www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Funktionsscharen
Funktionsscharen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Exp- und Log-Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Funktionsscharen: (Nullstellen, Ortskurve)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:43 So 16.03.2014
Autor: DarkMaster25

Aufgabe
1) Gegeben ist die Funktionsschar ft(x)= [mm] -\bruch{2x}{t}*e^{t-x}. [/mm]

a) Zeigen Sie, dass der Graph von ft für alle t>0 genau einen Tiefpunkt und einen Wendepunkt besitzt und bestimmen sie die Koordinaten in Abhängigkeit von t

b) Auf welcher Geraden liegen alle Wendepunkte?

c) Bestimmen sie eine Stammfunktion Ft von ft.

d) Der Graph mit der Funktion ft schließt mit der x-Achse im Intervall (0;+∞) eine nach rechts unbegrenzte Fläche ein. Geben Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von t an.

Hallo :)

Also ich habe Schwierigkeiten die Ausgangsfunktion "richtig" abzuleiten.
Ich weiß, dass ich bei 1a) die Produktregel (f(x)= u´*v+u*v´) anwenden muss. Aber ich kann leider Brüche, wo oben ein x und unten noch ein Parameter ist schwer ableiten. Normalerweise forme ich die Brüche um und leite diese dann ab (Bsp. [mm] \bruch{1}{x^3} [/mm] = x^(-3).

Die 1.Ableitung von e^(t-x) lautet: -1e^(t-x)

Kann mir jemand bitte [mm] -\bruch{2x}{t} [/mm] so umformen, dass ich es ableiten kann. Wenn mir jemand die Ableitung ganz nennen würde, wäre es noch besser :)

b) Hier muss man die Ortskurve bestimmen!

c) Wenn ich [mm] -\bruch{2x}{t} [/mm] "aufleiten" möchte,dann muss ich, wenn ich richtig liege, den natürlichen Logarithmus (ln) benutzen. Leider weiß ich nicht wie man das "aufleiten" kann. Bei dem e-Teil kann ich es.

d)   lim [mm] \integral_{0}^{a}{ -\bruch{2x}{t}\cdot{}e^{t-x} dx} [/mm]
     x>∞  (Die Stammfunktion bilden, und die beiden Grenzen in diese einsetzen. Für a wählt man große Werte, sprich man bestimmt den Grenzwert oder wie sieht ihr das?

Danke im voraus :D




        
Bezug
Funktionsscharen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 So 16.03.2014
Autor: abakus


> 1) Gegeben ist die Funktionsschar ft(x)=
> [mm]-\bruch{2x}{t}*e^{t-x}.[/mm]

>

> a) Zeigen Sie, dass der Graph von ft für alle t>0 genau
> einen Tiefpunkt und einen Wendepunkt besitzt und bestimmen
> sie die Koordinaten in Abhängigkeit von t

>

> b) Auf welcher Geraden liegen alle Wendepunkte?

>

> c) Bestimmen sie eine Stammfunktion Ft von ft.

>

> d) Der Graph mit der Funktion ft schließt mit der x-Achse
> im Intervall (0;+∞) eine nach rechts unbegrenzte Fläche
> ein. Geben Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit
> von t an.
> Hallo :)

>

> Also ich habe Schwierigkeiten die Ausgangsfunktion
> "richtig" abzuleiten.
> Ich weiß, dass ich bei 1a) die Produktregel (f(x)=
> u´*v+u*v´) anwenden muss. Aber ich kann leider Brüche,
> wo oben ein x und unten noch ein Parameter ist schwer
> ableiten. Normalerweise forme ich die Brüche um und leite
> diese dann ab (Bsp. [mm]\bruch{1}{x^3}[/mm] = x^(-3).

>

> Die 1.Ableitung von e^(t-x) lautet: -1e^(t-x)

>

> Kann mir jemand bitte [mm]-\bruch{2x}{t}[/mm] so umformen, dass ich
> es ableiten kann.

Ja. [mm]-\bruch{2x}{t}=-\bruch{2}{t}*x[/mm] (und [mm]-\bruch{2}{t}[/mm] ist ein konstanter Faktor).



> Wenn mir jemand die Ableitung ganz nennen würde, wäre es noch besser :)

>
Dagegen stehen die Regeln unseres Forums.

