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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fevrier |
| Aufgabe | Lösen Sie die Gleichung!
a) 2^(x-2) = -2
b) [mm] 2^{x-1}-3^x [/mm] = 0 |
Also bei a) würde ich erst einmal Logarithmieren, um den Exponenten "runter zu kriegen":
ln(2^(x-2) = ln(-2)
dann weiß ich allerdings nicht weiter.
Bin über Tipps sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Lösen Sie die Gleichung!
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> a) 2^(x-2) = -2
> b) [mm]2^{x-1}-3^x[/mm] = 0
> Also bei a) würde ich erst einmal Logarithmieren, um den
> Exponenten "runter zu kriegen":
> ln(2^(x-2) = ln(-2)
>
> dann weiß ich allerdings nicht weiter.
was soll denn [mm] $\ln(-2)$ [/mm] sein? Bleiben wir doch mal beim reellen Logarithmus, also wir kennen sowas wie [mm] $\ln(x)\,$ [/mm] für [mm] $\red{x > 0}$:
[/mm]
Was Du schreiben kannst, ist
[mm] $$2^{x-2}=-2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (e^{\ln(2)})^{x-2}=e^{(x-2)*\ln(2)}=-2\,.$$
[/mm]
Nun ist doch bekanntlich [mm] $e^s [/mm] > 0$ für alle $s [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Kann dann die letzte Gleichung noch eine Lösung für $x [mm] \in \IR$ [/mm] haben?
(Alternativ: Ist Dir klar, dass [mm] $2^r [/mm] > 0$ für alle $r [mm] \in \IR$ [/mm] gilt? Und was bedeutet das dann oben?)
Zu b)
Die Gleichung kann man umschreiben zu
[mm] $$2^{x-1}=3^x\,,$$
[/mm]
und nun wende mal [mm] $\ln(.)$ [/mm] auf beide Seiten der Gleichung an (das ist dann äquivalent) und benutze die allseits bekannte Regel (kurz notiert):
[mm] $$\ln(a^b)=b*\ln(a)\,.$$
[/mm]
Dann erhältst Du eine Gleichung in [mm] $x\,,$ [/mm] die Du nach [mm] $x\,$ [/mm] auflösen kannst!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fevrier |
> Hallo,
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> > Lösen Sie die Gleichung!
> >
> > a) 2^(x-2) = -2
> > b) [mm]2^{x-1}-3^x[/mm] = 0
> > Also bei a) würde ich erst einmal Logarithmieren, um
> den
> > Exponenten "runter zu kriegen":
> > ln(2^(x-2) = ln(-2)
> >
> > dann weiß ich allerdings nicht weiter.
>
> was soll denn [mm]\ln(-2)[/mm] sein? Bleiben wir doch mal beim
> reellen Logarithmus, also wir kennen sowas wie [mm]\ln(x)\,[/mm]
> für [mm]\red{x > 0}[/mm]:
>
> Was Du schreiben kannst, ist
> [mm]2^{x-2}=-2[/mm]
> [mm]\gdw (e^{\ln(2)})^{x-2}=e^{(x-2)*\ln(2)}=-2\,.[/mm]
Also muss ich immer versuchen, aus so einer Funktion eine e-Funktion zu machen? oder wie ist das zu verstehen? Irgendwie ist mir der Unterschied zwischen "ln" und "e" noch nicht so ganz klar, wann ich was davon nehmen muss..
>
> Nun ist doch bekanntlich [mm]e^s > 0[/mm] für alle [mm]s \in \IR\,.[/mm]
> Kann dann die letzte Gleichung noch eine Lösung für [mm]x \in \IR[/mm]
> haben?
>
> (Alternativ: Ist Dir klar, dass [mm]2^r > 0[/mm] für alle [mm]r \in \IR[/mm]
> gilt? Und was bedeutet das dann oben?)
>
> Zu b)
> Die Gleichung kann man umschreiben zu
> [mm]2^{x-1}=3^x\,,[/mm]
> und nun wende mal [mm]\ln(.)[/mm] auf beide Seiten der Gleichung an
> (das ist dann äquivalent) und benutze die allseits
> bekannte Regel (kurz notiert):
> [mm]\ln(a^b)=b*\ln(a)\,.[/mm]
> Dann erhältst Du eine Gleichung in [mm]x\,,[/mm] die Du nach [mm]x\,[/mm]
> auflösen kannst!
da würde ich dann wieder das e nehmen:
e^((x-1)*ln2) = e^(xln3)
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Lösen Sie die Gleichung!
