Funktionsb. in realen Situatio < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Metallstreifen ist im Punkt F waagrecht befestigt und liegt im Abstand von 10cm im Punkt L lose auf. Durch Belastung biegt sich der Streifen so durch, dass die maximale Durchbiegung 2cm beträgt.
a) Beschreiben sie die Form des Matallstreifens durch eine ganzrationale funktion
b) Wie groß ist die DUrchbiegung in der Mitte zwischen F und L? |
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen FOrtum gestellt.
hallo,
ich habe schon auf vielen internetseiten gesehn, dass diese aufgabe gestellt wurde, aber nie hatte jemand ein richtiges ergebnis...
also erstmal zu b) falls ihr auf die idee kommt dass der TP = (5/-2) ist stimmt das schonmal nicht, da die durchbiegung mit -2 als y-wert nicht in der Mitte liegt.
so ich habe jetzt mal ein paar dinge zusammengestellt:
F(0/0), daich mein koordinatensystem so setze, dass F im ursprung liegt.
d.h.: f(0)=0
f'(0)=0, da der metallstreifen in F waagerecht aufliegt
f(10)=0
f(t)=-2 durchbiegung
f'(t)=0, da es ein Tiefpunkt ist, die steigung da also=0
soweit richtig???
woher weiß ich jetzt um was für eine funktion es sich handelt?also wievielten grades? manche sagen 3.grades, manche 2. , manche 4. und ich habe auch schon gelesen, dass ein lehrer mal gesagt hat, es stünden verschiedene möglichkeiten zur auswahl...
und wenn ich jetzt mal von der 3. grades ausgehe, dann habe ich d=0 und c=0
aber wie mache ich das dann mit t? wie löse ich da auf? weil dann habe ich zum schluss lauter lösungen mit variablen drin und kann nichts mehr tun...hiiiiiiiiiilfe:) brauch die Aufgabe für meine GFS!!! :)
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Hallo!
erstmal zur Beruhigung: Wir werden die Aufgabe schon lösen 
(Und zwar richtig).
> Ein Metallstreifen ist im Punkt F waagrecht befestigt und
> liegt im Abstand von 10cm im Punkt L lose auf. Durch
> Belastung biegt sich der Streifen so durch, dass die
> maximale Durchbiegung 2cm beträgt.
> a) Beschreiben sie die Form des Matallstreifens durch eine
> ganzrationale funktion
>
> b) Wie groß ist die DUrchbiegung in der Mitte zwischen F
> und L?
> Ich habe diese Frage noch in keinem anderen FOrtum
> gestellt.
>
> hallo,
> ich habe schon auf vielen internetseiten gesehn, dass
> diese aufgabe gestellt wurde, aber nie hatte jemand ein
> richtiges ergebnis...
>
> also erstmal zu b) falls ihr auf die idee kommt dass der TP
> = (5/-2) ist stimmt das schonmal nicht, da die durchbiegung
> mit -2 als y-wert nicht in der Mitte liegt.
Genau. Man kommt (wenn ich richtig gerechnet habe) im Verlauf auf t = 20/3.
> so ich habe jetzt mal ein paar dinge zusammengestellt:
>
> F(0/0), daich mein koordinatensystem so setze, dass F im
> ursprung liegt.
>
> d.h.: f(0)=0
> f'(0)=0, da der metallstreifen in F waagerecht
> aufliegt
> f(10)=0
> f(t)=-2 durchbiegung
> f'(t)=0, da es ein Tiefpunkt ist, die steigung da
> also=0
>
> soweit richtig???
Alles wunderbar. Du hast also 5 Bedingungen.
> woher weiß ich jetzt um was für eine funktion es sich
> handelt?also wievielten grades? manche sagen 3.grades,
> manche 2. , manche 4. und ich habe auch schon gelesen, dass
> ein lehrer mal gesagt hat, es stünden verschiedene
> möglichkeiten zur auswahl...
>
> und wenn ich jetzt mal von der 3. grades ausgehe, dann habe
> ich d=0 und c=0
Du gehst völlig richtig vor.
Wir müssen (ich bin der Meinung "müssen") eine Funktion dritten Grades verwenden, denn bei einer solchen Funktion haben wir 4 freie Parameter (a,b,c,d) und oben in den Bedingungen taucht noch ein Parameter auf (t).
Damit haben wir 5 Bedingungen für 5 Parameter - so sollte es immer sein (gleichviele Bedingungen und Parameter), dann kann man auf Lösungen hoffen.
Also:
$f(x) = [mm] a*x^{3} [/mm] + [mm] b*x^{2} [/mm] + c*x + d$
Wie du schon richtig gesagt hast, bekommen wir aufgrund der ersten beiden Bedingungen schonmal c = d = 0, also:
$f(x) = [mm] a*x^{3} [/mm] + [mm] b*x^{2}$.
[/mm]
Nun benutzen wir $f(10) = 0$:
$a*1000 + b*100 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] b = -10*a$.
