Funktionenfolgen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:57 Mi 13.12.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
ich habe ein bisschen Probleme mit der punktweisen und gleichmäßigen Konvergenz. Wenn eine Funktionenfolge gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion konvergiert weiß ich mit sicherheit das die Grenzfunktion stetig ist. Wenn nun eine Funktionenfolge punktweise gegen eine Grenzfunktion konvergiert muss die Grenzfunktion nicht stetig sein. Sie kann doch deswegen aber trotzdem stetig sein oder nicht. Also ich meine damit, dass nur weil die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert, heißt das also nicht unbedingt, das die Grenzfunktion nicht!!! stetig ist??? Ich habe hier nämlich eine Hausaufgabe, wo die Funktionenfolge punktweise konvergiert und man dies auch zeigen soll. Jedoch denke ich das die Grenzfunktion trotzdem stetig ist und zwar auf ganz [mm] \IR, [/mm] wofür auch die Funktionenfolge definiert ist. Die Grenzfunktion lautet nämlich f(x)=0. Und man sollte zeigen, dass sie nicht gleichmäßig konvergiert. Deswegen bin ich jetzt etwas verunsichert gewesen. Also entweder meine Annahme stimmt, oder ich habe bei der Grenzfunktion etwas falsch gemacht, obwohl das eigentlich gar nicht sein kann, denn die Grenzfunktion ist offensichtlich.
Irgendwie ist es für mich sowieso eine Gradwanderung zu zeigen, dass eine Funktionenfolge oder auch eine Reihe punktweise konvergiert oder gleichmäßig konvergiert, weil ich mir eigentlich nie so ganz sicher bin was ich eigentlich genau machen muss.
Also es wäre nett, wenn mir jemand eine Antwort geben könnte.
Gruß,
clwoe
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Hallo
> Wenn eine Funktionenfolge
STETIGER Funktionen
> gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion konvergiert weiß ich
> mit sicherheit das die Grenzfunktion stetig ist.
Ja.
> Wenn nun eine Funktionenfolge
stetiger Funktionen
> punktweise gegen eine Grenzfunktion konvergiert muss die Grenzfunktion nicht stetig sein.
Genau.
> Sie kann doch deswegen aber trotzdem stetig sein oder nicht.
ja. Man weiß es nicht. Die punktweise Konvergenz stetiger Funktionen sagt uns nichts über die Stetigkeit der Grenzfunktion.
> Also ich meine damit, dass nur weil die Funktionenfolge
> nicht gleichmäßig konvergiert, heißt das also nicht
> unbedingt, das die Grenzfunktion nicht!!! stetig ist???
Ja.
> Ich habe hier nämlich eine Hausaufgabe, wo die Funktionenfolge
> punktweise konvergiert und man dies auch zeigen soll.
> Jedoch denke ich das die Grenzfunktion trotzdem stetig ist
> und zwar auf ganz [mm]\IR,[/mm] wofür auch die Funktionenfolge
> definiert ist. Die Grenzfunktion lautet nämlich f(x)=0. Und
> man sollte zeigen, dass sie nicht gleichmäßig konvergiert.
Da ist kein Widerspruch zu erkennen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Mi 13.12.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo nochmal,
mein Problem bezüglich der Konvergenz ist immer, ich weiß nicht so recht, wann ich gezeigt habe, das die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Und meistens auch nicht so recht wie ich anfangen soll.
Ich gebe euch hier mal die Aufgabe und zeige euch wie ich es gemacht habe. Es geht darum zu zeigen das die Funktionenfolge auf ganz [mm] \IR [/mm] punktweise konvergiert.
[mm] f_{n}(x)=\bruch{x^{2}}{n^{2}+x^{2}}
[/mm]
Zu zeigen ist doch nun: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D [mm] \forall \varepsilon>0 \exists N(\varepsilon) [/mm] so das [mm] \forall n>N(\varepsilon) [/mm] gilt: [mm] |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon
[/mm]
Man sagt ja auch, das bei der punktweisen Konvergenz das [mm] N(\varepsilon) [/mm] von x und auch von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt, bei der gleichmäßigen Konvergenz dagegen nur von [mm] \varepsilon [/mm] und nicht mehr von x.
Ich gebe also ein [mm] \varepsilon [/mm] und ein x fest vor. Dann berechne ich den Grenzwert der Funktionenfolge, weil den braucht man ja für den Betrag. Der Grenzwert also die Grenzfunktion lautet hier: f(x)=0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D.
