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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Fr 23.11.2007 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | UNtersuchen Sie die folgenden Funktionen jeweils auf Konvergenz im Sinne: punktweise, gleichmäßig, µ-f.ü., nach dem Lebesgue-Maß.
1. [mm] f_k [/mm] :[0,1]-> R mit [mm] f_k [/mm] (x)= [mm] \wurzel[k]{x}\
[/mm]
2. [mm] f_k [/mm] :R-> R mit [mm] f_k [/mm] (x)= arctan (x+k)
3. [mm] f_k: [/mm] R ->R mit [mm] f_k [/mm] (x)= [mm] ke^{-kx^2} [/mm] |
Ich denke dass die erste punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert und gleichmäßig ebenso, die anderen konvergenzen habe ich leider noch nicht so ganz verstanden, außerdem tue ich mich mit der Beweisführung meiner annahmen schwer. die letzte kann ich nicht so ganz einschätzen, plädiere aber ebenfalls punktweise und gleichmäßig für die NUllfunktion weil die e-Funktion stärker ist als das k.
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Fr 23.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo jumape!
> UNtersuchen Sie die folgenden Funktionen jeweils auf
> Konvergenz im Sinne: punktweise, gleichmäßig, µ-f.ü., nach
> dem Lebesgue-Maß.
>
> 1. [mm]f_k[/mm] :[0,1]-> R mit [mm]f_k[/mm] (x)= [mm]\wurzel[k]{x}\[/mm]
> 2. [mm]f_k[/mm] :R-> R mit [mm]f_k[/mm] (x)= arctan (x+k)
> 3. [mm]f_k:[/mm] R ->R mit [mm]f_k[/mm] (x)= [mm]ke^{-kx^2}[/mm]
> Ich denke dass die erste punktweise gegen die Nullfunktion
> konvergiert und gleichmäßig ebenso, die anderen
> konvergenzen habe ich leider noch nicht so ganz verstanden,
> außerdem tue ich mich mit der Beweisführung meiner annahmen
> schwer. die letzte kann ich nicht so ganz einschätzen,
> plädiere aber ebenfalls punktweise und gleichmäßig für die
> NUllfunktion weil die e-Funktion stärker ist als das k.
> Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
Fangen wir mal mit der punktweisen Konvergenz an.
1. [mm]f_k :[0,1]\rightarrow \IR [/mm] mit [mm]f_k (x)= \wurzel[k]{x}\[/mm]
Deine Überlegung ist nicht schlecht, aber was passiert bei x=1 ?
2.[mm]f_k :\IR\rightarrow \IR [/mm] mit [mm]f_k (x)=\arctan(x+k)[/mm]
Halt mal dein x fest und lass k immer größer werden. Was passiert mit x+k, was passiert folglich für [mm]\arctan(x+k)[/mm]?
3. [mm]f_k: \IR \rightarrow\IR[/mm] mit [mm]f_k(x)= ke^{-kx^2}[/mm]
Nullfunktion ist auch wieder ganz gut, aber was passiert bei x=0?
Zur gleichmäßigen Konvergenz: die Funktionen [mm]f_k(x)[/mm] in allen drei Beispielen sind stetig. Wenn die Folgen gleichmäßig konvergieren würden (was noch nachgewiesen werden muss), was könntest du dann über den Grenzwert sagen?
Was hast du andererseits bei der Betrachtung der punktweisen Konvergenz herausgefunden?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Shurakai |
So... ich möchte jetzt diese 3 Fkt.-Folgen auf punktweise / gleichmäßige Konvergenz untersuchen.
Nachfolgend meine Ansätze:
Zu (i):
[mm] \lim_{k \to \infty } f_k(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls} x = 0 \\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases}, [/mm] d.h. f(x) soll meine Grenzwertfunktion sein.
Diese Funktion ist offensichtlich nicht stetig und wegen
Wenn [mm] f_k [/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert, dann ist f stetig.
folgt, dass [mm] f_k [/mm] nicht gleichmäßig gegen f konvergiert.
Wohl ist [mm] f_k [/mm] aber punktweise konvergent, für x = 0 und x = 1 ist das klar. Für x [mm] \in [/mm] (0,1) muss ich das noch zeigen:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (0,1) [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \mathbb{N} \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] \left|f_n(x)-f(x)\right| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Die Sache an sich ist ja eigentlich klar: die n-te Wurzel einer Zahl > 0 und < 1 konvergiert gegen 1, d.h. wenn wir das n nur groß genug wählen, klappts. Aber das richtig (gemäß der Definition) aufzuschreiben fällt mir schwer. Ich beginne mit
| [mm] \sqrt[k]{x} [/mm] - 1 | < [mm] \varepsilon [/mm] und versuche das Ganze dann umzuformen; versucht habe ich zu quadrieren oder mit ^n und dann bin. Lehrsatz, hat aber nicht viel gebracht. Bin ich hier auf dem Holzpfad?
