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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 So 12.02.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass durch die Funktionenreihe [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{1+exp(nx²)}$ [/mm] eine differenzierbare Funktion auf [mm] $\IR$* [/mm] (Ohne Null) definiert wird. |
Hallo,
meine Idee ist hierbei, das man zeigen muss, dass diese Reihe mindestens einmal diffbar ist.
und somit wäre
$f'(x)= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-1}{exp(nx²)*(2nx+exp(nx²))}$.
[/mm]
Aber irgendwie wäre das ja viel zu simpel.
Kann mir jemand nen Tipp geben wie man diese Aufgabe lösen soll ?
Danke.
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Hallo.
> Zeigen Sie, dass durch die Funktionenreihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{1+exp(nx²)}[/mm] eine
> differenzierbare Funktion auf [mm]\IR[/mm]* (Ohne Null) definiert
> wird.
> Hallo,
>
> meine Idee ist hierbei, das man zeigen muss, dass diese
> Reihe mindestens einmal diffbar ist.
> und somit wäre
> [mm]f'(x)= \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-1}{exp(nx²)*(2nx+exp(nx²))}[/mm].
>
> Aber irgendwie wäre das ja viel zu simpel.
Ja, das ist es auch.
Allerdings ist es auch nicht sonderlich viel komplizierter.
Warum darfst Du denn hier gliedweise differenzieren?
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mo 13.02.2006 | | Autor: | DeusRa |
"Warum darfst Du denn hier gliedweise differenzieren? "
Diese Frage verstehe ich nicht richtig im Zusammenhang ??
Muss ich hier die Funktion mit
[mm] $f'(x)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}$
[/mm]
bearbeiten ???
Wie soll ich diese Aufgabe angehen ?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 00:00 Di 14.02.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Was Christian meint (glaube ich) ist Folgendes:
Warum ist [mm] f'(x)=(\bruch{1}{1+1})' + (\bruch{1}{1+e^{x^{2}}})' + (\bruch{1}{1+e^{2x^{2}}})' + ... [/mm]? Klar ist, dass die einzelnen Terme auf dem ganzen Definitionsbereich diffbar sind, aber die Summenregel bei diffbaren Funktionen ist ja eigentlich nur für endliche Summen definiert...
Um 100%-ig korrekt zu sein, muss man gleich am Anfang zeigen, dass die Reihe für alle x aus dem Definitionsbereich konvergiert, weil man sonst über [mm] \IR [/mm] hinausschießt. Falls z.B. null zum Definitionsbereich gehört, kann man die Aufgabe gleich vergessen, weil dann die Reihe divergent ist.
Gruß,
Yanko
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Hallo nochmal.
Wie gesagt wendest Du ja die Summenregel für eine unendliche Summe an.
Die Konvergenz dieser Summe ist ja schon gezeigt.
Was wir aber brauchen, um tatsächlich Summation und Differentiation vertauschen zu dürfen, ist eine gewisse Qualität der Konvergenz,
nämlich die gleichmäßige Konvergenz dieser Reihe.
Gruß,
Christian
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