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| Aufgabe | [mm]f(x) = ax^4 + bx^2 + c[/mm]
Der Graph von f berührt bei [mm]x = \pm2[/mm] die Abzissenachse und schließt mit der Abzissenachse eine Fläche der Maßzahl [mm]34,1\bar{3}[/mm] ein.
Wie lautet die Funktionsgleichung? |
Ich komme hier einfach nicht zur richtigen Lösung.
Das der Graph bei +2 und -2 die Abzissenachse berührt und damit die gegebene Maßzahl einschließt interpretiere ich mal als "die Integrationsgrenzen lauten -2 und +2".
Ist das korrekt?
Dann habe ich die Stammfunktion gebildet:
[mm]F(x) = \bruch{1}{5}ax^5 + \bruch{1}{3}bx^3 + cx[/mm]
Damit komme ich auf folgende Rechnung:
[mm]\integral_{-2}^{2}{f(x) dx} = [\bruch{1}{5}ax^5 + \bruch{1}{3}bx^3 + cx][/mm]
[mm]6,4a + 2\bruch{2}{3}b + 2c - (-6,4 - 2\bruch{2}{3}b - 2c) = 34,1\bar{3}[/mm]
[mm]12,8a + 5\bruch{1}{3}b + 4c = 34,1\bar{3}[/mm]
Wie geht es jetzt weiter? Kann daraus schon direkt schließen, dass die Funktionsgleichung so lauten muss?
[mm]f(x) = 12,8x^4 + 5\bruch{1}{3}x^2 + 4[/mm]
Wohl kaum, oder?
Aber was muss ich dann noch tun? Oder bin ich komplett auf der falschen Spur?
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 So 18.12.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> [mm]f(x) = ax^4 + bx^2 + c[/mm]
>
> Der Graph von f berührt bei [mm]x = \pm2[/mm] die Abzissenachse und
> schließt mit der Abzissenachse eine Fläche der Maßzahl
> [mm]34,1\bar{3}[/mm] ein.
>
> Wie lautet die Funktionsgleichung?
>
> Ich komme hier einfach nicht zur richtigen Lösung.
>
> Das der Graph bei +2 und -2 die Abzissenachse berührt und
> damit die gegebene Maßzahl einschließt interpretiere ich
> mal als "die Integrationsgrenzen lauten -2 und +2".
> Ist das korrekt?
ja.
>
> Dann habe ich die Stammfunktion gebildet:
> [mm]F(x) = \bruch{1}{5}ax^5 + \bruch{1}{3}bx^3 + cx[/mm]
>
> Damit komme ich auf folgende Rechnung:
> [mm]\integral_{-2}^{2}{f(x) dx} = [\bruch{1}{5}ax^5 + \bruch{1}{3}bx^3 + cx][/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]6,4a + 2\bruch{2}{3}b + 2c - (-6,4 - 2\bruch{2}{3}b - 2c) = 34,1\bar{3}[/mm]
Falls Du [mm] $2\bruch{2}{3}$ [/mm] einen gemischten Bruch meinst, stimmt das. Ich kann Dir aber nur empfehlen, auf diese Darstellung zu verzichten, da das leicht mit [mm] $2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$ [/mm] verwechselt werden kann.
Mir persönlich gefällt die Darstellung durch unechte Brüche am besten, also so:
[mm] $\frac{32}{5}a+\frac{8}{3}b+2c+...$
[/mm]
>
> [mm]12,8a + 5\bruch{1}{3}b + 4c = 34,1\bar{3}[/mm]
>
> Wie geht es jetzt weiter? Kann daraus schon direkt
> schließen, dass die Funktionsgleichung so lauten muss?
> [mm]f(x) = 12,8x^4 + 5\bruch{1}{3}x^2 + 4[/mm]
>
> Wohl kaum, oder?
Nein.
> Aber was muss ich dann noch tun? Oder bin ich komplett auf
> der falschen Spur?
Du musst drei Parameter a,b und c bestimmen. Dazu brauchst Du auch drei Gleichungen. Bist jetzt hast Du eine. Du hast aber noch mehr Informationen über die Funktion gegeben, daraus lassen sich weitere Gleichungen ableiten. Versuch mal, was mit den Berührpunkten anzufangen.
>
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann.
>
>
Gruß,
notinX
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Hallo notinX,
danke für Deine Hilfe.
> Falls Du [mm]2\bruch{2}{3}[/mm] einen gemischten Bruch meinst,
> stimmt das. Ich kann Dir aber nur empfehlen, auf diese
> Darstellung zu verzichten, da das leicht mit
> [mm]2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}[/mm] verwechselt werden kann.
> Mir persönlich gefällt die Darstellung durch unechte
> Brüche am besten, also so:
> [mm]\frac{32}{5}a+\frac{8}{3}b+2c+...[/mm]
>
Ja, den mein ich. Danke für den Tipp — ich denke, die Darstellung als unechter Bruch ist tatsächlich besser. Ich hab bisher nur immer den gemischten Bruch verwendet, weil mein Taschenrechner den ausspuckt. 
