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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 So 17.05.2015 | | Autor: | Emma23 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktionenfolge [mm] (f_{n}) [/mm] und deren erste Ableitung auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz
[mm] f_{n}:\IR\to\IR, f_n=\bruch{x^{2n}}{2+x^{2n}} [/mm] |
Hallo. Ich brauche mal Hilfe bei der Aufgabe. Folgendes habe ich schon:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^{2n}}{2+x^{2n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} 1-\bruch{2}{(x^{2n} +2)}
[/mm]
Punktweise Konvergenz für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}=f(x) [/mm] mit
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x|<1 \\ \bruch{1}{3}, & \mbox{für } |x|=1 \\ 1, & \mbox{für } |x|>1\end{cases}.
[/mm]
Keine Gleichmäßige Konvergenz von [mm] f_{n}, [/mm] da f unstetig.
[mm] f'_{n}=\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2}
[/mm]
Und da hörts bei mir auf... Ist [mm] \bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2} [/mm] nicht das gleiche wie [mm] \bruch{4nx^{2n}}{(x^{2n}+2)^{2}*4nx}?
[/mm]
Wäre dankbar für Hilfe!
LG
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Hiho,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^{2n}}{2+x^{2n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} 1-\bruch{2}{(x^{2n} +2)}[/mm]
>
> Punktweise Konvergenz für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}=f(x)[/mm]
> mit
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x|<1 \\ \bruch{1}{3}, & \mbox{für } |x|=1 \\ 1, & \mbox{für } |x|>1\end{cases}.[/mm]
Auch wenn ich die Notwendigkeit deines Umformungsschritts nicht erkenne, stimmt dein Ergebnis, bis auf den Fall x=0
> Keine Gleichmäßige Konvergenz von [mm]f_{n},[/mm] da f unstetig.
Na hier mangelt es noch etwas an der Begründung. Für die konstante Folge [mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] \text{sgn}(x)$ [/mm] ist der Grenzwert $f(x) = [mm] \text{sgn}(x)$ [/mm] ebenfalls unstetig, die Konvergenz aber sehr wohl gleichmäßig.
> [mm]f'_{n}=\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und da hörts bei mir auf... Ist
> [mm]\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2}[/mm] nicht das gleiche wie
> [mm]\bruch{4nx^{2n}}{(x^{2n}+2)^{2}*4nx}?[/mm]
Nein, aber es gilt für [mm] $x\not= [/mm] 0$:
[mm] $\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2} [/mm] = [mm] \bruch{4nx^{2n}}{x(x^{2n}+2)^2} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2n}}{2+x^{2n}} [/mm] * [mm] \bruch{4n}{x^{2n}+2} [/mm] = [mm] f_n(x) [/mm] * [mm] \bruch{4n}{x^{2n}+2} [/mm] $
Für den Fall $|x| [mm] \le [/mm] 0$ empfielt sich aber trotzdem der erste Ausdruck und die Kenntnis, dass [mm] $n*x^n \to [/mm] 0$
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 So 17.05.2015 | | Autor: | Emma23 |
> Hiho,
>
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^{2n}}{2+x^{2n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} 1-\bruch{2}{(x^{2n} +2)}[/mm]
>
> >
> > Punktweise Konvergenz für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}=f(x)[/mm]
> > mit
> > [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x|<1 \\ \bruch{1}{3}, & \mbox{für } |x|=1 \\ 1, & \mbox{für } |x|>1\end{cases}.[/mm]
>
> Auch wenn ich die Notwendigkeit deines Umformungsschritts
> nicht erkenne, stimmt dein Ergebnis, bis auf den Fall x=0
Aber wenn ich x=0 einsetze, dann komme ich ebenfalls auf 0. Warum stimmt das nicht?
>
> > Keine Gleichmäßige Konvergenz von [mm]f_{n},[/mm] da f unstetig.
>
> Na hier mangelt es noch etwas an der Begründung. Für die
> konstante Folge [mm]f_n(x) = \text{sgn}(x)[/mm] ist der Grenzwert
> [mm]f(x) = \text{sgn}(x)[/mm] ebenfalls unstetig, die Konvergenz
> aber sehr wohl gleichmäßig.
