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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Do 25.05.2006 | | Autor: | Gwin |
| Aufgabe | | Zu der Parameterdarstellung: [mm] x=a*sin(t)^{3}, y=a*cos(t)^{3}, [/mm] ( [mm] 0\le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2 [mm] \pi, [/mm] a > 0) ermittle man eine Funktionsdarstellung f(x,y)=0. Wie groß ist der Anstieg der Kurve im Punkt P( [mm] \bruch{a}{8}; \bruch{3}{8}a \wurzel{3})? [/mm] |
hallo zusammen...
ich habe hier das problem das ich nicht sicher bin ob ich den ersten teil der aufgabe verstanden habe...
mein versuch war...
[mm] x=a*sin(t)^{3} [/mm]
[mm] y=a*cos(t)^{3} [/mm] --> a= [mm] \bruch{y}{cos(t)^{3}}
[/mm]
x=y* [mm] \bruch{sin(t)^{3}}{cos(t)^{3}} \to \bruch{x}{y}=tan(t)^{3}
[/mm]
[mm] \to [/mm] arctan( [mm] \bruch{x}{y})^{3}=t
[/mm]
jetzt hätte ich ja eine funktion von x und y... damit aber die bedingung f(x,y)=0 erfüllt ist müste ja der arctan( [mm] \bruch{x}{y})=0 [/mm] werden...
das passiert bei 0 daraus folgt aber das [mm] \bruch{x}{y} [/mm] = 0 sein muß und das ist dann der fall wenn x = 0 ist [mm] \to [/mm] f(x,y)=0=arctan( [mm] \bruch{x}{y})^{3} [/mm] , x=0, y > 0.
um den zweiten teil der aufgabe zu lösen müste ich doch nur noch die funktion ableiten und dann die gegebenen punkte einsetzen oder?
ich bin mir jetzt aber beim besten willen nicht sicher ob das das geforderte ergebniss ist...
könnte sich das jemand von euch mal anschauen und kurz erklären falls das nicht das geforderte ist wie ich die aufgabe lösen soll?
vielen dank schon mal im vorraus...
mfg Gwin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Do 25.05.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Gwin,
Du hast mit Deiner Umformung einen Schritt zu früh aufgehört, denn in der entstehenden Gleichung taucht ja immer noch der Parameter t auf. Ersetze diesen doch einfach mit Hilfe der ersten Gleichung durch einen Wert in Abhängigkeit von x mit $$
t = [mm] \arcsin(\sqrt[3]{\bruch{x}{a}}) [/mm] .$$
Damit lässt sich die Gleichung in die Form f(x,y) = 0 bringen und der zweite Teil der Aufgabe ist dann auch lösbar.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Do 25.05.2006 | | Autor: | Gwin |
hi Infinit...
in der gleichung setze ich doch das t = 0... arctan( $ [mm] \bruch{x}{y})^{3}=t [/mm] $ = 0 habe ich dadurch dann nicht das t eleminiert?
wenn ich das t durch $ [mm] \arcsin(\sqrt[3]{\bruch{x}{a}}) [/mm] $ ersetze habe ich doch wieder nen a drinn und dann muß ich wieder ne möglichkeit finden dieses zu ersetzen oder nicht? und das wäre z.b. a= $ [mm] \bruch{y}{cos(t)^{3}} [/mm] $ dann hätte ich allerdings wieder nen t drinn...
mfg Gwin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Do 25.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Gwin
> in der gleichung setze ich doch das t = 0... arctan(
> [mm]\bruch{x}{y})^{3}=t[/mm] = 0 habe ich dadurch dann nicht das t
> eleminiert?
Nein, du hast t=0 gesetzt, damit in der Ausgangsgleichung x=0, y=a!
Du suchst eine Fkt. f(x,y)=0, die dieselbe Punktmenge beschreibt, wie die Parameterdarstellung. Dafür kann man nicht ein bestimmtes t wählen, weil t ja alle Werte zw. 0 und [mm] 2\pi [/mm] durchläuft.
man kann allerdings eine Gleichung nach t auflösen, und in die andere einsetzen! Dann ist man t los.( Oder du findest noch ne Umformung der Winkelfkt, dazu unten ein Bsp.). also aus 1. [mm] t=arcsin(\bruch{x}{a}^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
a ist kein Parameter, sondern eine feste Konstante
> wenn ich das t durch [mm]\arcsin(\sqrt[3]{\bruch{x}{a}})[/mm]
> ersetze habe ich doch wieder nen a drinn und dann muß ich
> wieder ne möglichkeit finden dieses zu ersetzen oder nicht?
a bleibt auf jeden Fall drin! ( bist du sicher ,es ist [mm] (sint)^{3} [/mm] oder doch [mm] sin(t^{3}) [/mm] das letzte wär viel einfacher!)
