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| Aufgabe | 1) Gegeben ist die Funktionsschar ft(x)= [mm] -\bruch{2x}{t}*e^{t-x}.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass der Graph von ft für alle t>0 genau einen Tiefpunkt und einen Wendepunkt besitzt und bestimmen sie die Koordinaten in Abhängigkeit von t
b) Auf welcher Geraden liegen alle Wendepunkte?
c) Bestimmen sie eine Stammfunktion Ft von ft.
d) Der Graph mit der Funktion ft schließt mit der x-Achse im Intervall (0;+∞) eine nach rechts unbegrenzte Fläche ein. Geben Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von t an. |
Hallo :)
Also ich habe Schwierigkeiten die Ausgangsfunktion "richtig" abzuleiten.
Ich weiß, dass ich bei 1a) die Produktregel (f(x)= u´*v+u*v´) anwenden muss. Aber ich kann leider Brüche, wo oben ein x und unten noch ein Parameter ist schwer ableiten. Normalerweise forme ich die Brüche um und leite diese dann ab (Bsp. [mm] \bruch{1}{x^3} [/mm] = x^(-3).
Die 1.Ableitung von e^(t-x) lautet: -1e^(t-x)
Kann mir jemand bitte [mm] -\bruch{2x}{t} [/mm] so umformen, dass ich es ableiten kann. Wenn mir jemand die Ableitung ganz nennen würde, wäre es noch besser :)
b) Hier muss man die Ortskurve bestimmen!
c) Wenn ich [mm] -\bruch{2x}{t} [/mm] "aufleiten" möchte,dann muss ich, wenn ich richtig liege, den natürlichen Logarithmus (ln) benutzen. Leider weiß ich nicht wie man das "aufleiten" kann. Bei dem e-Teil kann ich es.
d) lim [mm] \integral_{0}^{a}{ -\bruch{2x}{t}\cdot{}e^{t-x} dx}
[/mm]
x>∞ (Die Stammfunktion bilden, und die beiden Grenzen in diese einsetzen. Für a wählt man große Werte, sprich man bestimmt den Grenzwert oder wie sieht ihr das?
Danke im voraus :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 So 16.03.2014 | | Autor: | abakus |
> 1) Gegeben ist die Funktionsschar ft(x)=
> [mm]-\bruch{2x}{t}*e^{t-x}.[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass der Graph von ft für alle t>0 genau
> einen Tiefpunkt und einen Wendepunkt besitzt und bestimmen
> sie die Koordinaten in Abhängigkeit von t
>
> b) Auf welcher Geraden liegen alle Wendepunkte?
>
> c) Bestimmen sie eine Stammfunktion Ft von ft.
>
> d) Der Graph mit der Funktion ft schließt mit der x-Achse
> im Intervall (0;+∞) eine nach rechts unbegrenzte Fläche
> ein. Geben Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit
> von t an.
> Hallo :)
>
> Also ich habe Schwierigkeiten die Ausgangsfunktion
> "richtig" abzuleiten.
> Ich weiß, dass ich bei 1a) die Produktregel (f(x)=
> u´*v+u*v´) anwenden muss. Aber ich kann leider Brüche,
> wo oben ein x und unten noch ein Parameter ist schwer
> ableiten. Normalerweise forme ich die Brüche um und leite
> diese dann ab (Bsp. [mm]\bruch{1}{x^3}[/mm] = x^(-3).
>
> Die 1.Ableitung von e^(t-x) lautet: -1e^(t-x)
>
> Kann mir jemand bitte [mm]-\bruch{2x}{t}[/mm] so umformen, dass ich
> es ableiten kann.
Ja. [mm]-\bruch{2x}{t}=-\bruch{2}{t}*x[/mm] (und [mm]-\bruch{2}{t}[/mm] ist ein konstanter Faktor).
> Wenn mir jemand die Ableitung ganz nennen würde, wäre es noch besser :)
>
Dagegen stehen die Regeln unseres Forums.
> b) Hier muss man die Ortskurve bestimmen!
"MUSS" ist maßlos übertrieben.
Die Aufgabe sagt ja bereits, dass die Ortskurve existiert und eine Gerade ist. Es würde auch funktionieren, einfach für zwei verschiedene Funktionen der Schar die WP zu bestimmen und dann die Gleichung einer Geraden durch diese beiden Punkte aufzustellen.