> Du musst drei Parameter a,b und c bestimmen. Dazu brauchst
> Du auch drei Gleichungen. Bist jetzt hast Du eine. Du hast
> aber noch mehr Informationen über die Funktion gegeben,
> daraus lassen sich weitere Gleichungen ableiten. Versuch
> mal, was mit den Berührpunkten anzufangen.
Okay. Aus der Aufgabenstellung schließe ich das Folgendes zutreffen muss:
f(2) = 0 und f(-2) = 0
Daraus folgen zwei Gleichungen, welche sich jedoch gleichen (da — in diesem Fall auf die Exponenten bezogen — minus mal minus plus ergibt):
16a + 4b + c = 0
Nun habe ich also drei Gleichungen, von denen allerdings nur zwei unterschiedlich sind:
[mm]12,8a + \bruch{16}{3}b + 4c = 34,1\bar{3}[/mm]
16a + 4b + c = 0
16a + 4b + c = 0
Ich hatte dann die Idee, hier das Gaußsche Eliminationsverfahren anzuwenden und somit a, b und c zu erhalten.
Wäre das der richtige Lösungsweg?
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Hallo, du hast doch noch die Information, die x-Achse wird berührt, an den Stellen -2 und 2 liegt also eine Extremstelle, [mm] f'(\pm2)=0, [/mm] Steffi
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Hallo Steffi,
stimmt, daran habe ich gar nicht gedacht. Dann wird die Sache leichter:
[mm]f'(x) = 2ax + 2a[/mm]
[mm]f'(2) = 6a[/mm]
6a = 0
a = 0
4b + c = 0
c = -4b
[mm]\bruch{16}{3}b + 4*(-4b) = 34,1\bar{3}[/mm]
[mm]- \bruch{32}{3}b = 34,1\bar{3}[/mm]
[mm]b = -3,2[/mm]
[mm]c = -4 * (-3,2)[/mm]
[mm]c = 12,8[/mm]
Das heißt:
a = 0
b = -3,2
c = 12,8
[mm]f(x) = 10,24x^2 + 12,8[/mm]
Passt das?
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Hallo, leider stimmen deine Ergebnisse nicht, deine Funktion lautet doch
[mm] f(x)=ax^{4}+bx^{2}+c
[/mm]
[mm] f'(x)=4ax^{3}+2bx
[/mm]
jetzt sind drei Gleichungen aufzustellen:
aus f(2)=0 folgt
(1) 16a+4b+c=0
aus f'(2)=0 folgt
(2) 32a+4b=0
schon bekannt
(3) [mm] \bruch{64}{5}a+\bruch{16}{3}b+4c=\bruch{1024}{30}
[/mm]
in Gleichung (3) ist es sehr ratsam, den unendlichen Dezimalbruch als [mm] \bruch{1024}{30} [/mm] zu schreiben
Steffi
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Stimmt natürlich — ich bin da in der Aufgabe verrutscht.
Ich bin damit zu folgenden Ergebnissen gekommen:
a = [mm]\bruch{2}{7}[/mm]
b = [mm]-\bruch{16}{7}[/mm]
c = [mm]\bruch{32}{7}[/mm]
[mm]f(x) = \bruch{2}{7}x^4 - \bruch{16}{7}x^2 + \bruch{32}{7}[/mm]
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Hallo, leider hast du dich erneut verrechnet, aus Gleichung (2) folgt
b=-8a
einsetzen in Gleichung (1)
16a-32a+c=0
c=16a
jetzt b=-8a und c=16a in (3) einsetzen
[mm] \bruch{64}{5}a+\bruch{16}{3}*(-8a)+4*16a=\bruch{1024}{30}
[/mm]
jetzt nach a auflösen
Steffi
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Hallo Steffi,
da hat mir ein Vorzeichenfehler ein Strich durch die Rechnung gemacht.
Nach Korrektur komme ich nun zu folgenden Ergebnissen:
a = [mm]\bruch{2}{7}[/mm]
b = -8
c = 16
[mm]f(x) = \bruch{2}{7}x^4-8x^2+16[/mm]
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Hallo Apfelchips,
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> Hallo Steffi,
>
> da hat mir ein Vorzeichenfehler ein Strich durch die
> Rechnung gemacht.
> Nach Korrektur komme ich nun zu folgenden Ergebnissen:
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> a = [mm]\bruch{2}{7}[/mm]
> b = -8
> c = 16
>
> [mm]f(x) = \bruch{2}{7}x^4-8x^2+16[/mm]
>
Der Koeffizient vor [mm]x^{4}[/mm] stimmt nicht.
Gruss
MathePower
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Stimmt. Der Koffizient ist 1:
[mm]f(x) = x^4-8x^2+16[/mm]
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Hallo Apfelchips,
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> Stimmt. Der Koffizient ist 1:
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> [mm]f(x) = x^4-8x^2+16[/mm]
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Gruss
MathePower
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