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Es sei [mm] \alpha \in \IR [/mm] und [mm] f_{n}:[0,1]-> \IR [/mm] gegeben durch: [mm] f_{n}(t):= \frac{n^{\alpha}*t}{1+t^{2}*n^{2}}
[/mm]
Bestimmen sie für welche [mm] \alpha [/mm] zutrifft:
a) [mm] f_{n}(t) [/mm] konvergiert punktweise
b).. konvergiert gleichmäßig
[mm] c)\integral_{0}^{1}{\limes_{n \to \infty} f(t) dx} [/mm] stimmt mit [mm] \limes_{n \to \infty}\integral_{0}^{1}{f(t) dt} [/mm] überein [mm] \
[/mm]
Hey
meine Ansätze:
a) für [mm] \limes_{n \to \infty} [/mm] konvergiert die Funktionenfolge nur für [mm] \alpha \le [/mm] 2..Also ist die Funktionenfolge konvergiert auch nur für [mm] \alpha \le [/mm] 2 punktweise richtig?
mit f(x)= 0 für [mm] \alpha \le [/mm] 1
und f(x)= [mm] \frac{1}{t} [/mm] für [mm] \alpha [/mm] =2
f(x) ist hier die Grenzfunktion
b) Hier komme ich leider nicht so ganz weiter und würde mich üher Hilfe freuen. ich erhalte:
[mm] |f_{n}(x)-f(x)|=|\frac{1}{(1/(t*n^{alpha}}+t^*\frac{n^2}{n^{\alpha}}|....
[/mm]
kann mir hier jemand helfen? Ich weiß leider nicht so ganz wie das mit der gleichmäßigen Konvergenz funktionieren soll
c) [mm] \integral_{0}^{1}{\limes_{n \to \infty} f(x) dx} [/mm] =0 für [mm] \alpha \le [/mm] 1 oder?
und ..=ln(t) für [mm] \alpha [/mm] =2
allerdings weiß ich nicht genau wie dies mit dem Integral übereinstimmen soll...
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 So 25.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Es sei [mm]\alpha \in \IR[/mm] und [mm]f_{n}:[0,1]-> \IR[/mm] gegeben durch:
> [mm]f_{n}(t):= \frac{n^{\alpha}*t}{1+t^{2}*n^{2}}[/mm]
> Bestimmen
> sie für welche [mm]\alpha[/mm] zutrifft:
> a) [mm]f_{n}(t)[/mm] konvergiert punktweise
> b).. konvergiert gleichmäßig
> [mm]c)\integral_{0}^{1}{\limes_{n \to \infty} f(x) dx}[/mm] stimmt
> mit [mm]\limes_{n \to \infty}\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
>
>
>
> Hey
> meine Ansätze:
Koenntest Du Dich bitte entscheiden, ob Du $f$ in Abhaengigkeit von $x$ oder $t$ auffassen moechtest.
> a) für [mm]\limes_{n \to \infty}[/mm] konvergiert die
> Funktionenfolge nur für [mm]\alpha \le[/mm] 2..Also ist die
> Funktionenfolge konvergiert auch nur für [mm]\alpha \le[/mm] 2
> punktweise richtig?
Nur von Konvergenz, ohne Angabe in welchem Sinne Konvergenz gemeint ist - gleichmaessig, punktweise etc. - ergibt keinen Sinn. Richtig ist also nur die Aussage, dass die Funktionenfolge fuer [mm] $\alpha\leq [/mm] 2$ punktweise konvergent ist. Beachte noch, dass [mm] $\alpha\in \IR$ [/mm] ist.
> mit f(x)= 0 für [mm]\alpha \le[/mm] 1
> und f(x)= [mm]\frac{1}{t}[/mm] für [mm]\alpha[/mm] =2
>
> f(x) ist hier die Grenzfunktion
Richtig; aber siehe oben.