> b) Hier muss man die Ortskurve bestimmen!

"MUSS" ist maßlos übertrieben.
Die Aufgabe sagt ja bereits, dass die Ortskurve existiert und eine Gerade ist. Es würde auch funktionieren, einfach für zwei verschiedene Funktionen der Schar die WP zu bestimmen und dann die Gleichung einer Geraden durch diese beiden Punkte aufzustellen.
>

> c) Wenn ich [mm]-\bruch{2x}{t}[/mm] "aufleiten" möchte,dann muss
> ich, wenn ich richtig liege, den natürlichen Logarithmus
> (ln) benutzen. Leider weiß ich nicht wie man das
> "aufleiten" kann. Bei dem e-Teil kann ich es.

Das ist doppelter Unfug.
1) "Aufleiten" gibt es nicht (nur Lehrkräfte einiger vorwiegend süddeutscher Bundesländer, die dieses Unwort in den Unterricht bringen.)
2) den natürlichen Logarithmus benötigst du keinesfalls, höchsten die partielle Integration.
>

> d) lim [mm]\integral_{0}^{a}{ -\bruch{2x}{t}\cdot{}e^{t-x} dx}[/mm]

>

> x>∞ (Die Stammfunktion bilden, und die beiden
> Grenzen in diese einsetzen. Für a wählt man große Werte,
> sprich man bestimmt den Grenzwert oder wie sieht ihr das?

Du bildest einfach einen Grenzwert des Integrals für a gegen unendlich.
Gruß Abakus
>

> Danke im voraus :D

>
>
>

Bezug
                
Bezug
Funktionsscharen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 So 16.03.2014
Autor: DarkMaster25

1a)
Zeigen Sie, dass der Graph von ft für alle t>0 genau

> einen Tiefpunkt und einen Wendepunkt besitzt und bestimmen
> sie die Koordinaten in Abhängigkeit von t

ft(x)= [mm] -\bruch{2x}{t}\cdot{}e^{t-x} [/mm]

[mm] -\bruch{2x}{t} [/mm] Umformung: [mm] -\bruch{2}{t}x [/mm]

1.Ableitung: f´t(x)= [mm] -\bruch{2}{t}*e^{t-x}+(-\bruch{2}{t}x)*e^{t-x}*(-1) [/mm]

Vereinfacht: [mm] f't(x)=e^{t-x}*(-\bruch{2}{t}+\bruch{2}{t}x) [/mm]

2.Ableitung: f´´t(x)= [mm] e^{t-x}*(-1)*(-\bruch{2}{t}+\bruch{2}{t}x)+e^{t-x}*\bruch{2}{t} [/mm]

[mm] f''t(x)=e^{t-x}*(\bruch{2}{t}-\bruch{2}{t}x)+e^{t-x}*\bruch{2}{t} [/mm]

[mm] f''t(x)=e^{t-x}*(\bruch{2}{t}-\bruch{2}{t}x+\bruch{2}{t} [/mm]

Zusammengefasst: [mm] f''t(x)=e^{t-x}*(\bruch{4}{t}-\bruch{2}{t}x) [/mm]


1.Notwendige Bedingung
[mm] f't(x)=e^{t-x}*(-\bruch{2}{t}+\bruch{2}{t}x) [/mm] f´t(x)=0  

[mm] e^{t-x}*(-\bruch{2}{t}+\bruch{2}{t}x)=0 [/mm]       e^(t-x) ungleich Null
[mm] -\bruch{2}{t}+\bruch{2}{t}x=0 [/mm]  (+ [mm] \bruch{2}{t}) [/mm]

[mm] \bruch{2}{t}x=\bruch{2}{t} [/mm]        (geteilt durch [mm] \bruch{2}{t}) [/mm]
x=1 ? oder 1t?

2.Hinreichende Bedingung

[mm] f''t(x)=e^{t-x}*(\bruch{4}{t}-\bruch{2}{t}x) [/mm]
[mm] f´´t(1)=e^{t-1}*(\bruch{4}{t}-\bruch{2}{t}*1) [/mm]

[mm] f´´t(1)=e^{t-1}*\bruch{2}{t} [/mm] >0  Tiefpunkt liegt vor

3.y-Koordinate bestimmen
ft(x)= [mm] -\bruch{2x}{t}\cdot{}e^{t-x} [/mm]

ft(1)= [mm] -\bruch{2*1}{t}\cdot{}e^{t-1} [/mm]      

[mm] TP(1/-\bruch{2*1}{t}\cdot{}e^{t-1} [/mm] )

Ist das richtig?

