Funktionenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:46 Mo 15.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n} [/mm] |
Hallo,
ich möchte den Konvergenzradius der obigen Potenzreihen berechnen. Dazu verwende ich das Quotientenkriterium. Allerdings muss ich sagen, dass dies die erste Funktionenreihe ist, die ich bearbeite. Ich habe keine Ahnung ob das stimmt was ich hier mache. Deshalb auch die Frage  .
Also hier mein Lösungsvorschlag:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow |\bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n+1}}| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{n}*\bruch{n+1}{1}| [/mm] = [mm] |\bruch{n+1}{n}| [/mm] = [mm] |\bruch{n}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}| [/mm] = |1 + [mm] \bruch{1}{n}|
[/mm]
Nehme ich nun den limes, dann sieht es so aus:
[mm] \limes_{n \rightarrow \infty} 1+\bruch{1}{n} [/mm] = 1 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
Aber ich hab noch im Gedächtnis, dass wenn beim QK 1 rauskommt, keine Aussage über die konvergenz bzw. divergenz getroffen werden kann. Was mache ich denn nun?
Ich habe außerdem noch im Gedächtnis, dass die Reihe [mm] \bruch{1}{n} [/mm] divergiert. Aber wird hier die Reihe oder die Folge betrachtet?
Ich versteh ned :-(.
Danke schonmal für eure Hilfe.
Grüße
Ali
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Guten Morgen,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich möchte den Konvergenzradius der obigen Potenzreihen
> berechnen. Dazu verwende ich das Quotientenkriterium.
> Allerdings muss ich sagen, dass dies die erste
> Funktionenreihe ist, die ich bearbeite. Ich habe keine
> Ahnung ob das stimmt was ich hier mache. Deshalb auch die
> Frage .
>
> Also hier mein Lösungsvorschlag:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |\bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n+1}}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{1}{n}*\bruch{n+1}{1}|[/mm] = [mm]|\bruch{n+1}{n}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{n}{n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n}|[/mm] = |1 + [mm]\bruch{1}{n}|[/mm]
>
> Nehme ich nun den limes, dann sieht es so aus:
>
> [mm]\limes_{n \rightarrow \infty} 1+\bruch{1}{n}[/mm] = 1 [mm]\forall[/mm] x
> [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Du berechnest $\frac{a_n}{a_{n+1}$. Standardmäßig betrachtet man im QK aber $\frac{a_{n+1}}{a_n}$.
Und wo ist eigentlich das x hin?
>
> Aber ich hab noch im Gedächtnis, dass wenn beim QK 1
> rauskommt, keine Aussage über die konvergenz bzw.
> divergenz getroffen werden kann. Was mache ich denn nun?
Bei diesem Limes kann man eine Aussage machen. Es wäre hier ganz hilfreich zu wissen wie ihr das QK genau aufgeschrieben habt. Es gibt da mehrere Varianten wie man das QK verfeinern kann.
> Ich habe außerdem noch im Gedächtnis, dass die Reihe
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] divergiert. Aber wird hier die Reihe oder die
> Folge betrachtet?
>
Die schreibst Reihe, [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] ist aber keine Reihe sondern eine Folge. Bitte achte auf eine exakte Ausdrucksweise.
> Ich versteh ned :-(.
>
> Danke schonmal für eure Hilfe.
>
> Grüße
> Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:23 Mo 15.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
Vielen Dank schonmal.
> Guten Morgen,
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n}[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > ich möchte den Konvergenzradius der obigen Potenzreihen
> > berechnen. Dazu verwende ich das Quotientenkriterium.
> > Allerdings muss ich sagen, dass dies die erste
> > Funktionenreihe ist, die ich bearbeite. Ich habe keine
> > Ahnung ob das stimmt was ich hier mache. Deshalb auch die
> > Frage .
> >
> > Also hier mein Lösungsvorschlag:
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n}[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow |\bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n+1}}|[/mm] =
> > [mm]|\bruch{1}{n}*\bruch{n+1}{1}|[/mm] = [mm]|\bruch{n+1}{n}|[/mm] =
> > [mm]|\bruch{n}{n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n}|[/mm] = |1 + [mm]\bruch{1}{n}|[/mm]
> >
> > Nehme ich nun den limes, dann sieht es so aus:
> >
> > [mm]\limes_{n \rightarrow \infty} 1+\bruch{1}{n}[/mm] = 1 [mm]\forall[/mm] x
> > [mm]\in \IR[/mm]
> Du berechnest [mm]\frac{a_n}{a_{n+1}[/mm].