Also haben wir:
$f(x) = [mm] a*x^{3} [/mm] - [mm] 10*a*x^{2}$. [/mm] (*)
Nun haben wir noch zwei Bedingungen. Wir benutzen zuerst die zweite mit der Ableitung, $f'(t) = 0$.
$f'(x) = [mm] 3*a*x^{2} [/mm] - 20*a*x$
Die Gleichung:
[mm] $3*a*t^{2} [/mm] - 20*a*t = 0$
Nun sollten wir durch a teilen. Wir vernichten damit zwar den Fall a = 0, aber dieser kann sowieso nicht eintreten: a=0 würde bedeuten, dass f(x) = 0 ist, also die konstante Nullfunktion (um das einzusehen, einfach mal das Aussehen der Funktion zum Zeitpunkt (*) ansehen).
Also können wir umformen zu:
[mm] $3*t^{2} [/mm] - 20*t = 0$
Eine Lösung dieser Gleichung ist t = 0. Dies ist aber wieder nicht sinnvoll, weil wir wissen, dass f(0) = 0 ist, nach der zweiten Bedingung f(t) = -2 wäre dies aber ein Widerspruch. Also können wir durch t teilen und erhalten:
$3*t -20 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] t = [mm] \frac{20}{3}$.
[/mm]
Damit kennst du t.
Nun benutze noch die letzte Bedingung $f(t) = -2$ bzw. eben nun [mm] $f(\frac{20}{3}) [/mm] = -2$, um den Wert von a zu bestimmen.
Grüße,
Stefan
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SUPER! vielen dank! und das klingt mir wirklich nach der richtigen lösung ;)
liebe grüße
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mir ist doich noch etwas unklar... :)
wenn ich 5 bedingungen und gleichungen habe wieso dann nciht 5 variablen, also eine funktion 4. grades? zählt der parameter nicht mit oder wie hast du das gemeint?
grüßle
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Hallo,
> mir ist doich noch etwas unklar... :)
> wenn ich 5 bedingungen und gleichungen habe wieso dann
> nciht 5 variablen, also eine funktion 4. grades? zählt der
> parameter nicht mit oder wie hast du das gemeint?
> grüßle
Ich meinte es so: Du hast 5 Bedingungen.
Also solltest du möglichst 5 Parameter haben.
Einer ist allerdings schon in den Bedingungen selbst enthalten (das "t"), also darf die Funktionsvorschrift selbst nur noch 4 Parameter enthalten --> Funktion 3. Grades.
Grüße,
Stefan
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hallo zusammen,
ich komme irgendwie nicht weiter heute. ich habe jetzt ja
c=d=0
t=20/3
b=-10a
dann sind also meine Bedingungen die eigentlich f(t)=-2 und f'(t)=0 sind
sind dann also f(20/3)=-2 und f'(20/3)=0
aber wenn ich jetzt für x= 20/3 in meine funktion [mm] f(x)=ax^3+bx^2 [/mm] (c und d fallen ja weg) eingebe kommt -2= [mm] \bruch{-4000}{27}a [/mm] raus...
wenn ich dann durch [mm] \bruch{-4000}{27} [/mm] teile kommt raus a=27/2000
kann das stimmen? das klingt doch irgendwie falsch!
und dann hätte ich für b= -270/2000=27/200, da b ja -10a war
also f(x)= [mm] \bruch{27}{2000}x^3-\bruch{27}{200}x^2
[/mm]
also wenn ich das in den gtr eingebe könnte es laut schaubild sogar stimmen, aber irgendwie sind die zahlen so komisch...
so und jetzt noch ein problem:) die aufgabe muss ich ja in meiner GFS dranbringen und da mein thema funktionsbestimmung in realen situationen ist und es um lgs geht, sollte ich wohl eher ein lgs aufstellen und nicht jede variable einfach so ausrechnen... aber irgendwie blicke ich nicht wie ich das hier machen kann...
also dann so oder wie?
1000a +100b+ 0c +0d = 0 für f(10)= 0
0a + 0b + 1c +0d = 0 für f'(0)=0
0a + 0b + 0c +1d = 0 für f(0) =0
[mm] \bruch{8000}{27}a+\bruch{400}{9}b+0c+0d= [/mm] -2 ür f(20/3)=-2
[mm] \bruch{400}{3}a+\bruch{40}{3}b+0c+0d=0 [/mm] für f'(20/3)=0
ich glaub ich habs mir selbst erklärt :) weil wenn ich es so in den GTR eingebe kommt das selbe ergebnis raus wie schriftlich ;)
wäre aber cool wenn trotzdem jemand schauen könnte ob das stimmt, also ob das schaubild so aussehen könnte laut aufgabenstellung :)
und wie mache ich jetzt aufgabe b) ?
dann habe ich ja wahrscheinlich f(5)=t oder? und dann? f'(5)=0 oder? da es ja ein tp ist, die steigung also null ist? und dann?