> > >
> > > a) 2^(x-2) = -2
> > > b) [mm]2^{x-1}-3^x[/mm] = 0
> > > Also bei a) würde ich erst einmal Logarithmieren,
> um
> > den
> > > Exponenten "runter zu kriegen":
> > > ln(2^(x-2) = ln(-2)
> > >
> > > dann weiß ich allerdings nicht weiter.
> >
> > was soll denn [mm]\ln(-2)[/mm] sein? Bleiben wir doch mal beim
> > reellen Logarithmus, also wir kennen sowas wie [mm]\ln(x)\,[/mm]
> > für [mm]\red{x > 0}[/mm]:
> >
> > Was Du schreiben kannst, ist
> > [mm]2^{x-2}=-2[/mm]
> > [mm]\gdw (e^{\ln(2)})^{x-2}=e^{(x-2)*\ln(2)}=-2\,.[/mm]
>
> Also muss ich immer versuchen, aus so einer Funktion eine
> e-Funktion zu machen?
immer? In der Mathematik gibt's selten ein immer. Es ist halt gut, wenn Du das ganze in eine Form bringst, wo Du "bekanntes erkennst".
> oder wie ist das zu verstehen?
Du lernst viele Rechenregeln, und wenn Dir nicht klar ist, was Du wann anwenden kannst bzw. wann es was bringt, musst Du halt einfach mal ein wenig versuchen, ob's was bringt. Auch hier lernt man viel aus Erfahrung. Du hattest erstmal die Erfahrung gemacht: "Logarithmieren kann nicht gut gehen, weil rechterhand eine Zahl [mm] $\le 0\,$ [/mm] steht, davon kenne ich keinen Logarithmus".
> Irgendwie ist mir der Unterschied zwischen "ln" und "e"
> noch nicht so ganz klar, wann ich was davon nehmen muss..
Es geht um die Argumentation hier. Es wäre schon eine Idee gewesen, den Logarithmus zu benutzen, aber dafür muss das, worauf man ihn anwenden will, auch $> [mm] 0\,$ [/mm] sein.
> > Nun ist doch bekanntlich [mm]e^s > 0[/mm] für alle [mm]s \in \IR\,.[/mm]
> > Kann dann die letzte Gleichung noch eine Lösung für [mm]x \in \IR[/mm]
> > haben?
> >
> > (Alternativ: Ist Dir klar, dass [mm]2^r > 0[/mm] für alle [mm]r \in \IR[/mm]
> > gilt? Und was bedeutet das dann oben?)
Du hast mir immer noch nicht gesagt, was Du nun hier für eine Lösung hast?
> > Zu b)
> > Die Gleichung kann man umschreiben zu
> > [mm]2^{x-1}=3^x\,,[/mm]
> > und nun wende mal [mm]\ln(.)[/mm] auf beide Seiten der Gleichung
> an
> > (das ist dann äquivalent) und benutze die allseits
> > bekannte Regel (kurz notiert):
> > [mm]\ln(a^b)=b*\ln(a)\,.[/mm]
> > Dann erhältst Du eine Gleichung in [mm]x\,,[/mm] die Du nach
> [mm]x\,[/mm]
> > auflösen kannst!
>
> da würde ich dann wieder das e nehmen:
> e^((x-1)*ln2) = e^(xln3)
Das macht doch keinen Sinn: Für $x > [mm] 0\,$ [/mm] haben wir doch [mm] $\exp(\ln(x))=x\,.$ [/mm] Dann gehst Du wieder dahin zurück, wo Du gestartet bist.
Also:
Nach [mm] $\ln$-Anwendung [/mm] hast Du
[mm] $$(x-1)*\ln(2)=x*\ln(3)\,.$$
[/mm]
Das ist doch eine tolle Gleichung, Dich stört (wie viele, warum auch immer) hier, dass da bei gewissen Zahlen ein [mm] $\ln$ [/mm] "dransteht".
Frage:
Wie würde man die Gleichung
[mm] $$(x-1)*\sqrt{2}=x*\sqrt{3}$$
[/mm]
lösen? Na doch wohl so
[mm] $$(x-1)*\sqrt{2}=x*\sqrt{3}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x*\sqrt{2}-\sqrt{2}=x*\sqrt{3}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x*(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\sqrt{2}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\,.$$
[/mm]
Das ist eine tolle analoge Gleichung inklusive "Rechnung hin zur Lösung" zu Deiner obigen [mm] "$\ln$-Gleichung" [/mm] - verstehst Du die Vorgehensweise? Und wie kann man wohl nun Deine obige [mm] "$\ln$-Gleichung" [/mm] behandeln?
Gruß,
Marcel
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