> Standardmäßig betrachtet man im QK aber
> [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/mm].
> Und wo ist eigentlich das x hin?
Ich dachte ich betrachte das ganze so:
[mm] \bruch{x^{n}}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}*x^{n}
[/mm]
Und lasse dann für das quotientenkriterium das [mm] x^{n} [/mm] weg. Darf ich das überhaupt? Ist das richtig so?
> >
> > Aber ich hab noch im Gedächtnis, dass wenn beim QK 1
> > rauskommt, keine Aussage über die konvergenz bzw.
> > divergenz getroffen werden kann. Was mache ich denn nun?
> Bei diesem Limes kann man eine Aussage machen. Es wäre
> hier ganz hilfreich zu wissen wie ihr das QK genau
> aufgeschrieben habt. Es gibt da mehrere Varianten wie man
> das QK verfeinern kann.
Also wir haben das Quotientenkriterium im Skript so stehen:
"Sei [mm] \summe_{n=n_{0}}^{\infty} a_{n} [/mm] eine Reihe mit [mm] a_{n} \not= [/mm] 0, für alle n [mm] \ge n_{1} \ge n_{0}. [/mm] Ferner gebe es eine reelle Zahl [mm] \nu [/mm] mit 0 < [mm] \nu [/mm] < 1 so dass [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] | [mm] \le \nu [/mm] für alle n [mm] \ge n_{1}, [/mm] so konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=n_{0}}^{\infty} a_{n} [/mm] absolut."
Aber bei mir kommt ja 1 raus :-( da kann ich ja dann keine Aussage treffen oder? Weil das [mm] \nu [/mm] muss ja kleiner sein als 1 laut Definition. Was soll ich nun machen?
> > Ich habe außerdem noch im Gedächtnis, dass die Reihe
> > [mm]\bruch{1}{n}[/mm] divergiert. Aber wird hier die Reihe oder die
> > Folge betrachtet?
> >
> Die schreibst Reihe, [mm]\frac{1}{n}[/mm] ist aber keine Reihe
> sondern eine Folge. Bitte achte auf eine exakte
> Ausdrucksweise.
Ok. Sorry. Folge!
> > Ich versteh ned :-(.
> >
> > Danke schonmal für eure Hilfe.
> >
> > Grüße
> > Ali
>
Grüße
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Du darfst wenn du dieses QK verwenden willst natürlich nicht weglassen.
Das [mm] $a_n$ [/mm] ist das was hinter dem Summenzeichen steht. Bei dir steht da halt auch ein [mm] $x^n$ [/mm] dabei.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:44 Mo 15.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
Eigentlich logisch XD.
Also was sagst du dazu:
[mm] \Rightarrow |\bruch{\bruch{x^{n+1}}{n+1}}{\bruch{x^{n}}{n}} [/mm] | = | [mm] \bruch{x^{n+1}}{n+1} [/mm] * [mm] \bruch{n}{x^{n}} [/mm] | = [mm] |\bruch{x^{n}*x*n}{n(1+\bruch{1}{n})*x^{n}}| [/mm] = [mm] |\bruch{x}{(1+\bruch{1}{n})}|
[/mm]
Ok. Und nun kann ich doch sagen, dass das ganze für x<1 konvergiert und für x>1 divergiert.
oder???
Grüße
Ali
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> Eigentlich logisch XD.
>
> Also was sagst du dazu:
>
> [mm]\Rightarrow |\bruch{\bruch{x^{n+1}}{n+1}}{\bruch{x^{n}}{n}}[/mm]
> | = | [mm]\bruch{x^{n+1}}{n+1}[/mm] * [mm]\bruch{n}{x^{n}}[/mm] | =
> [mm]|\bruch{x^{n}*x*n}{n(1+\bruch{1}{n})*x^{n}}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{x}{(1+\bruch{1}{n})}|[/mm]
>
> Ok. Und nun kann ich doch sagen, dass das ganze für x<1
> konvergiert und für x>1 divergiert.