danke schonmal! :)
grüße, die verzweiflung
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ich habe diese frage noch in keinem anderen forum gestellt
hallo noichmal,
jetzt habe ich ein weiteres Problem:
wenn ich es eben per lgs ausrechnene will und nicht jede variable mit einsetzungsverfahren etc., weil kein thema ja lgs ist, wie mache ich das dann, wenn ich b nicht so weit ausrechne dass es b=-10a heißt sondern 1000a+100b=0 ? denn dann kann ich ja auch nicht im nchsten schritt t ausrechnen , da ich t ja so ausgerechnet habe:
[mm] f'(x)=3ax^2+2bx
[/mm]
also f'(x)= [mm] 3at^2-10at
[/mm]
= [mm] 3at^2-20at [/mm] / : a
= [mm] 3t^2-20t [/mm] / :t
=3t-20 /:3
0= t- 20/3 / + 20/3
t= 20/3
wenn ich das ganze jetzt aber mit b und nicht mit -10a mache sieht das so aus
0= [mm] 3ax^2+2bx [/mm] / :b
= [mm] 3ax^2+2x
[/mm]
= [mm] 3at^2+2t [/mm] / :a
[mm] =3t^2+2t [/mm] / :t
= 3t+2 /' -2
-2= 3t / : 3
t= -2/3
toll und jetzt? muss ich dann also b soweit ausrechnene dass b= -10a ist um t ausrechnen zu können und im lgs aber wieder schreiben
1000a+100b =0???
was ist denn jetzt richtig? t= -2/3 oder t= 20/3 ?
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Hallo!
> hallo noichmal,
> jetzt habe ich ein weiteres Problem:
> wenn ich es eben per lgs ausrechnene will und nicht jede
> variable mit einsetzungsverfahren etc., weil kein thema ja
> lgs ist, wie mache ich das dann, wenn ich b nicht so weit
> ausrechne dass es b=-10a heißt sondern 1000a+100b=0 ? denn
> dann kann ich ja auch nicht im nchsten schritt t ausrechnen
> , da ich t ja so ausgerechnet habe:
> [mm]f'(x)=3ax^2+2bx[/mm]
> also f'(x)= [mm]3at^2-10at[/mm]
> = [mm]3at^2-20at[/mm] / : a
> = [mm]3t^2-20t[/mm] / :t
> =3t-20 /:3
> 0= t- 20/3 / + 20/3
> t= 20/3
Dazu habe ich in dem anderen Post schon etwas gesagt. Du hast im Grunde ein LGS mit Parameter t vorliegen.
Das LGS ist nur für t = 20/3 lösbar, das muss du als erstes herausbekommen.
> wenn ich das ganze jetzt aber mit b und nicht mit -10a
> mache sieht das so aus
>
> 0= [mm]3ax^2+2bx[/mm] / :b
> = [mm]3ax^2+2x[/mm]
> = [mm]3at^2+2t[/mm] / :a
> [mm]=3t^2+2t[/mm] / :t
> = 3t+2 /' -2
> -2= 3t / : 3
> t= -2/3
Richtig ist t = 20/3, und es tut mir leid, ich kann beim besten Willen nicht nachvollziehen, was du hier gerechnet hast.
Auf einmal wird aus x das t, und du teilst durch b, aber nur bei einem Summanden... Ich könnte die Liste fortführen.
Ich kann dir hingegen versichern: Wenn du statt $b = -10a$ eben $a = [mm] -\frac{1}{10}*b$ [/mm] nimmst und das in das für a einsetzt, kommst du am Ende auch auf t = 20/3.
Grüße,
Stefan
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Hallo,
> siehe oben
> hallo zusammen,
> ich komme irgendwie nicht weiter heute. ich habe jetzt ja
> c=d=0
> t=20/3
> b=-10a
>
> dann sind also meine Bedingungen die eigentlich f(t)=-2
> und f'(t)=0 sind
> sind dann also f(20/3)=-2 und f'(20/3)=0
> aber wenn ich jetzt für x= 20/3 in meine funktion
> [mm]f(x)=ax^3+bx^2[/mm] (c und d fallen ja weg) eingebe kommt -2=
> [mm]\bruch{-4000}{27}a[/mm] raus...
> wenn ich dann durch [mm]\bruch{-4000}{27}[/mm] teile kommt raus
> a=27/2000
>
> kann das stimmen? das klingt doch irgendwie falsch!
> und dann hätte ich für b= -270/2000=27/200, da b ja -10a
> war
Da fehlt ein (Tippfehler-)Minus: $b = -27/200$.
Ansonsten alles richtig! Die Werte sind eben nicht immer die schönsten.
> also f(x)= [mm]\bruch{27}{2000}x^3-\bruch{27}{200}x^2[/mm]
> also wenn ich das in den gtr eingebe könnte es laut
> schaubild sogar stimmen, aber irgendwie sind die zahlen so
> komisch...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es können eben nicht immer schöne Zahlen sein.