> und das wäre z.b. a= [mm]\bruch{y}{cos(t)^{3}}[/mm] dann hätte ich
> allerdings wieder nen t drinn...
Für die Steigung kannst du einfach [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] und [mm] \bruch{dy}{dt} [/mm] berechnen, wenn du vorher das t mit x=a/8 und [mm] y=a/8\wurzel{3} [/mm] bestimmt hast. Dazu brauchst du f(x,y)=0 nicht.
Beispiel wenn gälte [mm] x=asin((t^{3}) [/mm] und [mm] y=acos((t^{3}) [/mm] hättest du [mm] $x^2+y^2-a^2=0
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Gwin |
hallo...
erstmal danke nochmal für eure gedult...
es handelt sich leider wirklich um [mm] sin^{3}(t) [/mm] und [mm] cos^{3}(t)...
[/mm]
ich glaube das ich es jetzt verstanden habe...
[mm] x=a*sin^{3}(t)
[/mm]
[mm] y=a*cos^{3}(t) \to [/mm] arccos( [mm] \wurzel[3]{\bruch{y}{a}})
[/mm]
x = [mm] a*sin^{3}(arccos( \wurzel[3]{ \bruch{y}{a}}))
[/mm]
[mm] a*sin^{3}(arccos( \wurzel[3]{ \bruch{y}{a}}))-x=0
[/mm]
ist das des rätsels lösung?
mfg Gwin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Fr 26.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Gwin
Ja, das ist die Lösung, obs ne schönere gibt weiss ich nicht, verlangt die Aufgabe aber auch nicht.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Sa 27.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Gwin
Ich hoff, du schaust noch mal hier rein! War wohl gestern zu müde!
mit x/a [mm] =sin^{3}(t) [/mm] gilt ja [mm] :(x/a)^{\bruch{1}{3}}=sint
[/mm]
entsprechend [mm] (y/a)^{\bruch{1}{3}}=cost
[/mm]
und damit:
[mm] $x^{\bruch{2}{3}}+x^{\bruch{2}{3}}-a^{\bruch{2}{3}}=0$
[/mm]
Das sieht doch schöner aus!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Gwin |
hi leduart...
vielen dank das du dir nochmal gedanken gemacht hast...
aber leider kann ich dem nicht so ganz folgen > Hallo Gwin
> mit x/a [mm]=sin^{3}(t)[/mm] gilt ja [mm]:(x/a)^{\bruch{1}{3}}=sint[/mm]
> entsprechend [mm](y/a)^{\bruch{1}{3}}=cost[/mm]
bis hier hin verstehe ich es...
> [mm]x^{\bruch{2}{3}}+x^{\bruch{2}{3}}-a^{\bruch{2}{3}}=0[/mm]
aber wie du dann hier hin gekommen bist kann ich leider nicht nachvollziehen...
könntest du mir das, wenn du zeit hast, bitte nochmal erklären?
mfg Gwin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Mi 31.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Gwin
> > mit x/a [mm]=sin^{3}(t)[/mm] gilt ja [mm]:(x/a)^{\bruch{1}{3}}=sint[/mm]
> > entsprechend [mm](y/a)^{\bruch{1}{3}}=cost[/mm]
>
> bis hier hin verstehe ich es...
>
> > [mm]x^{\bruch{2}{3}}+x^{\bruch{2}{3}}-a^{\bruch{2}{3}}=0[/mm]
>
> aber wie du dann hier hin gekommen bist kann ich leider
> nicht nachvollziehen...
[mm] sin^{2}(t)+cos^{2}(t)=1 [/mm] Das ist alles!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Gwin |
hi leduart...
aha gut daran habe ich natürlich überhaupt nicht gedacht das man das so machen kann...
aber muß das dann nicht
[mm]x^{\bruch{2}{3}}+y^{\bruch{2}{3}}-a^{\bruch{2}{3}}=0[/mm] statt
[mm]x^{\bruch{2}{3}}+x^{\bruch{2}{3}}-a^{\bruch{2}{3}}=0[/mm]
heißen?
mfg Gwin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Mi 31.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Gwin
Natürlich hast du recht! Ich hatte mich einfach vertippt und nicht mehr nachgelesen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Gwin |
gut dann habe ich es jetzt voll und ganz verstanden :)...
tausend dank für deine hilfe...
mfg Gwin
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