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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 So 15.04.2012 | | Autor: | WWatson |
| Aufgabe | 1. Zeigen Sie, dass die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}} [/mm] (2)
für alle x [mm] \in [-\pi [/mm] , [mm] \pi] [/mm] konvergiert.
2. Zeigen Sie, dass die Reihe (2) nicht Fourier-Reihe einer
[mm] L_{per}^2([-\pi [/mm] , [mm] \pi])-Funktion [/mm] ist. |
Guten Morgen zusammen,
ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Bei der ersten Aufgabe müsste der Weg ja eigentlich der über das Majorantenkriterium für Funktionenreihen sein, der ist auch der einzig mir bekannte, um so etwas zu lösen.
Ich habe aber jede mir bekannte konvergente Reihe ausprobiert, aber irgendwie führt keine mich so recht zum Ziel. Hätte da eventuell jemand einen Tipp?
Bei der zweiten Aufgabe finde ich gar keinen Ansatz. Ich habe eigentlich gedacht, dass diese über einen Widerspruchsbeweis zu zeigen ist, aber die Sätze und Korollare, die wir bisher in der Vorlesung hatten, beziehen sich irgendwie alle nur auf die Fourier-Koeffizienten. Ich kann aber doch eigentlich nicht von der Fourier-Reihe auf die -Koeffizienten schließen, solange mir das Orthonormalsystem nicht gegeben ist, oder sehe ich das falsch? Ich wäre auch hier für einen Denkanstoß dankbar.
Gruß,
WWatson
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Hallo,
> 1. Zeigen Sie, dass die Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}}[/mm]
> (2)
>
> für alle x [mm]\in [-\pi[/mm] , [mm]\pi][/mm] konvergiert.
>
> 2. Zeigen Sie, dass die Reihe (2) nicht Fourier-Reihe einer
>
> [mm]L_{per}^2([-\pi[/mm] , [mm]\pi])-Funktion[/mm] ist.
Ich schreibe nur ein paar Einfälle von mir, eine Lösung habe ich selbst nicht parat.
> Bei der ersten Aufgabe müsste der Weg ja eigentlich der
> über das Majorantenkriterium für Funktionenreihen sein,
> der ist auch der einzig mir bekannte, um so etwas zu
> lösen.
> Ich habe aber jede mir bekannte konvergente Reihe
> ausprobiert, aber irgendwie führt keine mich so recht zum
> Ziel. Hätte da eventuell jemand einen Tipp?
Majorantenkriterium wird nicht funktionieren.
Du kannst deine Reihe aber umschreiben:
[mm] $\frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}} [/mm] = [mm] \Im\left( \frac{e^{inx}}{\sqrt{n}} \right)$
[/mm]
und stattdessen
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(e^{ix})^{n}}{\sqrt{n}}$
[/mm]
untersuchen. Das ist praktisch eine Reihe der Form
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n}}{\sqrt{n}}$
[/mm]
mit [mm] $z\in \IC, [/mm] |z| = 1$.
Evtl. bringt es etwas, den Term
[mm] $(1-z)*\sum_{n=1}^{N}\frac{z^{n}}{\sqrt{n}}$
[/mm]
zu untersuchen (ausmultiplizieren in 2 Summen, Indexverschiebung, ...)
> Bei der zweiten Aufgabe finde ich gar keinen Ansatz. Ich
> habe eigentlich gedacht, dass diese über einen
> Widerspruchsbeweis zu zeigen ist, aber die Sätze und
> Korollare, die wir bisher in der Vorlesung hatten, beziehen
> sich irgendwie alle nur auf die Fourier-Koeffizienten. Ich
> kann aber doch eigentlich nicht von der Fourier-Reihe auf
> die -Koeffizienten schließen, solange mir das
> Orthonormalsystem nicht gegeben ist, oder sehe ich das
> falsch? Ich wäre auch hier für einen Denkanstoß
> dankbar.
