Funktionsdiskussion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Diskutieren Sie die Funktion :
[mm] f(x)=exp(arctan(x^3))
[/mm]
d.h. geben Sie Nullstellen, Extrema und Wendepunkte an und beschreiben Sie das Monotonieverhalten |
Sehr geehrte Damen und Herren,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
ich muss halt die oben dargestellt funktion diskutieren. Mein Problem der tangens bzw. arctangens ist auf (-π/2,π/2).
Demzufolge besitzt der Tangens eine Nullstelle und zwar bei x=0. Da es sich bei der Funktion um ein Polynom dritten Grades ist x=0 dann eine dreifache Nullstelle? oder werfe ich da gerade einiges durcheinander. Wäre schön wenn wir mir jemand weiter helfen kann und
verweile mit freundlichen Grüßen
Mbstudent
|
|
| |
|
Die äußere Funktion ist die e-Funktion. Kann diese jemals eine Nullstelle annehmen bzw. durchlaufen? Ist es dann eigentlich wichtig, was für Argumente im Exponenten stehen? :)
Schönes WE
PS: Den Rest kannst du erstmal normal mit Hilfe der Ableitungen bestimmen, für die Monotonie kannst du dir das Verhalten im Unendlichen ansehen oder erst einmal arctan(x) bzw. [mm] arctan(x^3) [/mm] alleine. [mm] x^3 [/mm] wirkt sich nur in der Umgebung nahe 0 aus, für große x-Werte spielt die Potenz keine Rolle mehr und es liegt im Grunde arctan(x) vor. Jetzt kannst du von der Skizze einer normalen arctan(x)-Funktion auf das Verhalten von e mit arctan(x) im Exponenten schließen. Im negativen darf sie jetzt nicht mehr unter die x-Achse fallen und im Positiven wird arctan(x) ja asymptotisch gegen einen Wert y=c laufen, also wohl auch e hoch arctan(x). Wie gesagt, eine Skizze hilft hier viel.
|
|
|
| |
|
Ich danke dir vielmals Adamantin,
die Ableitung dieser Funktion ist mir jedoch nicht ganz geheur.
Ich schreibe mal die funktion so auf exp(y) mit
y = [mm] arctan(x^3)
[/mm]
die funktion y ist die umkehrfunktion von x=(tan(y))^(1/3)
die Ableitung einer umkehrfunktion ist wie folgt definiert:
(f^-1)´(x) =1/f´(f^-1(x))....es happert aber bei mir schon bei der ableitung von x....Normalerweise ist die ableitung von tangens [mm] 1/(cos^2(x))....mich [/mm] stört die dritte wurzel bei x.....weil dann kürzt sich bei mir bei Anwendung der quotienregel (mit tanx=sinx/cosx) nichts rauß...und es bleibt eine ziemlich große gleichung übrig.....oder überseh ich da was?
Mit freundlichen Grüßen
|
|
|
| |
|
> Ich danke dir vielmals Adamantin,
>
> die Ableitung dieser Funktion ist mir jedoch nicht ganz
> geheur.
>
> Ich schreibe mal die funktion so auf exp(y) mit
> y = [mm]arctan(x^3)[/mm]
>
> die funktion y ist die umkehrfunktion von x=(tan(y))^(1/3)
>
> die Ableitung einer umkehrfunktion ist wie folgt
> definiert:
>
> (f^-1)´(x) =1/f´(f^-1(x))....es happert aber bei mir
> schon bei der ableitung von x....Normalerweise ist die
> ableitung von tangens [mm]1/(cos^2(x))....mich[/mm] stört die
> dritte wurzel bei x.....weil dann kürzt sich bei mir bei
> Anwendung der quotienregel (mit tanx=sinx/cosx) nichts
> rauß...und es bleibt eine ziemlich große gleichung
> übrig.....oder überseh ich da was?
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
Du kannst es über die Umkehrfunktion machen, aber das brauchst du hier nicht.
Eine Formelsammlung sagt dir:
[mm] $(arctan(x))'=\bruch{1}{1+x^2}$
[/mm]
Damit kannst du nach Kettenregel, oder falls dir das lieber ist, durch erstmalige Substitution von [mm] x^3=u [/mm] folgende Ableitung finden:
[mm] $e^{arctan(x^3)}'=e^{arctan(x^3)}*\bruch{1}{1+x^6}*3x^2$
[/mm]
Zur kontrolle kannst du integrieren:
![[]](/images/popup.gif) Wolframs Integratir
Nachtrag zu deiner Methode: [mm] \bruch{1}{cos^2(x)} [/mm] ist zwar korrekt, kann aber noch weiter umgeformt werden zu [mm] 1+tan^2(x). [/mm] Damit kannst du dann deine Umkehrfunktion einfach einsetzen ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 Di 14.06.2011 | | Autor: | Mbstudent |
Alles klärchen,
danke dir vielmals. Habe die Aufgabe gelöst :)
|
|
|
|