Da also die Funktionenfolge für alle x gegen eine Grenzfunktion konvergiert und diese 0 ist, brauche ich also nur noch zeigen, [mm] dass:|f_{n}(x)|<\varepsilon [/mm] gilt aber gleichzeitig das [mm] N(\varepsilon) [/mm] welches existiert auch vom vorher gewählten x abhängig ist.
Das geht aber ja eindeutig aus [mm] |f_{n}(x)|<\varepsilon [/mm] hervor, da ja klar ist, das wenn x und [mm] \varepsilon [/mm] schon bestimmt ist, das [mm] N(\varepsilon) [/mm] nun von diesen fest gewählten Werten abhängt, so das die Ungleichung erfüllt ist.
Bin ich nun somit fertig, oder ist der Beweis noch unvollständig, oder ist es vielleicht sogar überhaupt kein Beweis sondern nur Blödsinn???
Ich bin hier echt am zweifeln, ob ich verstanden habe, wie man so etwas zeigt.
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> Zu zeigen ist doch nun: [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] D [mm]\forall \varepsilon>0 \exists N(\varepsilon)\forall n>N(\varepsilon):|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon[/mm]
Joa, das ist zu zeigen.
> Man sagt ja auch, das bei der punktweisen Konvergenz das
> [mm]N(\varepsilon)[/mm] von x und auch von [mm]\varepsilon[/mm] abhängt, bei
> der gleichmäßigen Konvergenz dagegen nur von [mm]\varepsilon[/mm]
> und nicht mehr von x.
Ja, d.h. durch geschicktes Umformen kannst du also beides auf einmal zeigen, dazu aber später mehr :
> Ich gebe also ein [mm]\varepsilon[/mm] und ein x fest vor.
So geht das leider nicht, daß du das ja für ALLE Epsilon und ALLE x zeigen musst :)
>Dann berechne ich den Grenzwert der Funktionenfolge, weil den
> braucht man ja für den Betrag. Der Grenzwert also die
> Grenzfunktion lautet hier: [mm]f(x)=0 \forall x \in D[/mm].
Stimmt soweit schonmal.
> Da also die Funktionenfolge für alle x gegen eine
> Grenzfunktion konvergiert und diese 0 ist
Naja, momentan hast die Grenzfunktion nur "geraten", nun willst du noch zeigen, daß Konvergenz hier wirklich vorliegt!
>brauche ich also nur noch zeigen, [mm]dass:|f_{n}(x)|<\varepsilon[/mm] gilt
In diesem Fall richtig 
> gleichzeitig das [mm]N(\varepsilon)[/mm] welches existiert auch vom
> vorher gewählten x abhängig ist.
Nö, das musst du nicht zeigen, bzw. das zu zeigen könntest du wirklich nur, indem du zeigst, daß die Negation der glm. Konvergenz wahr ist.
Es ist halt so: Wenn du keine Abschätzung findest, daß dein [mm] n_0 [/mm] (ich nenns mal so^^) nicht mehr von x abhängt, dann kannst du halt keine Aussage darüber machen, ob die Konvergenz gleichmäßig ist, du weisst nur, sie ist Punktweise. Findest du aber so eine Abschätzung, daß das [mm] n_0 [/mm] nicht mehr von x abhängt, dann weisst du, die Konvergenz ist gleichmäßig.
Ok, den Rest von dir vergessen wir jetzt erstmal und machen "normal" Weiter:
Wir haben also zu zeigen:
[mm]\forall x \forall\varepsilon \exists n_0 \forall n\ge n_0: |f_n(x)| < \varepsilon[/mm]
[mm]\gdw |\bruch{x^2}{n^2 + x^2}| < \varepsilon[/mm]
[mm]\gdw \bruch{x^2}{n^2+x^2} < \varepsilon[/mm]
Nun sind die x ja beliebig aber fest und aus der Theorie der Folgen wissen wir [mm]\bruch{x^2}{n^2 + x^2} \to 0[/mm] für [mm]n \ to \infty[/mm].
D.h. wir finden garantiert ein [mm] n_0, [/mm] so daß [mm] \bruch{x^2}{n^2+x^2} [/mm] < [mm] \varepsilon \forall n\ge n_0 [/mm] (da [mm] \varepsilon [/mm] > 0).
D.h. wir wissen, daß die Funktionenfolge erstmal Punktweise konvergent ist.
