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Funktionenschar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:34 Sa 02.12.2006
Autor: TryingHard

Aufgabe
Untersuche die Funktionenschar zu $ [mm] f_{t}(x)=xe^{-tx^2} [/mm] $

Hallo,

ich bin immer noch an meinen Klausurübungen und würde mich freuen, wenn ihr meine Rechnungen korrigiert.


Definitionsbereich:

[mm] \IR; [/mm] {0}


Symmetrie:

$ [mm] f_{t}(-x)=-x\cdot{}e^{-t(-x)^2} [/mm] $  [mm] \Rightarrow [/mm] also nicht Achsensymmetrisch, sondern Punktsymmetrisch


Nullstellen:

$ [mm] f_{t}(x)=xe^{-tx^2} [/mm] $
$ [mm] x\cdot{}e^{-tx^2}=0 [/mm] $
$ [mm] e^{-tx^2}=0 [/mm] $ Mit ln erweiterung
$ [mm] -tx^2=0 [/mm] $
$ x=0 $


Erste Ableitung

$ [mm] f_{t}(x)=xe^{-tx^2} [/mm] $
$ [mm] f_{t}'(x)=1*e^{-tx^2}+x*e^{-tx^2}*(-2tx) [/mm] $
$ [mm] f_{t}'(x)=e^{-tx^2}*(1-2tx^2) [/mm]


Nullstellen der ersten Ableitung:

[mm] 1-2tx^2=0 [/mm]
[mm] 2tx^2=1 [/mm]
[mm] x^2=\bruch{1}{2t} [/mm]
[mm] x=\pm\wurzel{\bruch{1}{2t}} [/mm]


Zweite Ableitung:

$ [mm] f_{t}''(x)=(-2tx*e^{-tx^2}*(1-2tx^2))+(e^{-tx^2}*(-4tx)) [/mm] $
$ [mm] f_{t}''(x)=e^{-tx^2}*((2tx*(1-2tx^2))-4tx) [/mm] $
$ [mm] f_{t}''(x)=e^{-tx^2}*((2tx-4t^2x^3))-4tx) [/mm] $
$ [mm] f_{t}''(x)=e^{-tx^2}*(-2tx-4t^2x^3) [/mm] $


Nullstellen der zweiten Ableitung:

[mm] -2tx-4t^2x^3=0 [/mm]
[mm] -tx-2t^2x^3=0 [/mm]
[mm] -tx*(1+2tx^2)=0 [/mm]
[mm] 1+2tx^2=0 [/mm]
[mm] 2tx^2=-1 [/mm]
[mm] x^2=\bruch{-1}{2t} [/mm]
[mm] x=\pm\wurzel{\bruch{-1}{2t}} [/mm]


Dritte Ableitung:

$ [mm] f_{t}'''(x)=-2tx\cdot{}e^{-tx^2}\cdot{}(-2tx-4t^2x^3)+e^{-tx^2}\cdot{}(-2t-12t^2x^2) [/mm] $
$ [mm] f_{t}'''(x)=e^{-tx^2}*(4t^2x^2+8t^3x^4-2t-12t^2x^2) [/mm] $


Extrema:

$ [mm] f_{t}''(\wurzel{\bruch{1}{2t}})=e^{-t\cdot{}(\wurzel{\bruch{1}{2t}})^2}\cdot{}(-2t\cdot{}(\wurzel{\bruch{1}{2t}})-4t^2\cdot{}(\wurzel{\bruch{1}{2t}})^3) [/mm] $

Wie beschreibe ich jetzt am besten, ob es ein Maximum oder Minimum ist?


Wendepunkt:

$ [mm] f_{t}'''(\wurzel{\bruch{-1}{2t}})=e^{-t\cdot{}(\wurzel{\bruch{-1}{2t}})^2}\cdot{}(4t^2\cdot{}(\wurzel{\bruch{-1}{2t}})^2+8t^3\cdot{}(\wurzel{\bruch{-1}{2t}})^4-2t-12t^2\cdot{}(\wurzel{\bruch{-1}{2t}})^2) [/mm] $

Hier habe ich jetz das selbe Problem wie bei den Extrema. Wie erkenne ich, ob das gleich Null ist und damit kein Wenepunkt ist?



Ich würde mich freuen, wenn ihr euch das mal durchlesen könntet und mir meine Fehler aufzeigen könnte bzw. mir Tipps geben könntet.


Vielen Dank schon jetzt!


LG TryingHard
        
Bezug
Funktionenschar: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:53 Sa 02.12.2006
Autor: Loddar

Hallo TryingHard!


Definitionsbereich:

> [mm]\IR;[/mm] {0}

[notok] Warum willst Du denn die arme, kleine, unschuldige $0_$ ausschließen?