Können wir daraus ein |x|<1 und |x|>1 machen?
Ansonsten passts.
> oder???
>
Fehlt noch: was passiert bei |x|=1?
> Grüße
> Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:53 Mo 15.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
> > Eigentlich logisch XD.
> >
> > Also was sagst du dazu:
> >
> > [mm]\Rightarrow |\bruch{\bruch{x^{n+1}}{n+1}}{\bruch{x^{n}}{n}}[/mm]
> > | = | [mm]\bruch{x^{n+1}}{n+1}[/mm] * [mm]\bruch{n}{x^{n}}[/mm] | =
> > [mm]|\bruch{x^{n}*x*n}{n(1+\bruch{1}{n})*x^{n}}|[/mm] =
> > [mm]|\bruch{x}{(1+\bruch{1}{n})}|[/mm]
> >
> > Ok. Und nun kann ich doch sagen, dass das ganze für x<1
> > konvergiert und für x>1 divergiert.
> Können wir daraus ein |x|<1 und |x|>1 machen?
Ausnahmsweise .
> Ansonsten passts.
> > oder???
> >
> Fehlt noch: was passiert bei |x|=1?
Da kann doch keine Aussage getroffen werden. oder? Also ich weiß noch aus der Analysis 1, dass wenn bei einem Konvergenzkriterium =1 rauskommt müsste ich ein anderes kriterium anwenden. Wie ist es hier?
> > Grüße
> > Ali
>
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Das Quotientenkriterium kann keine Aussage treffen im Fall |x|=1.
Nichtsdestrotrots konvergiert die Reihe für diese x entweder oder sie tut es nicht.
Es muss aber auch nicht so sein, dass sich in dieser Hinsicht alle x mit |x|=1 gleich verhalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mo 15.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
> Das Quotientenkriterium kann keine Aussage treffen im Fall
> |x|=1.
> Nichtsdestrotrots konvergiert die Reihe für diese x
> entweder oder sie tut es nicht.
> Es muss aber auch nicht so sein, dass sich in dieser
> Hinsicht alle x mit |x|=1 gleich verhalten.
und nun?
Also was mache ich jetzt mit diesem wissen?
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Hiho,
> und nun?
> Also was mache ich jetzt mit diesem wissen?
wie wär es mal mit Einsetzen?
Wie sieht die Reihe denn aus für |x|=1 ?
Welche Fälle gibt es denn da, wenn |x|=1 ist?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mo 15.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
> Hiho,
>
> > und nun?
> > Also was mache ich jetzt mit diesem wissen?
>
> wie wär es mal mit Einsetzen?
sorry aber ich versteh das gerade nicht. wenn ich einsetzte steht doch dann da:
für x = 1
[mm] \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})} [/mm] Und das geht ja gegen 1 und somit kann ich doch keine Aussage treffen.
und für x = -1 kann ich das quotientenkriterium ja garnicht verwenden, da es doch alternierend ist. da bräuchte ich doch das leibnitz kriterium. oder?
danke schonmal.
> Wie sieht die Reihe denn aus für |x|=1 ?
> Welche Fälle gibt es denn da, wenn |x|=1 ist?
>
> MFG,
> Gono.
grüße
ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mo 15.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
Also habe grad mit nem kommillitor von mir geredet. habe jetzt die lösung:
für x = 1 divergiert die potenzreihe schon. weil es ist eben so definiert, dass es nur für [mm] \nu [/mm] < 1 konvergiert. also echt kleiner.
liege ich nun richtig???
grüße
ali
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Die Aussage ist richtig die Begründung ist hahnebüchen.
Für Punkte auf dem Rand der Konvergenzscheibe macht kein Kriterium eine Aussage ob die Reihe an diesem Punkt konvergiert oder nicht.
Warum: Weil man keine allgemeingültige Aussage machen kann.
Manchmal konvergiert die Reihe für Punkte auf dem Konvergenzradius, manchmal nicht.
Das steht beim Quotientenkriterium auch dabei. Und gesagt hab ich's auch schon.
Du hast jetzt hier zwei Reihen.
Da ist es nicht so schwierig diese zwei konkret gegebenen Reihen auf Konvergenz zu überprüfen.
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Hiho,
setz doch mal x=1 oder x=-1 in die Reihe ein!