> so und jetzt noch ein problem:) die aufgabe muss ich ja in
> meiner GFS dranbringen und da mein thema
> funktionsbestimmung in realen situationen ist und es um lgs
> geht, sollte ich wohl eher ein lgs aufstellen und nicht
> jede variable einfach so ausrechnen... aber irgendwie
> blicke ich nicht wie ich das hier machen kann...
Bevor ich mir das weitere anschaue - so wie wir es gelöst haben, finde ich es eigentlich am besten. Schau, wir haben kein einziges Mal irgendetwas kompliziertes rechnen müssen.
> also dann so oder wie?
>
> 1000a +100b+ 0c +0d = 0 für f(10)= 0
> 0a + 0b + 1c +0d = 0 für f'(0)=0
> 0a + 0b + 0c +1d = 0 für f(0) =0
> [mm]\bruch{8000}{27}a+\bruch{400}{9}b+0c+0d=[/mm] -2 ür
> f(20/3)=-2
> [mm]\bruch{400}{3}a+\bruch{40}{3}b+0c+0d=0[/mm] für f'(20/3)=0
>
> ich glaub ich habs mir selbst erklärt :) weil wenn ich es
> so in den GTR eingebe kommt das selbe ergebnis raus wie
> schriftlich ;)
> wäre aber cool wenn trotzdem jemand schauen könnte ob das
> stimmt, also ob das schaubild so aussehen könnte laut
> aufgabenstellung :)
Alles soweit okay.
Du hast nur ein wenig gemogelt:
Du hast ja unsere "Erkenntnis", was t sein muss, schon benutzt.
Das weißt du ja eigentlich am Anfang, beim Gleichungssystem - Aufstellen nicht.
Ich habe mal für dich versucht, eine geeignete Interpretation zu finden.
Wir haben ja, nachdem wir die trivialen Sachen (Also c = d = 0, das muss man nicht in das Gleichungssystem mit aufnehmen) abgehandelt haben, folgendes:
$f(x) = [mm] a*x^{3} [/mm] + [mm] b*x^{2}$
[/mm]
$f'(x) = [mm] 3*a*x^{2} [/mm] + 2*b*x$
und die drei Gleichungen:
$f(10) = 0:$
$1000*a + 100*b = 0$
$f(t) = -2:$
[mm] $t^{3}*a [/mm] + [mm] t^{2}*b [/mm] = -2$
$f'(t) = 0:$
[mm] $3*t^{2}*a [/mm] + 2*t*b = 0$
Was hier also vorliegt, ist im Grunde ein Lineares Gleichungssystem in a und b mit Parameter t!
In Matrixform (hattet ihr das schon?):
[mm] \pmat{1000 & 100 & | & 0 \\ t^{3} & t^{2} & | & -2 \\ 3*t^{2} & 2*t & | & 0}
[/mm]
Die erste Sache, der man nun nachgehen muss, ist die Frage, für welchen Parameter t dieses LGS überhaupt lösbar ist. Dann kommt man auf t = 20/3.
Dann ist es ein ganz normales LGS, was man auch in den Taschenrechner eingeben kann.
> und wie mache ich jetzt aufgabe b) ?
> dann habe ich ja wahrscheinlich f(5)=t oder? und dann?
> f'(5)=0 oder? da es ja ein tp ist, die steigung also null
> ist? und dann?
Nein, das ist kein Tiefpunkt! Der einzige Tiefpunkt liegt doch bei x = 20/3 !
Du sollst einfach nur den Funktionswert an der Stelle x= 5 (Mitte von F und L) ausrechnen, also
f(5).
Das beschreibt doch dann die "Durchbiegung".
Grüße,
Stefan
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hallo :)
danke erstmal,dass du geantwortet hast, das hat ja bisher stundenlang niemand gemacht... :)
was halt mein problem ist ist folgendes: es ist zwar einfacher die werte so auszurechnen wie wir das gemacht haben, sprich einsetzen etc, aber ich soll ein lgs aufstellen. aber ich kann ja gar keins austellen ohne die erkenntnis t= 20/3. aber auf t=20/3 komme ich ja nur nachdem ich t in f'(t) eingesetzt habe. für f'(t) haben wir ja als b-wert die davor ausgerechneten -10a genommen. dann geht es. aber ich glaube, ich soll eben genau das nicht machen, also b lassen und nicht mit -10 a weiterechnen. oder meintest du es so, dass ich es am ende doch in ein lgs stelle, da ich ja den richtigen wert für b eh noch nicht habe? sprich ich setze -10a für die gleichung f'(t) ein um t rausuzukriegen und gehe dann aber wieder zu der gleichung 1000a+100b=0 zurück?
ja koeffizientenmatrix kenne ich ;) aber du schreibst, dass man sich die matrix anschaut und überlegt was t ist. und dass man dann auf t= 20/3 kommt. wie das? eingebung? :) ausprobieren? weil meiner meinung nach kommt man da ja nur mit dem verfahren wie wir es gemacht haben auf 20/3 ...
das andere ergebnis von mir von wegen -2/3 oder so ist wirklich schwachsinn...keine ahnung was ich da gedacht hab :D
vielen dank und ich hoffe du verstehst was ich meine, denn meine gfs ist übermorgen :)
grüße, anne
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Hallo!