Symmetrie:

> [mm]f_{t}(-x)=-x\cdot{}e^{-t(-x)^2}[/mm]  [mm]\Rightarrow[/mm] also nicht
> Achsensymmetrisch, sondern Punktsymmetrisch

[ok] Richtig. Aber schreib ruhig noch dazu:  $... \ = \ [mm] -x*e^{-t*x^2} [/mm] \ = \ -f(x)$

  
Nullstellen:

> [mm]f_{t}(x)=xe^{-tx^2}[/mm]
> [mm]x\cdot{}e^{-tx^2}=0[/mm]
> [mm]e^{-tx^2}=0[/mm] Mit ln erweiterung
> [mm]-tx^2=0[/mm]
> [mm]x=0[/mm]

Das Ergebnis mit [mm] $x_N [/mm] \ = \ 0$ stimmt, allerings nicht der Weg.

Du kannst ja gemäß des Prinzips des Nullproduktes schreiben:

[mm] $x*e^{-t*x^2} [/mm] \ = \ 0$

[mm] $\gdw$ [/mm]   $x \ = \ 0$    oder    [mm] $e^{-t*x^2}$ [/mm]

Und eine e-Funktion hat im Reellen nie Nullstellen.
Es verbleibt also nur der Anteil mit $x \ = \ 0$ .


Erste Ableitung

> [mm]f_{t}(x)=xe^{-tx^2}[/mm]
> [mm]f_{t}'(x)=1*e^{-tx^2}+x*e^{-tx^2}*(-2tx)[/mm]
> [mm]f_{t}'(x)=e^{-tx^2}*(1-2tx^2)[/mm]

[ok]

  
Nullstellen der ersten Ableitung:

> [mm]1-2tx^2=0[/mm]
> [mm]2tx^2=1[/mm]
> [mm]x^2=\bruch{1}{2t}[/mm]
> [mm]x=\pm\wurzel{\bruch{1}{2t}}[/mm]

[ok]


Zweite Ableitung:

> [mm]f_{t}''(x)=(-2tx*e^{-tx^2}*(1-2tx^2))+(e^{-tx^2}*(-4tx))[/mm]
> [mm]f_{t}''(x)=e^{-tx^2}*((2tx*(1-2tx^2))-4tx)[/mm]

[notok] Hier lässt Du unterwegs ein Minuszeichen liegen:

[mm]f_{t}''(x) \ = \ e^{-tx^2}*\left[\red{-}2tx*\left(1-2tx^2\right)-4tx\right] [/mm]


> [mm]f_{t}''(x)=e^{-tx^2}*((2tx-4t^2x^3))-4tx)[/mm]
> [mm]f_{t}''(x)=e^{-tx^2}*(-2tx-4t^2x^3)[/mm]

Dadurch erhalte ich:  [mm] $f_{t}''(x) [/mm] \ = \ [mm] e^{-tx^2}*\left(4t^2*x^3-6t*x\right)$ [/mm]


Nullstellen der zweiten Ableitung:

> [mm]-2tx-4t^2x^3=0[/mm]

[notok] Folgefehler ...



Dritte Ableitung:
  
> [mm]f_{t}'''(x)=-2tx\cdot{}e^{-tx^2}\cdot{}(-2tx-4t^2x^3)+e^{-tx^2}\cdot{}(-2t-12t^2x^2)[/mm]

Auch hier natürlich Folgefehler ...


Extrema:

> [mm]f_{t}''(\wurzel{\bruch{1}{2t}})=e^{-t\cdot{}(\wurzel{\bruch{1}{2t}})^2}\cdot{}(-2t\cdot{}(\wurzel{\bruch{1}{2t}})-4t^2\cdot{}(\wurzel{\bruch{1}{2t}})^3)[/mm]
>  
> Wie beschreibe ich jetzt am besten, ob es ein Maximum oder
> Minimum ist?

Wenn gilt: [mm] $f''(x_E) [/mm] \ < \ 0$   [mm] $\Rightarrow$ $\text{(rel.) Maximum}$ [/mm]

Genauso:  [mm] $f''(x_E) [/mm] \ > \ 0$   [mm] $\Rightarrow$ $\text{(rel.) Minimum}$ [/mm]



Wendepunkt:

> Hier habe ich jetz das selbe Problem wie bei den Extrema.
> Wie erkenne ich, ob das gleich Null ist und damit kein
> Wendepunkt ist?

Hm, vielleicht die richtige 3. Ableitung verwenden? ;-)


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Funktionenschar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:02 So 03.12.2006
Autor: TryingHard

Dankeschön!

Habe nochmal die Fehler verbessert.
Jetzt müsste es richtig sein.


LG TryingHard
Bezug
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