>
> b) Hier komme ich leider nicht so ganz weiter und würde
> mich üher Hilfe freuen. ich erhalte:
>
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|=|\frac{1}{(1/(t*n^{alpha}}+t^*\frac{n^2}{n^{\alpha}}|....[/mm]
>
>
> kann mir hier jemand helfen? Ich weiß leider nicht so ganz
> wie das mit der gleichmäßigen Konvergenz funktionieren
> soll
Wie Du auf diesen Bruch gekommen bist, ist mir unklar; es ist hoechstwahrscheinlich falsch. Man moechte etwas ueber die groesstmoegliche Abweichung von der Grenzfunktion herausfinden. Du koenntest versuchen fuer festes $n$ das Maximum von [mm] $|f_{n}(x)-f(t)|$ [/mm] zu bestimmen. Wenn dies fuer [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen $0$ geht, liegt gleichmaessige Konvergenz vor.
>
> c) [mm]\integral_{0}^{1}{\limes_{n \to \infty} f(x) dx}[/mm] =0 für
> [mm]\alpha \le[/mm] 1 oder?
>
> und ..=ln(t) für [mm]\alpha[/mm] =2
>
> allerdings weiß ich nicht genau wie dies mit dem Integral
> übereinstimmen soll...
Koenntest Du bitte die Aufgabe richtig formulieren? So ist es einfach nur Quatsch.
>
> LG
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Hey
okay ich fange dann nochmal mit der b) an.. ich soll also:
[mm] \limes_{n \to 0} [/mm] sup [mm] |f_{n}(x)-f(x) [/mm] | =0 beweisen.
Hier erhalte ich:
für [mm] \alpha=2
[/mm]
[mm] |\frac{1}{1}{\frac{1}{n^{\alpha}*t}+t}-\frac{1}{t}|
[/mm]
und für n gegen unendlich ist dieser Ausdruck=0
Somit ist die Funktion für [mm] \alpha [/mm] =2 gleichmäßig konvergent richtig?
für [mm] \alpha\le1 [/mm] :
[mm] |\frac{1}{\frac{1}{n^{\alpha}}+t*n^{2-\alpha}}-0|
[/mm]
leider weiß ich nicht genau wie ich hier diesen Ausdruck beweisen soll..
c) ist geändert
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 So 25.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Hey
> okay ich fange dann nochmal mit der b) an.. ich soll
> also:
> [mm]\limes_{n \to 0}[/mm] sup [mm]|f_{n}(x)-f(x)[/mm] | =0 beweisen.
> Hier erhalte ich:
> für [mm]\alpha=2[/mm]
> [mm]|\frac{1}{1}{\frac{1}{n^{\alpha}*t}+t}-\frac{1}{t}|[/mm]
Ich sehe nicht, was $sup [mm] |f_{n}(x)-f(x)|$ [/mm] mit [mm] $|\frac{1}{1}{\frac{1}{n^{\alpha}*t}+t}-\frac{1}{t}|$ [/mm] zu tun hat.
> und für n gegen unendlich ist dieser Ausdruck=0
> Somit ist die Funktion für [mm]\alpha[/mm] =2 gleichmäßig
> konvergent richtig?
>
> für [mm]\alpha\le1[/mm] :
> [mm]|\frac{1}{\frac{1}{n^{\alpha}}+t*n^{2-\alpha}}-0|[/mm]
> leider weiß ich nicht genau wie ich hier diesen Ausdruck
> beweisen soll..
Wie du diesen Ausdruck beweisen sollst, kann ich auch nicht sagen, denn ich verstehe ihn nicht.
>
> c) ist geändert
Tja, wenn das also die richtige Aufgabenstellung ist, dann ist die Behautpung trivialerweise richtig. Deine Hausaufgabe c) ist also erledigt: volle Punktzahl!
>
>
> LG
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Hey
> > [mm]|\frac{1}{1}{\frac{1}{n^{\alpha}*t}+t}-\frac{1}{t}|[/mm]
> Ich sehe nicht, was [mm]s> >up |f_{n}(x)-f(x)|[/mm] mit
> [mm]|\frac{1}{1}{\frac{1}{n^{\alpha}*t}+t}-\frac{1}{t}|[/mm] zu tun
> hat.
naja, also [mm] f_{n}(x) [/mm] ist für [mm] \alpha=2 [/mm] doch:
[mm] \frac{n^{2}*t}{1+t*n^{2}} [/mm] das kann ich doch kürzen zu:
[mm] \frac{1}{\frac{1}{n^{2}*t}+t}
[/mm]
und für [mm] \alpha=2 [/mm] ist f(x) doch: [mm] \frac{1}{t} [/mm] oder nicht?