> was halt mein problem ist ist folgendes: es ist zwar
> einfacher die werte so auszurechnen wie wir das gemacht
> haben, sprich einsetzen etc, aber ich soll ein lgs
> aufstellen. aber ich kann ja gar keins austellen ohne die
> erkenntnis t= 20/3.
Doch, kannst du!
Das habe ich ja oben gemacht.
Du kommst dann auf die Koeffizientenmatrix (hatte ich ja oben beschrieben, wie):
$ [mm] \pmat{1000 & 100 & | & 0 \\ t^{3} & t^{2} & | & -2 \\ 3\cdot{}t^{2} & 2\cdot{}t & | & 0} [/mm] $
> ja koeffizientenmatrix kenne ich ;) aber du schreibst, dass
> man sich die matrix anschaut und überlegt was t ist. und
> dass man dann auf t= 20/3 kommt. wie das? eingebung? :)
> ausprobieren? weil meiner meinung nach kommt man da ja nur
> mit dem verfahren wie wir es gemacht haben auf 20/3 ...
Nein, wie gesagt:
Du hast nun oben ein LGS, aber dieses ist überbestimmt. Du hast nämlich zwei Variablen (a,b), aber drei Bedingungen (Gleichungen). Meistens haben solche LGS keine Lösung. Allerdings ist da eben noch der Parameter t.
Wir wollen das LGS (möglichst eindeutig) lösen. Das geht aber wahrscheinlich nur für bestimmte Werte von t.
Wir formen die Koeffizientenmatrix um (wir dürfen durch t teilen, weil wir schon von Anfang an wissen, dass t = 0 keinen Sinn macht).
$ [mm] \pmat{1000 & 100 & | & 0 \\ t^{3} & t^{2} & | & -2 \\ 3\cdot{}t^{2} & 2\cdot{}t & | & 0} [/mm] $
$ [mm] \to \pmat{1 & \frac{1}{10} & | & 0 \\3\cdot{}t & 2 & | & 0 \\ t^{3} & t^{2} & | & -2} [/mm] $
$ [mm] \to \pmat{1 & \frac{1}{10} & | & 0 \\0 & 2-\frac{3}{10}*t & | & 0 \\ 0 & t^{2} - \frac{1}{10}*t^{3} & | & -2} [/mm] $
$ [mm] \to \pmat{1 & \frac{1}{10} & | & 0 \\0 & 2-\frac{3}{10}*t & | & 0 \\ 0 & t^{2}*(1 - \frac{1}{10}*t) & | & -2} [/mm] $
Nun siehst du:
Da sowohl $t [mm] \not= [/mm] 0$ als auch [mm] $t\not= [/mm] 10$ (beides würde nach unseren Erkenntnissen keinen Sinn machen), wird in der dritten Zeile b ein Wert ungleich 0 zugewiesen.
In der zweiten Zeile wird allerdings b der Wert 0 zugewiesen (wenn [mm] $2-\frac{3}{10}*t \not= [/mm] 0$ ist). Also muss [mm] $2-\frac{3}{10}*t [/mm] = 0$ gelten.
Verstehst du das?
Ansonsten: Weiter umformen:
$ [mm] \to \pmat{1 & \frac{1}{10} & | & 0 \\ 0 & 1 & | & -\frac{2}{t^{2}*(1 - \frac{1}{10}*t)}\\ 0 & 2-\frac{3}{10}*t & | & 0 } [/mm] $
$ [mm] \to \pmat{1 & \frac{1}{10} & | & 0 \\ 0 & 1 & | & -\frac{2}{t^{2}*(1 - \frac{1}{10}*t)}\\ 0 & 0 & | & \left(\frac{2}{t^{2}*(1 - \frac{1}{10}*t)} \right)*\left(2-\frac{3}{10}*t\right)} [/mm] $
Nun siehst du: Die dritte Zeile ist eine falsche Aussage, wenn die rechte Seite ungleich 0 ist. (denn dann steht da ja sowas wie: 0*a + 0*b = 0 = etwas, was nicht 0 ist).
Also muss die rechte Seite 0 sein. Das geht aber nur, wenn [mm] $\left(2-\frac{3}{10}*t\right) [/mm] = 0$ ist, denn der Bruch kann nicht 0 werden. (Lass' dir das durch den Kopf gehen).
Jetzt interessiert mich aber doch, wofür "GFS" eigentlich steht?