Wendepunkt

1:Notwendige Bed.
[mm] f''t(x)=e^{t-x}*(\bruch{4}{t}-\bruch{2}{t}x) [/mm]  f´´t(x)=0

[mm] e^{t-x}*(\bruch{4}{t}-\bruch{2}{t}x) [/mm]   e^(t-x) ungleich Null

[mm] \bruch{4}{t}-\bruch{2}{t}x=0 [/mm]  ( - [mm] \bruch{4}{t} [/mm] )

[mm] -\bruch{2}{t}x=- \bruch{4}{t} [/mm]  ( geteilt durch [mm] -\bruch{2}{t} [/mm] )

x=2 oder [mm] \bruch{2}{t} [/mm]  Was ist richtig oder Ist es überhaupt richtig?

Hinreichende Bed.

f´´´t(x)= [mm] e^{t-x}*(-1)*(\bruch{4}{t}-\bruch{2}{t}x)+e^{t-x}*(-\bruch{2}{t}) [/mm]

[mm] f'''t(x)=e^{t-x}*(-\bruch{4}{t}+\bruch{2}{t}x)+e^{t-x}*(-\bruch{2}{t}) [/mm]

f´´´t(x)= [mm] e^{t-x}*(-\bruch{6}{t}+\bruch{2}{t}x) [/mm]

f´´´t(2)= [mm] e^{t-2}*(-\bruch{6}{t}+\bruch{2}{t}*2) [/mm]

f´´´(2)= [mm] e^{t-2}*(-\bruch{6}{t}+\bruch{4}{t}) [/mm]

[mm] f´´´(2)=e^{t-2}*(-\bruch{2}{t}) [/mm] ungleich Null (WP liegt vor)

3.y-Koordinate bestimmen

[mm] f(2)=-\bruch{2*2}{t}\cdot{}e^{t-2} [/mm]

WP [mm] (2/-\bruch{4}{t}\cdot{}e^{t-2} [/mm] )

Viel Spaß beim Korrigieren :D


Bezug
                        
Bezug
Funktionsscharen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 So 16.03.2014
Autor: leduart

Hallo
ich sehe keinen Fehler, aber die Sache wäre direkt klar, wenn du
[mm] f_t(x=2e^t/t* (-x*e^{-x} [/mm] geschrieben hättest. dann [mm] A(t)=2e^t/t, f_1x)=-x*e^{-x} [/mm]
und mt [mm] f_t(x)=A(t)*f_1(x) [/mm]
ist direkt klar, dass A(t) die fkt [mm] f_1 [/mm] nur streckt, die Stellen f'=0 , f''=0 dieselben sind, wie die von [mm] f_1. [/mm] Damit spart man viel zumindest Schreibarbeit und nur für die  y-Koordinaten der Punkte muss man dann A(t) einsetzen
Der Spaß lag in Grenzen !
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Funktionsscharen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 So 16.03.2014
Autor: DarkMaster25

Dankeschön für die Korrektur :)

1c.) Bestimmen sie eine Stammfunktion Ft von ft.

ft(x)= [mm] -\bruch{2}{t}x [/mm] *e^(t-x)

Hier kann man die partielle Integration benutzen ( Der Tipp stammt von "abakus" Danke an dieser Stelle)

Mein Ansatz:

[mm] v=-\bruch{2}{t}x [/mm]          

[mm] v'=-\bruch{2}{t} [/mm]

u'= [mm] e^{t-x} [/mm]

[mm] u=-e^{t-x} [/mm]


[mm] \integral_{}^{}{-\bruch{2}{t}x * e^{t-x }dx} [/mm] = [mm] [-e^{t-x}*(-\bruch{2}{t}x [/mm] )] - [mm] \integral_{}^{}{-e^{t-x}*(-\bruch{2}{t}) } [/mm] dx


[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{t}e^{t-x} } [/mm] dx = [mm] [-\bruch{2}{t}e^{t-x}] [/mm]

Ft(x)= [mm] [-e^{t-x}\cdot{}(-\bruch{2}{t}x [/mm]  )] -  [mm] [-\bruch{2}{t}e^{t-x}] [/mm] +C
(C=1,2,3,4 etc)

Stimmt das?

