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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:32 Sa 18.02.2006 | | Autor: | Quaoar |
Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe gegeben:
Gegeben sei die Funktionenschar [mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] (-2x^{2}+(2k^{2}+6)*x-k^{2}-3)*e^{2x} [/mm] (k [mm] \in \IR).
[/mm]
Ermitteln Sie die Extrempunkte dieser Schar. Berechnen Sie die Funktionsgleichung des Graphen, auf dem die von k abhängigen Extrempunkte dieser Schar liegen.
Ich weis das die hinr. Bedingung für einen Extrempunkt
f'(x)=0 [mm] \wedge f''(x_{e}) \not= [/mm] 0 lautet.
Ich habe also zuerst die erste und zweite Ableitung berechnet:
[mm] f_{k}'(x) [/mm] = [mm] (-4x^{2}+(4k^{2}+(4k^{2}+8)x)*e^{2x}
[/mm]
[mm] f_{k}''(x) [/mm] = [mm] (-8x^{2}+4k^{2}+8+(8k^{2}+8)x)*e^{2x}
[/mm]
Wenn ich die 1. Ableitung gleich Null setze bekomme ich folgende x-Werte:
[mm]x_{e_{1}}=0[/mm] [mm]x_{e_{2}}=k^{2}+2[/mm]
Beide Werte habe ich in die 2. Ableitung eingesetzt und beide Ergebnisse waren ungleich Null. Wenn ich die Werte nun in die Funktion einsetze erhalte ich folgende Punkte:
[mm]E_{1}(0 | -k^{2}-3)[/mm] [mm]E_{2}(k^{2}+2 | (k^{2}-1)e^{2k^{2}+4})[/mm]
Jetzt komme ich jedoch nicht weiter. Ich weis nämlich nicht mehr wie ich jetzt auf diese Funktion schließen kann, auf der alle Extrempunkte liegen.
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen bzw. einen Tipp geben, der mir weiterhilft. Es wäre auch schön wenn mir jemand meine Ergebnisse bestätigen könnte.
Vielen Dank
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:49 Sa 18.02.2006 | | Autor: | ardik |
Hi Alex,
das doppelte [mm] $(4k^2 [/mm] +$ in $f'$ ist sicherlich ein Tippfehler...
Die Extrempunkte [mm] $E_1$ [/mm] liegen natürlich auf der y-Achse. Genauer gesagt auf dem Teil mit $y [mm] \le [/mm] -3$
Interessant sind [mm] $E_2$
[/mm]
Schreibe die Koordinaten getrennt auf:
$x = [mm] k^2 [/mm] + 2$
$y = [mm] (k^{2}-1)e^{2k^{2}+4}$
[/mm]
Nun beide Gleichungen so kombinieren, dass $k$ eliminiert wird und (falls nötig) nach y auflösen. Du erhältst die sog. Ortskurve, also die Gleichung des Graphen, auf dem alle Extrempunkte [mm] $E_2$ [/mm] liegen.
Am einfachsten löst Du die erste Gleichung nur nach [mm] $k^2$ [/mm] auf und setzt das dann direkt in die y-Gleichung ein. Voilá!
Schöne Grüße,
ardik
PS:
Außer $f'$ habe ich den Rest nicht nachgerechnet, da das ja für Deine Fragestellung nicht relevant war.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Sa 18.02.2006 | | Autor: | Quaoar |
Hallo Ardik,
erst mal Danke für deine Antwort. Und ja du hast recht, es war wirklich ein Tippfehler. Die Richtige bzw. von mir berechnete Ableitung lautet:
[mm] f_{k}'(x) [/mm] = [mm] (-4x^{2}+(4k^{2}+6)x-k^{2}-3)e^{2x}
[/mm]
Ich habe es mit dem Ansatz versucht, denn du mir genant hast:
> $ x = [mm] k^2 [/mm] + 2 $
> $ y = [mm] (k^{2}-1)e^{2k^{2}+4} [/mm] $
Ich habe dann folgende Funktion erhalten, die ich E(x) nenne:
$ E(x) = [mm] (x-3)*e^{2x} [/mm] $
Wenn ich jetzt aber diese Funktion und zwei Funktionen der Schar zeichen lasse, erhalte ich folgenden Graph:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der rote Graph ist meine E(x)-Funktion. Man sieht also sehr deutlich, das der Graph nicht durch die Extrempunkte läuft.
Die Frage ist also, was mache ich falsch?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Vielen Dank
Alex
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Sa 18.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Quaoar!
Hat sich da eventuell ein Rechenfehler eingeschlichen?
Ich habe für die Funktion $E(x)_$ erhalten: $E(x) \ = \ (x- \ [mm] \red{1})*e^{2x}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Sa 18.02.2006 | | Autor: | ardik |
Hi Alex,
> berechnete Ableitung lautet:
> [mm]f_{k}'(x)[/mm] = [mm](-4x^{2}+(4k^{2}+6)x-k^{2}-3)e^{2x}[/mm]
> Die Frage ist also, was mache ich falsch?
Die Ableitung ;->
Die mit Tippfehler war besser als die da oben! [mm] $-k^{2}-3$ [/mm] ist zu viel. Das fällt doch so schön weg. Auch war die 8 in der Klammer korrekt. Hatte ich jedenfalls auch so.
Schöne Grüße,
ardik
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