Grüße,
Stefan
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also ertsmal GFS= Gleichwertige Feststellung von Schülerleistung. jetzt ist alles klar oder? ;) also das ist eine form von vortrag oder schriftliche hausarbeit, aber in ausgeweiteter Fassung und es zählt wie eine klausur/klassenarbeit...
so und jetzt: könntest du vielleicht bei den umformungen der koeffizientenmatrix dazu schreiben was du da genau gemacht/gekürzt etc hast? den anfang versteh ich noch da hast du die erste gleichung durch 1000 geteilt, die 2. gleichung durch t geteilt, auch logisch, da t ja nicht null sein kann...aber was du dann gemacht hast, da komme ich nicht mit..
und wie hast du das gemeint? --> (denn dann steht da ja sowas wie: 0*a + 0*b = 0 = etwas, was nicht 0 ist).
das meintest du zum schluss. wieso ist 0a+0b=0 etwas was nciht null ist? ist es doch! 0+0=0 !?
wir haben jetzt ja nur noch mit f(10), f(t) und f'(t) gerechnet, da die anderen c=d=0 ergeben und der rest ( a,b) der Bedingungen f(0) und f'(0) ja auch null ist. wenn ich dann ganz zum schluss alle linearen gleichungen habe muss ich dann nur die 3 Bedingungen, die wir zum schluss aufgeschrieben haben in den GTR geben oder muss ich auch die ersten beiden bedingungen mitrechnen?
danke für die geduld, Anne
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Hallo,
> also ertsmal GFS= Gleichwertige Feststellung von
> Schülerleistung. jetzt ist alles klar oder? ;) also das
> ist eine form von vortrag oder schriftliche hausarbeit,
> aber in ausgeweiteter Fassung und es zählt wie eine
> klausur/klassenarbeit...
Na dann, gib dir Mühe
> so und jetzt: könntest du vielleicht bei den umformungen
> der koeffizientenmatrix dazu schreiben was du da genau
> gemacht/gekürzt etc hast? den anfang versteh ich noch da
> hast du die erste gleichung durch 1000 geteilt, die 2.
> gleichung durch t geteilt, auch logisch, da t ja nicht null
> sein kann...aber was du dann gemacht hast, da komme ich
> nicht mit..
$ [mm] \pmat{1000 & 100 & | & 0 \\ t^{3} & t^{2} & | & -2 \\ 3\cdot{}t^{2} & 2\cdot{}t & | & 0} [/mm] $
Teile erste Zeile durch 1000, dritte Zeile durch t und tausche zweite und dritte Zeile.
$ [mm] \to \pmat{1 & \frac{1}{10} & | & 0 \\3\cdot{}t & 2 & | & 0 \\ t^{3} & t^{2} & | & -2} [/mm] $
Jetzt üblicher Gauß-Algorithmus:
Multipliziere die erste Zeile jeweils geeignet mit einer Zahl, so dass sie, aufaddiert auf die zweite bzw. dritte Zeile, den Koeffizienten in der ersten Spalte eliminiert.
Hier:
- Addiere 1. Zeile mal (-3*t) auf die zweite Zeile.
- Addiere 1. Zeile mal [mm] (-t^{3}) [/mm] auf die dritte Zeile.
$ [mm] \to \pmat{1 & \frac{1}{10} & | & 0 \\0 & 2-\frac{3}{10}*t & | & 0 \\ 0 & t^{2} - \frac{1}{10}*t^{3} & | & -2} [/mm] $
Nur ein bisschen Ausklammern in der dritten Zeile, um zu verdeutlichen, dass der Ausdruck [mm] $t^{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{10}*t^{3}$ [/mm] garantiert ungleich 0 ist und wir im Folgenden legitimiert sind, dadurch zu teilen.
$ [mm] \to \pmat{1 & \frac{1}{10} & | & 0 \\0 & 2-\frac{3}{10}*t & | & 0 \\ 0 & t^{2}*(1 - \frac{1}{10}*t) & | & -2} [/mm] $
In der dritten Zeile durch [mm] $t^{2}*(1 [/mm] - [mm] \frac{1}{10}*t)$ [/mm] teilen, dann zweite und dritte Zeile tauschen.
$ [mm] \to \pmat{1 & \frac{1}{10} & | & 0 \\ 0 & 1 & | & -\frac{2}{t^{2}*(1 - \frac{1}{10}*t)}\\ 0 & 2-\frac{3}{10}*t & | & 0 } [/mm] $
Zweite Zeile wieder geeignet auf die dritte addieren, um nochmal 0 zu erzeugen (diesmal in der zweiten Spalte).
Klartext: Zweite Zeile mal [mm] ((-1)*(2-\frac{3}{10}*t)) [/mm] auf die dritte Zeile addieren.
$ [mm] \to \pmat{1 & \frac{1}{10} & | & 0 \\ 0 & 1 & | & -\frac{2}{t^{2}*(1 - \frac{1}{10}*t)}\\ 0 & 0 & | & \left(\frac{2}{t^{2}*(1 - \frac{1}{10}*t)} \right)*\left(2-\frac{3}{10}*t\right)} [/mm] $
Nun kommt die "Auswertung".
> und wie hast du das gemeint? --> (denn dann steht da ja
> sowas wie: 0*a + 0*b = 0 = etwas, was nicht 0 ist).
