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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Blume123 |
Hallo!
ich habe folgende Aufgaben, wo ich nicht weiter weiß und wo ich hoffe, dass mir jemand helfen kann...
1. Gegeben sind die Funktionen ft mit [mm] ft(x)=2x^3-3tx^2+t^3, [/mm] (t ist element aus R)
Zeigen sie, dass für t ungleich 0 alle Funktionen der Schar die x-Achse berühren.
2. Für a,b (element aus R) ist die Funktion [mm] f(x)=x^4+ax^2+bx [/mm] gegeben.
a) Bestimmen sie a und b so, dass der Graph von f an der Stelle 1 einen Sattelpunkt hat.
b) Für welche Parameter a und b hat der Graph von f keinen Wendepunkt?
Wäre echt toll, wenn mir jemand helfen könnte!!!
LG Blume
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Hallo Blume!
> 1. Gegeben sind die Funktionen ft mit [mm]ft(x)=2x^3-3tx^2+t^3,[/mm]
> (t ist element aus R)
> Zeigen sie, dass für t ungleich 0 alle Funktionen der
> Schar die x-Achse berühren.
Also, das ist doch theoretisch gar nicht schwierig. Wenn die Funktionen die x-Achse berühren sollen, musst du sie einfach gleich 0 setzen. Denn wenn der y-Wert 0 ist, berühren sie ja die x-Achse. Also setzt du:
[mm] 2x^3-3tx^2+t^3=0
[/mm]
Jetzt probierst du mal aus, was du für x einsetzen musst, damit die Gleichung stimmt. Nach nicht allzu langem Probieren dürftest du auf t kommen, denn dann steht dort: [mm] 2t^3-3t^3+t^3 [/mm] und das müsste, wenn ich mich nicht verrechnet habe, gleich 0 sein.
Durch Polynomdivision erhältst du den "Restterm" [mm] 2x^2-tx-t^2, [/mm] die Nullstellen hiervon kannst du nun selber ausrechnen.
Damit, dass du Nullstellen angibst, ist gezaigt, das die Funktionen die x-Acshe berühren.
> 2. Für a,b (element aus R) ist die Funktion
> [mm]f(x)=x^4+ax^2+bx[/mm] gegeben.
> a) Bestimmen sie a und b so, dass der Graph von f an der
> Stelle 1 einen Sattelpunkt hat.
> b) Für welche Parameter a und b hat der Graph von f keinen
> Wendepunkt?
Hier gebe ich dir mal nur den Ansatz:
Was gilt denn an einem Sattelpunkt? Muss da vielleicht die erste Ableitung 0 sein? Oder die zweite? Ich weiß das gar nicht mehr so genau, aber du wirst das bestimmt wissen. Also bestimmst du zuerst die Ableitungen, und dann setzt du sie = 0 oder [mm] \not= [/mm] 0, jenachdem, was gelten muss. Und dann hast du zwei oder drei Gleichungen und zwei Unbekannte und sogar noch deinen Punkt 1, so müsstest du eigentlich auch schon auf die Lösung kommen.
Viele Spaß beim Rechnen, wenn du nicht weiter kommst, schick deine bisherigen Rechnungen, dann gucke ich sie mir an!
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hi
ich geb dir mal ein paar Tips dazu:
Die Tatsache, dass es Berührstellen gibt heißt doch, das es mindestens eine Nullstelle 2. Grades geben muss. Ich gehe mal davon aus, dass es wirklich nur Berührstellen und nicht Schnittstellen geben soll. Dann musst du um das zu beweisen nur noch die Nullstellen in Abhängigkeit von x aus rechenen und du hast bewiesen, soweit davon mindestens eine eine Nullstelle 2. Grades ist, dass es Berührstellen gibt.
Ein Sattelpunkt ist eine Wendestelle mit waagerechter Tangente, d.h. für jeden Sattelpunkt an der Stelle x muss gelten: f´(x)=0.
Desweiteren gilt dann noch f´´(x)=0 und eine Ableitung ungeraden Grades, also z.B. die dritte Ableitung ist ungleich null.
Da du die Stelle nämlich x=1 kennst un nun weißt was rauskommen muss, also dass f´(1)=0 ist und f´´(1)=0 ist dürfte es dir eigentlich nicht allzu schwer fallen die zwei Unbekannten in diesen 2 Gleichungen zu bestimmen, indem du z.B. jeweils eine aus einer der beiden Gleichungen eliminierst.