Bei (ii) habe ich hier die Grenzfunktion z.B. als PI/2 und dass die Fkt. auch punktweise konvergiert. Auch hier: Probleme beim zeigen.
Bei gleichmäßiger Konvergenz würde ich
a) wieder mit der Stetigkeit argumentieren oder
b) sagen: Angenommen, es wäre gleichm. konvergent => [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \mathbb [/mm] N : n [mm] \geq [/mm] N : | [mm] f_n- \frac{\pi}{2} [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] würde gelten
=> Sei N eine solche Schranke => Wähle x = -N => | 0 - [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] | > 1/10 für Epsilon = 1/10. Also Widerspruch => Nicht gleichmäßig konvergent.
Ist das so ok, oder hängts doch noch irgendwo? Für Hinweise und Tips bin ich stets sehr dankbar, einen kleinen Anschubser oder ein Beispiel ist sehr willkommen! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Sa 24.11.2007 | | Autor: | jumape |
Also ich bin jetzt so weit:
zweite Funktion:
nicht punktweise, weil wenn x gegen [mm] -\infty [/mm] dann ist der punktweise limes nicht mehr 1/2pi, was sonst der fall ist
ebenso ist sie nicht gleichmäßig stetig mit dem selben argument
und die anderen beiden auch nicht mit dem selben argument
dritte funktion:
nicht punktweise, man sollte x=0 betrachten
gleichmäßig ebenfalls nicht, selbes argument
nach dem lebesgue maß ja weil [mm] \lambda(0)=0
[/mm]
und fast überall auch mit dem selben argument
Diese Antwort ist fehlerhaft, die Korrektur findet sich in den nachfolgenden Arikeln, weshalb ich sie hier nicht noch einmal aufzeige.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 16:41 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Shurakai |
Das sehe ich aber ganz anders, denn du musst ja für alle x und alle epsilon das zeigen - das heißt, du wählst dir quasi x fest und zeigst dann dass die Bedingungen wie in der Definition zutreffen.
Für entsprechend kleinere x wählst du einfach dein N größer. Also punktweise ist das - in meinen Augen - auf jedenfall.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Sa 24.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zu (i):
>
> [mm]\lim_{k \to \infty } f_k(x)[/mm] = [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{falls} x = 0 \\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases},[/mm]
> d.h. f(x) soll meine Grenzwertfunktion sein.
>
> Diese Funktion ist offensichtlich nicht stetig und wegen
>
> Wenn [mm]f_k[/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert, dann ist f
> stetig.
>
> folgt, dass [mm]f_k[/mm] nicht gleichmäßig gegen f konvergiert.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wohl ist [mm]f_k[/mm] aber punktweise konvergent, für x = 0 und x =
> 1 ist das klar. Für x [mm]\in[/mm] (0,1) muss ich das noch zeigen:
>
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] (0,1) [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \mathbb{N} \forall[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N : [mm]\left|f_n(x)-f(x)\right|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
>
> Die Sache an sich ist ja eigentlich klar: die n-te Wurzel
> einer Zahl > 0 und < 1 konvergiert gegen 1, d.h. wenn wir
> das n nur groß genug wählen, klappts. Aber das richtig
> (gemäß der Definition) aufzuschreiben fällt mir schwer. Ich
> beginne mit
>
> | [mm]\sqrt[k]{x}[/mm] - 1 | < [mm]\varepsilon[/mm] und versuche das Ganze
> dann umzuformen; versucht habe ich zu quadrieren oder mit
> ^n und dann bin. Lehrsatz, hat aber nicht viel gebracht.
> Bin ich hier auf dem Holzpfad?
Ist schon OK. Du kannst du die Betragsstriche weglassen, wenn [mm]x<1[/mm] ist. Und dann hilft der Logarithmus weiter (weil er auf [mm](0,\infty)[/mm] eine streng monotone Funktion ist); du musst nur mit den Vorzeichen der Ungleichung aufpassen.
> Bei (ii) habe ich hier die Grenzfunktion z.B. als PI/2 und
> dass die Fkt. auch punktweise konvergiert. Auch hier:
> Probleme beim zeigen.
Auch hier wieder: Betrag auswerten, und die Tatsache benutzen, dass der Arcustangens streng monoton ist (Existenz der Umkehrfunktion).
>
> Bei gleichmäßiger Konvergenz würde ich
>
> a) wieder mit der Stetigkeit argumentieren oder
> b) sagen: Angenommen, es wäre gleichm. konvergent =>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \mathbb[/mm] N : n [mm]\geq[/mm] N
> : | [mm]f_n- \frac{\pi}{2}[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm] würde gelten
>
> => Sei N eine solche Schranke => Wähle x = -N => | 0 -
> [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] | > 1/10 für Epsilon = 1/10. Also Widerspruch
> => Nicht gleichmäßig konvergent.
Genau, da du kein N unabhängig von x angeben kannst.
Viele Grüße
Rainer
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