>
> das meintest du zum schluss. wieso ist 0a+0b=0 etwas was
> nciht null ist? ist es doch! 0+0=0 !?
Also, ich habe mich wahrscheinlich etwas unglücklich ausgedrückt.
Übersetze doch mal die letzte Zeile aus der Matrix wieder in Gleichungen. Da steht im Moment:
$0*a + 0*b = [mm] \left(\frac{2}{t^{2}*(1 - \frac{1}{10}*t)} \right)*\left(2-\frac{3}{10}*t\right)$,
[/mm]
also:
$0 = [mm] \left(\frac{2}{t^{2}*(1 - \frac{1}{10}*t)} \right)*\left(2-\frac{3}{10}*t\right)$,
[/mm]
Wenn also rechts nicht 0 stehen sollte, bedeutet das, das wir das Gleichungssystem äquivalent (!) in einen Widerspruch umgeformt hätten! Das bedeutet, das Gleichungssystem könnte keine Lösung haben.
Also müssen wir dafür sorgen (mit Hilfe von t), dass diese rechte Seite 0 wird.
Und das geht eben nur für t = 20/3. Der erste Faktor oben, der Bruch, kann nicht 0 werden.
> wir haben jetzt ja nur noch mit f(10), f(t) und f'(t)
> gerechnet, da die anderen c=d=0 ergeben und der rest ( a,b)
> der Bedingungen f(0) und f'(0) ja auch null ist.
Was meinst du damit?
Die Sache ist: Eigentlich haben wir ein LGS mit den vier Variablen (a,b,c,d) und dem Parameter t.
Wir haben aber 5 Gleichungen. Im Allgemeinen wird das LGS also nicht lösbar sein, außer der Parameter t hat einen bestimmten Wert.
Zwei Gleichungen sind aber trivial: Sie sagen aus: c = 0 und d = 0.
Wenn wir sie in unsere Koeffizientenmatrix aufnehmen würden, ständen sie als sinnlose Zeilen dort rum, weil sie uns nie interessieren.
Deswegen beschränken wir uns auf die drei "interessanten" Gleichungen und arbeiten nur mit diesen.
> wenn ich
> dann ganz zum schluss alle linearen gleichungen habe muss
> ich dann nur die 3 Bedingungen, die wir zum schluss
> aufgeschrieben haben in den GTR geben oder muss ich auch
> die ersten beiden bedingungen mitrechnen?
Nein, du brauchst nur die 3 Bedingungen einzugeben (mit nun bekanntem t = 20/3).
Wenn du dir aber mal unsere Arbeit mit der Koeffizientenmatrix ansiehst, brauchst du doch dann gar keinen Taschenrechner mehr
Grüße,
Stefan
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du hast es fast überstanden :)
jetzt nur noch zwei fragen:
du hast gesagt:
Wenn also rechts nicht 0 stehen sollte, bedeutet das, das wir das Gleichungssystem äquivalent (!) in einen Widerspruch umgeformt hätten! Das bedeutet, das Gleichungssystem könnte keine Lösung haben.
was meinst du mit "gleichungssystem äquivalent in einen widerspruch geformt"?? also das rechts null werden muss verstehe ich, aber was heißt hier äquivalent? ich dachte äquivalent sagt man, wenn 2 gleichungssysteme die gleiche lösung haben?!
und jetzt wieder zum guten alten problem t=20/3
Also müssen wir dafür sorgen (mit Hilfe von t), dass diese rechte Seite 0 wird.
Und das geht eben nur für t = 20/3. Der erste Faktor oben, der Bruch, kann nicht 0 werden.
wie kommst du von
$ 0 = [mm] \left(\frac{2}{t^{2}\cdot{}(1 - \frac{1}{10}\cdot{}t)} \right)\cdot{}\left(2-\frac{3}{10}\cdot{}t\right) [/mm] $,
auf "das geht eben nur für t=20/3 "??? wie hast du das jetzt in dem schritt ausgerechnet?
und noch was: der nenner darf ncih 0 werden, das ist klar, aber was meinst du mit der erste faktor oben? das der nicht null werden kann oder wie? das wäre ja klar, da im zähler (falls du das mit oben meinst) ja keine variablen bzw. parameter stehen sondern nur 2 und 3...
und jetzt noch ne strohdumme frage: wenn ich dann t habe (was du mir ja hoffentlich noch erklärst wie du drauf gekommen bist) dann habe ich ja 0=...also die matrix von der wirs die ganze zeit haben udn dann statt t ne zahl...dann müsste ja also null rauskommen...und was haben wir aber dann? das ist dann ja nicht die ganzrationale funktion, wir haben dann ja nur c=d=0, t (und somit auch f(t) und f'(t) ) aber ja nicht a und b oder?
wurden dann ja doch mehr als 2 fragen... ich weiß, das hört sich vielleicht doof an, aber könntest du mir vielleicht die letzten schritte bis hin zur lösung , also zur ganzrationalen funktion aufschreiben? das wäre wirklich super, weil ich müsste demnächst auch mal schlafen...muss morgen um halb sieben aufstehn :) also ich lese mir das auch alles durch und frage dann ncohmal nach wenn ich etwas nicht verstehe, aber es wird langsam echt spät... :)
grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Mo 22.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> du hast es fast überstanden :)
> jetzt nur noch zwei fragen:
>
> du hast gesagt:
> Wenn also rechts nicht 0 stehen sollte, bedeutet das, das
> wir das Gleichungssystem äquivalent (!) in einen
> Widerspruch umgeformt hätten! Das bedeutet, das
> Gleichungssystem könnte keine Lösung haben.
