabi_nami
Du machst dir viel zuviel Arbeit.
Wenn du die Aufgabe nochmal liest bist du schon fast fertig! Es steht nirgends: wo liegen die Wendepunkte, das ist wirklich auch ne sehr längliche Rechnung!
Es ist nur gefragt, für welche a gibts wendepunkte.
da weisst du schon mal für alle a>1 gibts sicher keine,
du musst nur noch untersuchen, ob f''' für [mm] x=1+\wurzel{1-a} [/mm] oder für [mm] x=1-\wurzel{1-a} [/mm] ungleich 0 ist, wenn [mm] a\le [/mm] 1.
also [mm] 12*(1-\wurzel{1-a})+12 \ne0 [/mm] oder [mm] 12*(1-\wurzel{1-a})+12) \ne0 [/mm] eines von beiden ist sicher ungleich 0 also gibt es Wendepunkte für alle [mm] a\le [/mm] 1.
Aber tapfer, wie du gerechnet hast!
Immer Aufgaben genau lesen, damit spart man sich oft Arbeit ,-)
Gruss leduart
|
|
|
|
