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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 So 25.04.2010 | | Autor: | pitta |
| Aufgabe | Es seien R ein Ring, M eine Menge, und U,V [mm] \subseteq [/mm] M. Man zeige:
a) Die Menge Abb(M,R) wird durch punktweise Addition f+g:M [mm] \to [/mm] R : x [mm] \mapsto [/mm] f(x) + g(x) und Multiplikation f*g : M [mm] \to [/mm] R : x [mm] \mapsto [/mm] f(x)g(x) zu einem Ring. Wann ist Abb(M,R) kommutativ?
Wann ist Abb(M,R) der Nullring?
b) Die Menge [mm] I_{U} [/mm] := [mm] \{f \in Abb(M,R) | f(U)={0} \} [/mm] ist ein Ideal von Abb(M,R), und es gilt genau dann [mm] I_{U} \subseteq I_{V}, [/mm] wenn U [mm] \subseteq [/mm] V ist. Für x [mm] \in [/mm] M gebe man einen natürlichen Ringisomorphismus [mm] Abb(M,R)/I_{x} \cong [/mm] R an. |
Hallo,
zu a) Zu zeigen, dass die Menge mit den Verknüpfungen ein Ring ist, sollte durch Abarbeiten der RIngeigenschaften zu machen sein.
Wann ist der Abb(M,R) kommutativ? Wenn R ein kommutativer Ring ist oder? Weil f(x) und g(x) [mm] \in [/mm] R.
Wann ist Abb(M,R) der Nullring? Wenn M die leere Menge ist?
Zu b) Wie zeigt man, dass etwas ein Ideal ist? Reicht zu zeigen, dass [mm] 0_{R} [/mm] aus [mm] I_{U} [/mm] , dass es bzgl. Subtraktion abgeschlossen ist und bzgl. Multiplikation mit einem Element aus dem RIng?
Die Äquivalenz find ich logisch, doch wie zeigt man das mathematisch?
Und zu guter letzt: Was ist ein natürlicher Ringisomorphimus?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke im Vorraus!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Mo 26.04.2010 | | Autor: | MaoK |
> Es seien R ein Ring, M eine Menge, und U,V [mm]\subseteq[/mm] M. Man
> zeige:
> a) Die Menge Abb(M,R) wird durch punktweise Addition f+g:M
> [mm]\to[/mm] R : x [mm]\mapsto[/mm] f(x) + g(x) und Multiplikation f*g : M
> [mm]\to[/mm] R : x [mm]\mapsto[/mm] f(x)g(x) zu einem Ring. Wann ist Abb(M,R)
> kommutativ?
> Wann ist Abb(M,R) der Nullring?
>
> b) Die Menge [mm]I_{U}[/mm] := [mm]\{f \in Abb(M,R) | f(U)={0} \}[/mm] ist
> ein Ideal von Abb(M,R), und es gilt genau dann [mm]I_{U} \subseteq I_{V},[/mm]
> wenn U [mm]\subseteq[/mm] V ist. Für x [mm]\in[/mm] M gebe man einen
> natürlichen Ringisomorphismus [mm]Abb(M,R)/I_{x} \cong[/mm] R an.
> Hallo,
>
> zu a) Zu zeigen, dass die Menge mit den Verknüpfungen ein
> Ring ist, sollte durch Abarbeiten der RIngeigenschaften zu
> machen sein.
>
> Wann ist der Abb(M,R) kommutativ? Wenn R ein kommutativer
> Ring ist oder? Weil f(x) und g(x) [mm]\in[/mm] R.
> Wann ist Abb(M,R) der Nullring? Wenn M die leere Menge
> ist?
Wenn M die leere Menge ist, ist doch Abb(M,R) auch die leere Menge. Daher müsste die Bedingung eher "R ist Nullring" lauten
>
> Zu b) Wie zeigt man, dass etwas ein Ideal ist? Reicht zu
> zeigen, dass [mm]0_{R}[/mm] aus [mm]I_{U}[/mm] , dass es bzgl. Subtraktion
> abgeschlossen ist und bzgl. Multiplikation mit einem
> Element aus dem RIng?
Man braucht schon die abgeschlossenheitm bzw Multiplikation mit einem Element aus dem Ring Abb(M,R).
>
> Die Äquivalenz find ich logisch, doch wie zeigt man das
> mathematisch?
Die eine Richtung ist leicht und für die andere (links nach rechts) hilft es wahrscheinlich, sich die Funktion anzuschauen, die genau auf U verschwindet und sonst den Wert 1 annimmt.
>
> Und zu guter letzt: Was ist ein natürlicher
> Ringisomorphimus?
Wenn man das korrekt definieren möchte, benötigt man meines Wissen Kategorientheorie und etwas Zeit :)
Meistens sind das genau die Abbildungen, die einem als erstes in den Sinn kommen ;)
In diesem Fall ist die Bahnengleich (oder Bahnensatz?) gemeint:
[mm] G/G_x \to G\cdot [/mm] x ist eine Isomorphismus für [mm] x\in [/mm] X
viele Grüße,
Thomas
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:23 Mo 26.04.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Wenn M die leere Menge ist, ist doch Abb(M,R) auch die
> leere Menge.
Nein, dann ist Abb(M,R) einelementig (also in der Tat der Nullring).
> > Die Äquivalenz find ich logisch, doch wie zeigt man das
> > mathematisch?
> Die eine Richtung ist leicht und für die andere (links
> nach rechts) hilft es wahrscheinlich, sich die Funktion
> anzuschauen, die genau auf U verschwindet und sonst den
> Wert 1 annimmt.
(Funktioniert übrigens nur, wenn R nicht der Nullring ist; ansonsten ist die behauptete Implikation von links nach rechts auch falsch. Außerdem waren im Ausgangspost U und V vertauscht.)
> In diesem Fall ist die Bahnengleich (oder Bahnensatz?)
> gemeint:
> [mm]G/G_x \to G\cdot[/mm] x ist eine Isomorphismus für [mm]x\in[/mm] X
Welche Gruppe G, welche Menge X und welche Gruppenoperation von G auf X möchtest du betrachten? I.A. besitzen die beiden Seiten der von dir zitierten Gleichheit noch nicht einmal eine Gruppen- (geschweige denn Ring-) Struktur und entsprechend handelt es sich bei dem "Isomorphismus" i.A. nur um eine Bijektion und keinen Ringisomorphismus.
Viele Grüße
Tobias
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