Aber wie soll ich das denn vernünftig zeigen? Muss ich da auch ne Fallunterscheidung machen? Sonst macht man das ja immer mit [mm] \sup_{x\in\IR}|f_{n}(x)-f(x)|.
[/mm]
>
> > [mm]f'_{n}=\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2}[/mm]
>
> > Und da hörts bei mir auf... Ist
> > [mm]\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2}[/mm] nicht das gleiche wie
> > [mm]\bruch{4nx^{2n}}{(x^{2n}+2)^{2}*4nx}?[/mm]
>
> Nein, aber es gilt für [mm]x\not= 0[/mm]:
>
> [mm]\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2} = \bruch{4nx^{2n}}{x(x^{2n}+2)^2} = \bruch{x^{2n}}{2+x^{2n}} * \bruch{4n}{x^{2n}+2} = f_n(x) * \bruch{4n}{x^{2n}+2}[/mm]
>
> Für den Fall [mm]|x| \le 0[/mm] empfielt sich aber trotzdem der
> erste Ausdruck und die Kenntnis, dass [mm]n*x^n \to 0[/mm]
>
Also da habe ich jetzt für die punktweise Konvergenz
[mm] f'(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x|<1 \\ \infty , & \mbox{für } |x|=1 \\ 0, & \mbox{für } |x|>1 \end{cases}
[/mm]
> Gruß,
> Gono
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 So 17.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
besser für x=1 keine Konvergenz, sonst richtig.
Gruss leuart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Mo 18.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Hiho,
> >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^{2n}}{2+x^{2n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} 1-\bruch{2}{(x^{2n} +2)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Punktweise Konvergenz für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}=f(x)[/mm]
> > > mit
> > > [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x|<1 \\ \bruch{1}{3}, & \mbox{für } |x|=1 \\ 1, & \mbox{für } |x|>1\end{cases}.[/mm]
>
> >
> > Auch wenn ich die Notwendigkeit deines Umformungsschritts
> > nicht erkenne, stimmt dein Ergebnis, bis auf den Fall x=0
>
> Aber wenn ich x=0 einsetze, dann komme ich ebenfalls auf 0.
> Warum stimmt das nicht?
Es stimmt. Es ist [mm] f_n(0)=0 [/mm] für alle n. Was Gono hier nicht gefällt, ist mir auch nicht klar.
> >
> > > Keine Gleichmäßige Konvergenz von [mm]f_{n},[/mm] da f unstetig.
> >
> > Na hier mangelt es noch etwas an der Begründung. Für die
> > konstante Folge [mm]f_n(x) = \text{sgn}(x)[/mm] ist der Grenzwert
> > [mm]f(x) = \text{sgn}(x)[/mm] ebenfalls unstetig, die Konvergenz
> > aber sehr wohl gleichmäßig.
>
> Aber wie soll ich das denn vernünftig zeigen?
Es fehlt in der Begründung: alle [mm] f_n [/mm] sind stetig.
> Muss ich da
> auch ne Fallunterscheidung machen? Sonst macht man das ja
> immer mit [mm]\sup_{x\in\IR}|f_{n}(x)-f(x)|.[/mm]
> >
> > > [mm]f'_{n}=\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2}[/mm]
> >
> > > Und da hörts bei mir auf... Ist
> > > [mm]\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2}[/mm] nicht das gleiche wie
> > > [mm]\bruch{4nx^{2n}}{(x^{2n}+2)^{2}*4nx}?[/mm]
> >
> > Nein, aber es gilt für [mm]x\not= 0[/mm]:
> >
> > [mm]\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2} = \bruch{4nx^{2n}}{x(x^{2n}+2)^2} = \bruch{x^{2n}}{2+x^{2n}} * \bruch{4n}{x^{2n}+2} = f_n(x) * \bruch{4n}{x^{2n}+2}[/mm]
>
> >
> > Für den Fall [mm]|x| \le 0[/mm] empfielt sich aber trotzdem der
> > erste Ausdruck und die Kenntnis, dass [mm]n*x^n \to 0[/mm]
> >
> Also da habe ich jetzt für die punktweise Konvergenz
> [mm]f'(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x|<1 \\ \infty , & \mbox{für } |x|=1 \\ 0, & \mbox{für } |x|>1 \end{cases}[/mm]
Dazu hat leduart schon etwas gesagt.
FRED
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> > Gruß,
> > Gono
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> Grüße
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