>
> c) Wenn ich [mm]-\bruch{2x}{t}[/mm] "aufleiten" möchte,dann muss
> ich, wenn ich richtig liege, den natürlichen Logarithmus
> (ln) benutzen. Leider weiß ich nicht wie man das
> "aufleiten" kann. Bei dem e-Teil kann ich es.
Das ist doppelter Unfug.
1) "Aufleiten" gibt es nicht (nur Lehrkräfte einiger vorwiegend süddeutscher Bundesländer, die dieses Unwort in den Unterricht bringen.)
2) den natürlichen Logarithmus benötigst du keinesfalls, höchsten die partielle Integration.
>
> d) lim [mm]\integral_{0}^{a}{ -\bruch{2x}{t}\cdot{}e^{t-x} dx}[/mm]
>
> x>∞ (Die Stammfunktion bilden, und die beiden
> Grenzen in diese einsetzen. Für a wählt man große Werte,
> sprich man bestimmt den Grenzwert oder wie sieht ihr das?
Du bildest einfach einen Grenzwert des Integrals für a gegen unendlich.
Gruß Abakus
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> Danke im voraus :D
>
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1a)
Zeigen Sie, dass der Graph von ft für alle t>0 genau
> einen Tiefpunkt und einen Wendepunkt besitzt und bestimmen
> sie die Koordinaten in Abhängigkeit von t
ft(x)= [mm] -\bruch{2x}{t}\cdot{}e^{t-x} [/mm]
[mm] -\bruch{2x}{t} [/mm] Umformung: [mm] -\bruch{2}{t}x
[/mm]
1.Ableitung: f´t(x)= [mm] -\bruch{2}{t}*e^{t-x}+(-\bruch{2}{t}x)*e^{t-x}*(-1)
[/mm]
Vereinfacht: [mm] f't(x)=e^{t-x}*(-\bruch{2}{t}+\bruch{2}{t}x)
[/mm]
2.Ableitung: f´´t(x)= [mm] e^{t-x}*(-1)*(-\bruch{2}{t}+\bruch{2}{t}x)+e^{t-x}*\bruch{2}{t}
[/mm]
[mm] f''t(x)=e^{t-x}*(\bruch{2}{t}-\bruch{2}{t}x)+e^{t-x}*\bruch{2}{t}
[/mm]
[mm] f''t(x)=e^{t-x}*(\bruch{2}{t}-\bruch{2}{t}x+\bruch{2}{t}
[/mm]
Zusammengefasst: [mm] f''t(x)=e^{t-x}*(\bruch{4}{t}-\bruch{2}{t}x)
[/mm]
1.Notwendige Bedingung
[mm] f't(x)=e^{t-x}*(-\bruch{2}{t}+\bruch{2}{t}x) [/mm] f´t(x)=0
[mm] e^{t-x}*(-\bruch{2}{t}+\bruch{2}{t}x)=0 [/mm] e^(t-x) ungleich Null
[mm] -\bruch{2}{t}+\bruch{2}{t}x=0 [/mm] (+ [mm] \bruch{2}{t})
[/mm]
[mm] \bruch{2}{t}x=\bruch{2}{t} [/mm] (geteilt durch [mm] \bruch{2}{t})
[/mm]
x=1 ? oder 1t?
2.Hinreichende Bedingung
[mm] f''t(x)=e^{t-x}*(\bruch{4}{t}-\bruch{2}{t}x)
[/mm]
[mm] f´´t(1)=e^{t-1}*(\bruch{4}{t}-\bruch{2}{t}*1)
[/mm]
[mm] f´´t(1)=e^{t-1}*\bruch{2}{t} [/mm] >0 Tiefpunkt liegt vor
3.y-Koordinate bestimmen
ft(x)= [mm] -\bruch{2x}{t}\cdot{}e^{t-x} [/mm]
ft(1)= [mm] -\bruch{2*1}{t}\cdot{}e^{t-1} [/mm]
[mm] TP(1/-\bruch{2*1}{t}\cdot{}e^{t-1} [/mm] )
Ist das richtig?
Wendepunkt
1:Notwendige Bed.