Dann stehen da welche Reihen?
Was weißt du darüber?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Fr 19.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
Für x = 1:
[mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}
[/mm]
was ich über diese Reihe weiß?
Ich denke die Reihe [mm] \bruch{1}{n} [/mm] divergiert für n gegen [mm] \infty [/mm] und 1 dazugezählt ist immernoch [mm] \infty.
[/mm]
oder?
und für x = -1:
[mm] \bruch{-1}{1+\bruch{1}{n}}
[/mm]
Hier eigentlich das selbe. und nun???
keine ahnung....
Weiß immernoch nicht wie ich das begründen soll.
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo Ali,
> Für x = 1:
>
> [mm]\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}[/mm]
Was machst du denn da?
Die Reihe lautet doch [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{x^n}{n}[/mm]
Herausgefunden hast du, dass diese Reihe für [mm]|x|<1[/mm] konvergiert und für [mm]|x|>1[/mm] divergiert.
Nun möchtest du untersuchen, wie es mit den Randpunkten [mm]|x|=1[/mm], also [mm]x=\pm 1[/mm] aussieht ...
Setzt man [mm]x=1[/mm] in die Reihe ein, steht doch da [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1^n}{n}=\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n}[/mm]
Und das ist doch die weltbekannte harmonische Reihe. Die MUSST du doch kennen ...
Konvergent oder divergent?
Im anderen Fall setzen wir [mm]x=-1[/mm] ein und bekommen die Reihe
[mm]\sum\limitis_{n\ge 1}\frac{(-1)^n}{n}[/mm]
Auch weltbekannt als alternierende harmonische Reihe.
Untersuche diese Reihe auf Konvergenz - welches Kriterium bietet sich an ?
>
> was ich über diese Reihe weiß?
> Ich denke die Reihe [mm]\bruch{1}{n}[/mm] divergiert
Das ist keine Reihe, nur ein Bruch ...
> für n gegen
> [mm]\infty[/mm] und 1 dazugezählt ist immernoch [mm]\infty.[/mm]
>
> oder?
Keine Ahnung, was du da brabbelst ....
Echt, was soll das alles bedeuten?
>
> und für x = -1:
>
> [mm]\bruch{-1}{1+\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> Hier eigentlich das selbe. und nun???
>
> keine ahnung....
Und mir ist komplett schleierhaft, was du da treibst. Du hast eine Reihe gegeben und sollst da zwei Werte für x einsetzen und auf Konvergenz prüfen.
Stattdessen schreibst du Fantasiebrüche hin, die komplett sinnfrei sind ...
>
> Weiß immernoch nicht wie ich das begründen soll.
Weißt du denn, was die Aufgabenstellung von dir verlangt? Mir scheint, als ist dir das komplett unklar ...
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Fr 19.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
> Hallo Ali,
>
> > Für x = 1:
> >
> > [mm]\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> Was machst du denn da?
>
> Die Reihe lautet doch [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{x^n}{n}[/mm]
>
> Herausgefunden hast du, dass diese Reihe für [mm]|x|<1[/mm]
> konvergiert und für [mm]|x|>1[/mm] divergiert.
>
> Nun möchtest du untersuchen, wie es mit den Randpunkten
> [mm]|x|=1[/mm], also [mm]x=\pm 1[/mm] aussieht ...
>
> Setzt man [mm]x=1[/mm] in die Reihe ein, steht doch da
> [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1^n}{n}=\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n}[/mm]
>
> Und das ist doch die weltbekannte harmonische Reihe. Die
> MUSST du doch kennen ...
>
> Konvergent oder divergent?
Das ist die harmonische Reihe. Die divergiert.
>
> Im anderen Fall setzen wir [mm]x=-1[/mm] ein und bekommen die Reihe
>
> [mm]\sum\limitis_{n\ge 1}\frac{(-1)^n}{n}[/mm]
>
> Auch weltbekannt als alternierende harmonische Reihe.
>
> Untersuche diese Reihe auf Konvergenz - welches Kriterium
> bietet sich an ?
Leibniz kriterium:
[mm] \limes_{n \rightarrow \infty}\bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] = 0
[mm] a_{n+1}=\bruch{(-1)^{n+1}}{n+1}\le\bruch{(-1)^{n}}{n}=a_{n}
[/mm]
>
> >
> > was ich über diese Reihe weiß?