Nein, das Gleichungssystem wurde mit völlig legitimem Mitteln umgeformt, so dass du am Ende eben dieses LGS herausbekommst, mit der letzten Zeile
[mm] 0=\left(\frac{2}{t^{2}(1-\frac{1}{10}t)}\right)\left(2-\frac{3}{10}t\right) [/mm]
Und hier hast du ein Produkt, was Null werden soll. Das heisst, es reicht aus, wenn einer der Faktoren Null wird. Aus
[mm] 0=\left(\frac{2}{t^{2}(1-\frac{1}{10}t)}\right)\left(2-\frac{3}{10}t\right) [/mm]
folgt also: [mm] \frac{2}{t^{2}(1-\frac{1}{10}t)}=0 [/mm] ODER [mm] 2-\frac{3}{10}t=0
[/mm]
Der erste Faktor kann nicht Null werden, der zweite wird für [mm] t=\bruch{20}{3} [/mm] zu Null.
>
>
> was meinst du mit "gleichungssystem äquivalent in einen
> widerspruch geformt"?? also das rechts null werden muss
> verstehe ich, aber was heißt hier äquivalent? ich dachte
> äquivalent sagt man, wenn 2 gleichungssysteme die gleiche
> lösung haben?!
>
> und jetzt wieder zum guten alten problem t=20/3
>
>
> Also müssen wir dafür sorgen (mit Hilfe von t), dass
> diese rechte Seite 0 wird.
> Und das geht eben nur für t = 20/3. Der erste Faktor
> oben, der Bruch, kann nicht 0 werden.
>
> wie kommst du von
> [mm]0 = \left(\frac{2}{t^{2}\cdot{}(1 - \frac{1}{10}\cdot{}t)} \right)\cdot{}\left(2-\frac{3}{10}\cdot{}t\right) [/mm],
>
> auf "das geht eben nur für t=20/3 "??? wie hast du das
> jetzt in dem schritt ausgerechnet?
> und noch was: der nenner darf ncih 0 werden, das ist klar,
> aber was meinst du mit der erste faktor oben? das der nicht
> null werden kann oder wie? das wäre ja klar, da im zähler
> (falls du das mit oben meinst) ja keine variablen bzw.
> parameter stehen sondern nur 2 und 3...
>
> und jetzt noch ne strohdumme frage: wenn ich dann t habe
> (was du mir ja hoffentlich noch erklärst wie du drauf
> gekommen bist) dann habe ich ja 0=...also die matrix von
> der wirs die ganze zeit haben udn dann statt t ne
> zahl...dann müsste ja also null rauskommen...und was haben
> wir aber dann? das ist dann ja nicht die ganzrationale
> funktion, wir haben dann ja nur c=d=0, t (und somit auch
> f(t) und f'(t) ) aber ja nicht a und b oder?
Jetzt weisst du, dass [mm] t=\bruch{20}{3} [/mm] sein muss. Dieses kannst du nun wieder einsetzen, so dass aus:
$ [mm] \pmat{1000 & 100 & | & 0 \\ t^{3} & t^{2} & | & -2 \\ \ldots } [/mm] $
folgt: [mm] \pmat{1000 & 100 & | & 0 \\ \left(\bruch{20}{3}\right)^{3} & \left(\bruch{20}{3}\right)^{2} & | & -2 \\ \ldots } [/mm] $
In Gleichungen "übersetzt":
[mm] \vmat{1000a+100b=0\\\left(\bruch{20}{3}\right)^{3}*a+\left(\bruch{20}{3}\right)^{2}*b=-2}
[/mm]
Und dieses LGS führt dich zu den Werten von a und b
>
> wurden dann ja doch mehr als 2 fragen... ich weiß, das
> hört sich vielleicht doof an, aber könntest du mir
> vielleicht die letzten schritte bis hin zur lösung , also
> zur ganzrationalen funktion aufschreiben? das wäre
> wirklich super, weil ich müsste demnächst auch mal
> schlafen...muss morgen um halb sieben aufstehn :) also ich
> lese mir das auch alles durch und frage dann ncohmal nach
> wenn ich etwas nicht verstehe, aber es wird langsam echt
> spät... :)
> grüße
Marius
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Ohhhhhhhhhh geil!!!! danke danke danke! an euch beide :) hab schon panik gekriegt wegen morgen... perfekt! vielen dank!
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