Da kenne ich mich nicht so aus, aber angenommen das ONS wäre einfach (sin, cos), dann wären die Fourier-Koeffizienten bei der Reihe (2) doch klar.
Kannst du da nicht irgendeinen Widerspruch herleiten, der für solche Fourier-Reihen von [mm] L^2 [/mm] - Funktionen gelten muss? (Parsevalsche Gleichung oder so)
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 So 15.04.2012 | | Autor: | WWatson |
Erstmal vielen Dank!
Den ersten Teil der Aufgabe konnte ich mit Deiner Hilfe lösen, funktioniert über den von Dir vorgeschlagenen Ansatz
[mm] \bruch{z^{n}}{\wurzel{n}}
[/mm]
Das kann man dann einfach mit dem Quotientenkriterium lösen, da ja in der Aufgabe gilt, dass
|z| = 1
Bei dem zweiten Teil der Aufgabe komme ich aber immer noch nicht so recht weiter. Habe jetzt unter anderem auch mit dem Satz von Parseval schon etwas rumprobiert, aber bisher hat mich das nicht weitergebracht. Hat da vielleicht noch jemand einen Tipp?
Gruß,
WWatson
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Hallo,
> Erstmal vielen Dank!
>
> Den ersten Teil der Aufgabe konnte ich mit Deiner Hilfe
> lösen, funktioniert über den von Dir vorgeschlagenen
> Ansatz
>
> [mm]\bruch{z^{n}}{\wurzel{n}}[/mm]
>
> Das kann man dann einfach mit dem Quotientenkriterium
> lösen, da ja in der Aufgabe gilt, dass
>
> |z| = 1
Mit dem Quotientenkriterium funktioniert das nicht.
Ich hatte noch einen Ansatz darunter aufgeschrieben, probier den mal.
> Bei dem zweiten Teil der Aufgabe komme ich aber immer noch
> nicht so recht weiter. Habe jetzt unter anderem auch mit
> dem Satz von Parseval schon etwas rumprobiert, aber bisher
> hat mich das nicht weitergebracht. Hat da vielleicht noch
> jemand einen Tipp?
Angenommen, die Reihe wäre Fourier-Reihe einer [mm] $L^2$-Funktion, [/mm] also
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}} [/mm] = [mm] \frac{a_0}{2} [/mm] + [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \Big(a_n \cos(nx) [/mm] + [mm] b_n \sin(nx)\Big)$
[/mm]
(Daraus kannst du [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] berechnen).
Dann müsste die Parsevalsche Gleichung gelten:
[mm] $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 [/mm] \ dx = [mm] \frac{a_0^2}{2} [/mm] + [mm] \sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2 [/mm] + [mm] b_n^2)$.
[/mm]
Kann das sein?
Grüße,
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:02 Di 17.04.2012 | | Autor: | WWatson |
Also, Du hast Recht, ich habe das mit dem Quotientenkriterium nochmal durchgerechnet, da kommt als lim sup gerade 1 raus, sodass keine Aussage über Konvergenz möglich ist.
Habe auch mal den zweiten Ansatz probiert, mit dem Du ja wahrscheinlich auf eine Art Teleskopsumme hinaus wolltest. Die entsteht da aber, zumindestens, wenn meine Rechnungen stimmen, nicht. Oder meintest Du da etwas anderes?
Ich glaube auch nicht, dass man bei der zweiten Teilaufgabe mit dem Satz von Parseval weiterkommt, denn dazu müsste ja eben ein ON-System gegeben sein, einfach eins zu nehmen und damit einen Widerspruch herzuleiten ist aber doch nicht hinreichend, oder?
Es könnte höchstens etwas damit zu tun haben, dass der 0-te Summand, der bei den Fourier-Reihen ja üblicherweise vor die ab n=1 summierte Reihe hingeschrieben wird, hier nicht definiert ist. Die Idee ist allerdings noch nicht ganz ausgereift, da muss ich nochmal drüber nachdenken.
Vielen Dank schonmal für Deine Hilfe, steppenhahn!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 19.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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