[mm] f''t(x)=e^{t-x}*(\bruch{4}{t}-\bruch{2}{t}x) [/mm] f´´t(x)=0
[mm] e^{t-x}*(\bruch{4}{t}-\bruch{2}{t}x) [/mm] e^(t-x) ungleich Null
[mm] \bruch{4}{t}-\bruch{2}{t}x=0 [/mm] ( - [mm] \bruch{4}{t} [/mm] )
[mm] -\bruch{2}{t}x=- \bruch{4}{t} [/mm] ( geteilt durch [mm] -\bruch{2}{t} [/mm] )
x=2 oder [mm] \bruch{2}{t} [/mm] Was ist richtig oder Ist es überhaupt richtig?
Hinreichende Bed.
f´´´t(x)= [mm] e^{t-x}*(-1)*(\bruch{4}{t}-\bruch{2}{t}x)+e^{t-x}*(-\bruch{2}{t})
[/mm]
[mm] f'''t(x)=e^{t-x}*(-\bruch{4}{t}+\bruch{2}{t}x)+e^{t-x}*(-\bruch{2}{t})
[/mm]
f´´´t(x)= [mm] e^{t-x}*(-\bruch{6}{t}+\bruch{2}{t}x)
[/mm]
f´´´t(2)= [mm] e^{t-2}*(-\bruch{6}{t}+\bruch{2}{t}*2)
[/mm]
f´´´(2)= [mm] e^{t-2}*(-\bruch{6}{t}+\bruch{4}{t})
[/mm]
[mm] f´´´(2)=e^{t-2}*(-\bruch{2}{t}) [/mm] ungleich Null (WP liegt vor)
3.y-Koordinate bestimmen
[mm] f(2)=-\bruch{2*2}{t}\cdot{}e^{t-2} [/mm]
WP [mm] (2/-\bruch{4}{t}\cdot{}e^{t-2} [/mm] )
Viel Spaß beim Korrigieren :D
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 So 16.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich sehe keinen Fehler, aber die Sache wäre direkt klar, wenn du
[mm] f_t(x=2e^t/t* (-x*e^{-x} [/mm] geschrieben hättest. dann [mm] A(t)=2e^t/t, f_1x)=-x*e^{-x}
[/mm]
und mt [mm] f_t(x)=A(t)*f_1(x)
[/mm]
ist direkt klar, dass A(t) die fkt [mm] f_1 [/mm] nur streckt, die Stellen f'=0 , f''=0 dieselben sind, wie die von [mm] f_1. [/mm] Damit spart man viel zumindest Schreibarbeit und nur für die y-Koordinaten der Punkte muss man dann A(t) einsetzen
Der Spaß lag in Grenzen !
Gruß leduart
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Dankeschön für die Korrektur :)
1c.) Bestimmen sie eine Stammfunktion Ft von ft.
ft(x)= [mm] -\bruch{2}{t}x [/mm] *e^(t-x)
Hier kann man die partielle Integration benutzen ( Der Tipp stammt von "abakus" Danke an dieser Stelle)
Mein Ansatz:
[mm] v=-\bruch{2}{t}x [/mm]
[mm] v'=-\bruch{2}{t}
[/mm]
u'= [mm] e^{t-x}
[/mm]
[mm] u=-e^{t-x}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{-\bruch{2}{t}x * e^{t-x }dx} [/mm] = [mm] [-e^{t-x}*(-\bruch{2}{t}x [/mm] )] - [mm] \integral_{}^{}{-e^{t-x}*(-\bruch{2}{t}) } [/mm] dx
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{t}e^{t-x} } [/mm] dx = [mm] [-\bruch{2}{t}e^{t-x}] [/mm]
Ft(x)= [mm] [-e^{t-x}\cdot{}(-\bruch{2}{t}x [/mm] )] - [mm] [-\bruch{2}{t}e^{t-x}] [/mm] +C
(C=1,2,3,4 etc)
Stimmt das?
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Hallo DarkMaster25,
> Dankeschön für die Korrektur :)
>
> 1c.) Bestimmen sie eine Stammfunktion Ft von ft.