Falls du nicht weiterkommst kann ich dir noch etwas konkreter helfen. Dann sag bescheid.
MfG Johannes
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Hallo Blume,
ich fasse mal zusammen, was Bastiane und Grizzlitiger gesagt haben:
Wenn eine  Funktion die x-Achse in einem Punkt berührt, dann bedeutet das, dass dort eine sogenannte "doppelte Nullstelle" vorliegen soll.
Weißt du, was das ist?
Bastiane schrieb:
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Jetzt probierst du mal aus, was du für x einsetzen musst, damit die Gleichung stimmt. Nach nicht allzu langem Probieren dürftest du auf t kommen, denn dann steht dort: $ [mm] 2t^3-3t^3+t^3 [/mm] $ und das müsste, wenn ich mich nicht verrechnet habe, gleich 0 sein.
Durch Polynomdivision erhältst du den "Restterm" $ [mm] 2x^2-tx-t^2, [/mm] $ die Nullstellen hiervon kannst du nun selber ausrechnen.
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Auch beim Restterm gilt: für x = t: [mm] $2t^2-t^2+t^2 [/mm] =0$, also ist x=t zum zweiten Mal Nullstelle.
Damit wird die Funktion zu $f(x)=(x-t)(x-t)(2x+t)$ und man sieht sofort, dass x=t eine doppelte Nullstelle ist.
Übrigens: damit ist zugleich schon gezeigt, dass für x=t die Funktion dort auch eine Extremstelle hat.
Nachweis? Wer macht's?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr "Antworter"!
Habe mir eure Antworten mal durchgelesen, und wundere mich über die "Berührstelle" oder wie hieß das? Ich dachte, wenn man zeigt, dass die Funktionenschar die x-Achse schneidet, dann berührt sie sie auch, quasi weil man beim "Schneiden" ja auch berührt, also jedenfalls im nicht ganz so mathematischen Sinn. Oder ist eine Berührstelle definiert als dass sie gerade nicht schneidet?
Und dann frage ich mich, was das mit der doppelten Nullstelle zu tun hat - ist es ein Berührpunkt, wenn an dieser Stelle eine doppelte Nullstelle existiert?
Anscheinden haben wir so etwas in der Schule irgendwie nie gemacht, aber mir reicht eine kurze Antwort, was eine doppelte Nullstelle ist, weiß ich...
Viele Grüße
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Fugre |
> Hallo ihr "Antworter"!
> Habe mir eure Antworten mal durchgelesen, und wundere mich
> über die "Berührstelle" oder wie hieß das? Ich dachte, wenn
> man zeigt, dass die Funktionenschar die x-Achse schneidet,
> dann berührt sie sie auch, quasi weil man beim "Schneiden"
> ja auch berührt, also jedenfalls im nicht ganz so
> mathematischen Sinn. Oder ist eine Berührstelle definiert
> als dass sie gerade nicht schneidet?
> Und dann frage ich mich, was das mit der doppelten
> Nullstelle zu tun hat - ist es ein Berührpunkt, wenn an
> dieser Stelle eine doppelte Nullstelle existiert?
>
> Anscheinden haben wir so etwas in der Schule irgendwie nie
> gemacht, aber mir reicht eine kurze Antwort, was eine
> doppelte Nullstelle ist, weiß ich...
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
Hallo Bastiante,
mir wurde beigebracht, dass eine Berührstelle ein Punkt ist, in dem die sichberührenden Kurven die gleiche Steigung haben und man sagte uns, dass man das in der Mathematik so definiert hat.
An jeder doppelten Nullstelle liegt eine waagerechte Tangente an und an jeder dreifachen Nullstelle liegt ein Sattelpunkt vor. Das kannst du mit der Kettenregel auch ganz leicht nachvollziehen.
Liebe Grüße
Fugre
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Nein, ich finde, es gibt keinen Verbesserungsvorschlag - deine Erklärungen sind sehr schön verständlich und ich musste erstaunt feststellen, dass wir so etwas tatsächlich auf der Schule nie gelernt haben.
Viele Grüße
Bastiane
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
ich habe mal versucht, das allgemeinverständlich in der 