> > Ich denke die Reihe [mm]\bruch{1}{n}[/mm] divergiert
>
> Das ist keine Reihe, nur ein Bruch ...
>
> > für n gegen
> > [mm]\infty[/mm] und 1 dazugezählt ist immernoch [mm]\infty.[/mm]
> >
> > oder?
>
> Keine Ahnung, was du da brabbelst ....
>
> Echt, was soll das alles bedeuten?
>
> >
> > und für x = -1:
> >
> > [mm]\bruch{-1}{1+\bruch{1}{n}}[/mm]
> >
> > Hier eigentlich das selbe. und nun???
> >
> > keine ahnung....
>
> Und mir ist komplett schleierhaft, was du da treibst. Du
> hast eine Reihe gegeben und sollst da zwei Werte für x
> einsetzen und auf Konvergenz prüfen.
>
> Stattdessen schreibst du Fantasiebrüche hin, die komplett
> sinnfrei sind ...
>
> >
> > Weiß immernoch nicht wie ich das begründen soll.
>
> Weißt du denn, was die Aufgabenstellung von dir verlangt?
> Mir scheint, als ist dir das komplett unklar ...
gefragt ist der konvergenzradius der potenzreihe. also ich soll berechnen für welche x der [mm] |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \mu [/mm] sind wobei [mm] \mu \ge [/mm] 0 ist.
richtig????
>
> >
> > Danke schonmal.
> >
> > Grüße
> > Ali
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
> > Setzt man [mm]x=1[/mm] in die Reihe ein, steht doch da
> > [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1^n}{n}=\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n}[/mm]
>
> >
> > Und das ist doch die weltbekannte harmonische Reihe. Die
> > MUSST du doch kennen ...
> >
> > Konvergent oder divergent?
>
> Das ist die harmonische Reihe. Die divergiert.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> >
> > Im anderen Fall setzen wir [mm]x=-1[/mm] ein und bekommen die Reihe
> >
> > [mm]\sum\limitis_{n\ge 1}\frac{(-1)^n}{n}[/mm]
> >
> > Auch weltbekannt als alternierende harmonische Reihe.
> >
> > Untersuche diese Reihe auf Konvergenz - welches Kriterium
> > bietet sich an ?
>
> Leibniz kriterium:
>
> [mm]\limes_{n \rightarrow \infty}\bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm] = 0
Hmm, Leibniz ist doch für Reihen [mm]\sum\limits_{n\ge 0}(-1)^n\cdot{}a_n[/mm]
Hier ist [mm]a_n=\frac{1}{n}[/mm], also [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}=\bruch{(-1)^{n+1}}{n+1}\le\bruch{(-1)^{n}}{n}=a_{n}[/mm]
Na, stimmt das denn??
Zu zeigen ist, dass [mm]\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}[/mm] monoton fallend ist.
Das ist aber offensichtlich so ...
> gefragt ist der konvergenzradius der potenzreihe. also ich
> soll berechnen für welche x der [mm]|x-x_{0}|[/mm] < [mm]\mu[/mm] sind wobei
> [mm]\mu \ge[/mm] 0 ist.
>
> richtig????
Wenn dich "nur" der Konvergenzradius interessiert, so bist du mit der Berechnung der Konvergenz für [mm]|x|<1[/mm] und Divergenz für [mm]|x|>1[/mm] fertig.
Der K-Radius ist [mm]\mu=1[/mm] (Konvergenz für [mm]|x|=|x-0|<\mu=1[/mm]
Wenn du hingegen alle [mm]x\in\IR[/mm] angeben sollst, für die die Reihe konvergiert, musst du die Randpunkte noch untersuchen, wie jetzt geschehen.
Auf dem Rand bzw. in den Randpunkten des K_Radius, also für [mm]|x|=\mu[/mm] ist nämlich i.A. ohne weitere Untersuchung keine Aussage möglich.
Hier war es zB. so, dass die Reihe für den einen Randpunkt [mm]x=1[/mm] divergiert, für den anderen [mm]x=-1[/mm] aber konvergiert ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Fr 19.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
ok. supii... vielen vielen dank für eure geduld. :-D
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