>
> ft(x)= [mm]-\bruch{2}{t}x[/mm] *e^(t-x)
>
> Hier kann man die partielle Integration benutzen ( Der Tipp
> stammt von "abakus" Danke an dieser Stelle)
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]v=-\bruch{2}{t}x[/mm]
>
> [mm]v'=-\bruch{2}{t}[/mm]
>
> u'= [mm]e^{t-x}[/mm]
>
> [mm]u=-e^{t-x}[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{-\bruch{2}{t}x * e^{t-x }dx}[/mm] =
> [mm][-e^{t-x}*(-\bruch{2}{t}x[/mm] )] -
> [mm]\integral_{}^{}{-e^{t-x}*(-\bruch{2}{t}) }[/mm] dx
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{t}e^{t-x} }[/mm] dx =
> [mm][-\bruch{2}{t}e^{t-x}][/mm]
>
> Ft(x)= [mm][-e^{t-x}\cdot{}(-\bruch{2}{t}x[/mm] )] -
> [mm][-\bruch{2}{t}e^{t-x}][/mm] +C
> (C=1,2,3,4 etc)
>
> Stimmt das?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Vielen Dank Mathepower :D
> > Ft(x)= [mm][-e^{t-x}\cdot{}(-\bruch{2}{t}x[/mm] )] -
> > [mm][-\bruch{2}{t}e^{t-x}][/mm] +C
Wenn man das vereinfacht komme ich auf folgende Stammfunktion:
Ft(x)= [mm] [e^{t-x}*(\bruch{2}{t}x+\bruch{2}{t}) [/mm] +C]
1d) Der Graph mit der Funktion ft schließt mit der x-Achse im Intervall (0;+∞) eine nach rechts unbegrenzte Fläche ein. Geben Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von t an.
[mm] \integral_{0}^{b}{-\bruch{2x}{t}\cdot{}e^{t-x}) dx} [/mm] = [mm] [e^{t-x}*(\bruch{2}{t}x+\bruch{2}{t}) [/mm] +C]
Muss ich für x jetzt unendliche groß Werte einsetzen oder wie gehe ich am besten vor?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 So 16.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank Mathepower :D
>
> > > Ft(x)= [mm][-e^{t-x}\cdot{}(-\bruch{2}{t}x[/mm] )] -
> > > [mm][-\bruch{2}{t}e^{t-x}][/mm] +C
> Wenn man das vereinfacht komme ich auf folgende
> Stammfunktion:
>
> Ft(x)= [mm][e^{t-x}*(\bruch{2}{t}x+\bruch{2}{t})[/mm] +C]
>
> 1d) Der Graph mit der Funktion ft schließt mit der x-Achse
> im Intervall (0;+∞) eine nach rechts unbegrenzte Fläche
> ein. Geben Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit
> von t an.
>
> [mm]\integral_{0}^{b}{-\bruch{2x}{t}\cdot{}e^{t-x}) dx}[/mm] =
> [mm][e^{t-x}*(\bruch{2}{t}x+\bruch{2}{t})[/mm] +C]
>
> Muss ich für x jetzt unendliche groß Werte einsetzen
Nochmals: Nein!
Du musst b einsetzen und du musst 0 einsetzen und damit den Term F(b)-F(0) bilden.
Und dann bildest du von dieser Differenz den Grenzwert für b gegen unendlich.
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1d) Der Graph mit der Funktion ft schließt mit der x-Achse im Intervall (0;+∞) eine nach rechts unbegrenzte Fläche ein. Geben Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von t an.
Rechnung:
$ [mm] \integral_{0}^{b}{-\bruch{2x}{t}\cdot{}e^{t-x}) dx} [/mm] $ = $ [mm] [e^{t-x}\cdot{}(\bruch{2}{t}x+\bruch{2}{t}) [/mm] $ +C]
= [mm] [e^{t-b}\cdot{}(\bruch{2}{t}*b+\bruch{2}{t})+C] [/mm] - [mm] [e^{t-0}\cdot{}(\bruch{2}{t}*0+\bruch{2}{t})+C]
[/mm]
[mm] =[e^{t-b}\cdot{}(\bruch{2}{t}*b+\bruch{2}{t})+C] [/mm] - [mm] [e^{t-0}\cdot{}(\bruch{2}{t})+C]
[/mm]
sorry, ich komme aber nicht weiter :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 So 16.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
nochmal: rechne nicht so kompliziert, sondern mot A(t)*f:1(x)
oder zeihe wenigstens [mm] 2/t*e^t [/mm] aus dem Integral
[mm] \integral_0^{b}{f(x-x*e^{-x} dx}=x*e^{-x}-e^{-x} |_0^b
[/mm]
du hast einen Vorzeichenfehler! (kontrolliere IMMERdurch differenzieren)
bei bestimmten Integralen kein C
Gruß leduart
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