> >
> > c) ist geändert
> Tja, wenn das also die richtige Aufgabenstellung ist, dann
> ist die Behautpung trivialerweise richtig. Deine
> Hausaufgabe c) ist also erledigt: volle Punktzahl!
welche Behauptung?
Ich verstehe nicht genau, was du meinst. Ich soll beweisen für welche [mm] \alpha \integral_{0}^{1}{\limes_{n \to \infty} f(t) dt} [/mm] mit [mm] \limes_{n \to \infty}\integral_{0}^{1}{ f(t) dt} [/mm] übereinstimmt.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Mo 26.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
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> > > [mm]|\frac{1}{1}{\frac{1}{n^{\alpha}*t}+t}-\frac{1}{t}|[/mm]
> > Ich sehe nicht, was [mm]s> >up |f_{n}(x)-f(x)|[/mm] mit
> > [mm]|\frac{1}{1}{\frac{1}{n^{\alpha}*t}+t}-\frac{1}{t}|[/mm] zu tun
> > hat.
>
> naja, also [mm]f_{n}(x)[/mm] ist für [mm]\alpha=2[/mm] doch:
> [mm]\frac{n^{2}*t}{1+t*n^{2}}[/mm] das kann ich doch kürzen zu:
>
> [mm]\frac{1}{\frac{1}{n^{2}*t}+t}[/mm]
Aber nur für t [mm] \ne [/mm] 0.
>
> und für [mm]\alpha=2[/mm] ist f(x) doch: [mm]\frac{1}{t}[/mm] oder nicht?
Nein, es ist
[mm] f(t)=\frac{1}{t}, [/mm] falls t [mm] \in [/mm] (0,1] und f(0)=0.
>
> > >
> > > c) ist geändert
> > Tja, wenn das also die richtige Aufgabenstellung ist,
> dann
> > ist die Behautpung trivialerweise richtig. Deine
> > Hausaufgabe c) ist also erledigt: volle Punktzahl!
>
> welche Behauptung?
>
> Ich verstehe nicht genau, was du meinst. Ich soll beweisen
> für welche [mm]\alpha \integral_{0}^{1}{\limes_{n \to \infty} f(t) dt}[/mm]
> mit [mm]\limes_{n \to \infty}\integral_{0}^{1}{ f(t) dt}[/mm]
> übereinstimmt.
>
>
Überlege Dir, für welche [mm] \alpha [/mm] das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{\limes_{n \to \infty} f(t) dt} [/mm] überhaupt existiert (füe [mm] \alpha [/mm] = 2 ist das z:b: nicht der Fall)
Für diese [mm] \alpha [/mm] berechne dann [mm]\limes_{n \to \infty}\integral_{0}^{1}{ f(t) dt}[/mm]
FRED
> LG
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Hey
zu b) aber wenn dies nur für f(0)=0 gilt, wie kann ich dann allgemein die gleichmäßige Stetigkeit beweisen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Mo 26.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> zu b) aber wenn dies nur für f(0)=0 gilt, wie kann ich
> dann allgemein die gleichmäßige Stetigkeit beweisen?
Du meinst die gleichmäßige Konvergenz. Im Falle [mm] \alpha=2 [/mm] ist [mm] (f_n) [/mm] nicht glm. konvergent, denn alle [mm] f_n [/mm] sind stetig, die Grenzfunktion aber nicht.
FTED
>
>
> LG
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Hey
okay aber ich verstehe noch nicht so ganz warum.