Gucken wir uns allerdings noch eine weitere Abschätzung an:
[mm]\bruch{x^2}{n^2 + x^2} < \bruch{1}{n}[/mm] (für genügend grosse n)
[mm]\Rightarrow \bruch{x^2}{n^2 + x^2} < \bruch{1}{n} < \varepsilon [/mm]
Wir finden ein [mm] n_0, [/mm] daß [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] D.h. wir finden also eine Abschätzung, so daß die Wahl unseres [mm] n_0 [/mm] nicht mehr von x abhängt, somit ist die Konvergenz auch gleichmäßig.
Das passt auch dazu, daß die Grenzfunktion stetig sein muss, da die Funktionenfolgeglieder alle stetig sind.
Hoffe, du hast nun ein bisschen mehr davon verstanden
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mi 13.12.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort. Ich habe es bis jetzt verstanden. Nur soll ich im zweiten Teil der Aufgabe zeigen, das die Funktionenfolge nicht!!! gleichmäßig konvergiert. Wie soll das gehen, wenn du sagst und was mir auch klar ist, das sie gleichmäßig konvergiert??? Im dritten Teil soll ich dann zeigen, dass sie auf jedem beschränktem Teilintervall gleichmäßig konvergiert. Aber deiner Aussage zur Folge konvergiert sie ja auf ganz [mm] \IR [/mm] gleichmäßig, was stimmt denn jetzt nicht???
Das heißt also jetzt, das ich immer abschätzen muss, um zu zeigen, dass eine Funtionenfolge punktweise oder gleichmäßig konvergiert!!! Ist das richtig?
Gruß,
clwoe
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Hiho,
also kann auch sein, daß ich irgendwo nen Fehler drin hab, allerdings seh ich wenn dann gerade nicht wo -.-
Erstmal zum allgemeinen Verfahren, wie man zeigt, daß eine Funktion NICHT gleichmäßig Konvergent ist:
Wir nehmen uns die Definition der glm. Konvergenz:
[mm]\forall \varepsilon \exists n_0 \forall n\ge n_0 \forall x: |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon[/mm]
Da wir zeigen wollen, daß die Funktion nicht glm. konvergiert, negieren wir die Aussage:
[mm]\exists \varepsilon \forall n_0 \exists n\ge n_0 \exists x: |f_n(x) - f(x)| \ge \varepsilon[/mm]
In deinem Fall soll also gelten:
[mm]\exists \varepsilon \forall n_0 \exists n\ge n_0 \exists x: \bruch{x^2}{n^2+x^2} \ge \varepsilon[/mm]
Da hier ja nur ein Epsilon existieren soll, wählen wir uns das einfach mal 0.5:
[mm]\bruch{x^2}{n^2+x^2} \ge 0.5[/mm]
[mm]\gdw x^2 \ge 0.5n^2 + 0.5x^2[/mm]
[mm]\gdw x^2 \ge n^2[/mm]
Ok, wir finden nun also zu jedem n so ein [mm] x^2, [/mm] daß das gilt, somit ist die Funktion nicht glm. konvergent.
Wenn das Intervall allerdings beschränkt ist, ist [mm] x^2 [/mm] ebenfalls beschränkt und somit finden wir durchaus n, so daß [mm]x^2 \ge n^2[/mm] nicht gilt.
Nun weiss ich auch, wo mein Fehler lag, die Abschätzung
[mm]\bruch{x^2}{x^2 + n^2} < \bruch{1}{n}[/mm] gilt, wenn wir uns das n NACH den x wählen dürfen (also bei pktw. Konvergenz). Bei glm. Konvergenz müssen wir das n allerding VOR dem x wählen und somit gilt die Abschätzung dann für grosse x nicht mehr.
Aber auch hier gilt: Wenn x beschränkt ist, (d.h. auf einem festen Intervall definiert ist) können wir [mm] \bruch{x^2}{x^2 + n^2} [/mm] durchaus abschätzen durch eine Funktion, die nur von n abhängig ist, und damit ist es wieder glm. konvergenz.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mi 13.12.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
also ich denke ich habs verstanden. Mir war nicht klar, das die Kurzschreibweise mir so viel Information gibt, über das was ich eigentlich machen soll, also das mit dem Epsilon wählen und mit den x, die gewählt werden können. Nun ist mir das Ganze klar und ich denke ich habs verstanden.
Vielen Dank nochmal und Gruß,
clwoe
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