Für [mm] \alpha=2 [/mm] habe ich doch
[mm] \frac{n^2*t}{1+t^2*n^2}
[/mm]
und für n gegen unendlich erhalte ich für t [mm] \in [/mm] [0,1] : f(x)=0 oder'? zumindest für [mm] t\not=0 [/mm]
dann habe ich für [mm] |f_{n}(x)-f(x)|= |\frac{n^2*t}{1+t^2*n^2}-(1/t)|
[/mm]
wegen t [mm] \in [/mm] [0,1] gilt:
[mm] |\frac{n^2*t}{1+t^2*n^2}-(1/t)|\le |\frac{n^2}{1+n^2}| [/mm] und das ist nie kleiner als Epsilon..reicht das hier als Begründung?
für t=0 habe ich : f(0)=0 und dann wäre ja |0-0|=0 leider bin ich hier komplett am Holzweg wie ich gescheit abschätzen soll
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mo 26.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ist dir kalsr, dass [mm] f_n)(0)=0 [/mm] für alle n und [mm] \alpha?
[/mm]
für welche [mm] \alpha [/mm] konvergiert [mm] f_n [/mm] gegen 0?
für welche [mm] \alpha [/mm] konvergiert [mm] f_n [/mm] gar nicht, für welche punktweise? für welche gleichmäsig? schreib das genau auf, dann kann man besser kommentieren.
Gruß leduart
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Hey
zu c)
wieso existiert dieses Integral für [mm] \alpha [/mm] gleich 2 nicht?
Denn die Grenzfunktion zu [mm] \alpha [/mm] =2 ist doch:
[mm] f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t \mbox{=0} \\ (1/t), & \mbox{für } t \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
jetzt könnte ich doch zu beiden Folgen das Integral bilden oder nicht?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Mo 26.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
was hwisst zu beiden Folgen? und was ist das Integral von [mm] \epsilon [/mm] bis 1 von 1/t= was für [mm] \epsilon [/mm] gegen 0?
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Mo 26.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Hey
>
> > > [mm]|\frac{1}{1}{\frac{1}{n^{\alpha}*t}+t}-\frac{1}{t}|[/mm]
> > Ich sehe nicht, was [mm]s> >up |f_{n}(x)-f(x)|[/mm] mit
> > [mm]|\frac{1}{1}{\frac{1}{n^{\alpha}*t}+t}-\frac{1}{t}|[/mm] zu tun
> > hat.
>
> naja, also [mm]f_{n}(x)[/mm] ist für [mm]\alpha=2[/mm] doch:
> [mm]\frac{n^{2}*t}{1+t*n^{2}}[/mm] das kann ich doch kürzen zu:
>
> [mm]\frac{1}{\frac{1}{n^{2}*t}+t}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ja, aber du hast doch etwas voellig anderes geschrieben! Zuerst $\frac{1}{1}{\frac{1}{n^{\alpha}*t}+t}-\frac{1}{t}$ und jetzt $\frac{1}{\frac{1}{n^{2}*t}+t$. Interessiert dich das ueberhaupt?
>
> und für [mm]\alpha=2[/mm] ist f(x) doch: [mm]\frac{1}{t}[/mm] oder nicht?
>
> > >
> > > c) ist geändert
> > Tja, wenn das also die richtige Aufgabenstellung ist,
> dann
> > ist die Behautpung trivialerweise richtig. Deine
> > Hausaufgabe c) ist also erledigt: volle Punktzahl!
>
> welche Behauptung?
Die aus der Aufgabenstellung c). Siehe auch den nachfolgenden Absatz, in dem du die Behauptung selber nocheinmal formuliert hast: "Ich soll beweisen"... etc.
>
> Ich verstehe nicht genau, was du meinst. Ich soll beweisen
> für welche [mm]\alpha \integral_{0}^{1}{\limes_{n \to \infty} f(t) dt}[/mm]
> mit [mm]\limes_{n \to \infty}\integral_{0}^{1}{ f(t) dt}[/mm]
> übereinstimmt.
Der Fehler auf den ich dich aufmerksam machen wollte, war, dass bei deiner Formulierung ueberhaupt nicht mehr die Funktionenfolge, sondern nur noch die Grenzfunktion steht!
>
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Di 27.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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