Bezug
                                        
Bezug
Funktionsscharen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 So 16.03.2014
Autor: MathePower

Hallo DarkMaster25,



> Dankeschön für die Korrektur :)
>  
> 1c.) Bestimmen sie eine Stammfunktion Ft von ft.
>  
> ft(x)= [mm]-\bruch{2}{t}x[/mm] *e^(t-x)
>  
> Hier kann man die partielle Integration benutzen ( Der Tipp
> stammt von "abakus" Danke an dieser Stelle)
>  
> Mein Ansatz:
>  
> [mm]v=-\bruch{2}{t}x[/mm]          
>
> [mm]v'=-\bruch{2}{t}[/mm]
>  
> u'= [mm]e^{t-x}[/mm]
>  
> [mm]u=-e^{t-x}[/mm]
>  
>
> [mm]\integral_{}^{}{-\bruch{2}{t}x * e^{t-x }dx}[/mm] =
> [mm][-e^{t-x}*(-\bruch{2}{t}x[/mm] )] -
> [mm]\integral_{}^{}{-e^{t-x}*(-\bruch{2}{t}) }[/mm] dx
>  
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{t}e^{t-x} }[/mm] dx =
> [mm][-\bruch{2}{t}e^{t-x}][/mm]
>
> Ft(x)= [mm][-e^{t-x}\cdot{}(-\bruch{2}{t}x[/mm]  )] -  
> [mm][-\bruch{2}{t}e^{t-x}][/mm] +C
> (C=1,2,3,4 etc)
>  
> Stimmt das?


Ja. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Funktionsscharen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 So 16.03.2014
Autor: DarkMaster25

Vielen Dank Mathepower :D

> > Ft(x)= [mm][-e^{t-x}\cdot{}(-\bruch{2}{t}x[/mm]  )] -  
> > [mm][-\bruch{2}{t}e^{t-x}][/mm] +C

Wenn man das vereinfacht komme ich auf folgende Stammfunktion:

Ft(x)= [mm] [e^{t-x}*(\bruch{2}{t}x+\bruch{2}{t}) [/mm] +C]

1d) Der Graph mit der Funktion ft schließt mit der x-Achse im Intervall (0;+∞) eine nach rechts unbegrenzte Fläche ein. Geben Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von t an.

[mm] \integral_{0}^{b}{-\bruch{2x}{t}\cdot{}e^{t-x}) dx} [/mm] = [mm] [e^{t-x}*(\bruch{2}{t}x+\bruch{2}{t}) [/mm] +C]

Muss ich für x jetzt unendliche groß Werte einsetzen oder wie gehe ich am besten vor?

Bezug
                                                        
Bezug
Funktionsscharen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 So 16.03.2014
Autor: abakus


> Vielen Dank Mathepower :D

>

> > > Ft(x)= [mm][-e^{t-x}\cdot{}(-\bruch{2}{t}x[/mm] )] -
> > > [mm][-\bruch{2}{t}e^{t-x}][/mm] +C
> Wenn man das vereinfacht komme ich auf folgende
> Stammfunktion:

>

> Ft(x)= [mm][e^{t-x}*(\bruch{2}{t}x+\bruch{2}{t})[/mm] +C]

>

> 1d) Der Graph mit der Funktion ft schließt mit der x-Achse
> im Intervall (0;+∞) eine nach rechts unbegrenzte Fläche
> ein. Geben Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit
> von t an.

>

> [mm]\integral_{0}^{b}{-\bruch{2x}{t}\cdot{}e^{t-x}) dx}[/mm] =
> [mm][e^{t-x}*(\bruch{2}{t}x+\bruch{2}{t})[/mm] +C]

>

> Muss ich für x jetzt unendliche groß Werte einsetzen 

Nochmals: Nein!
Du musst b einsetzen und du musst 0 einsetzen und damit den Term F(b)-F(0) bilden.
Und dann bildest du von dieser Differenz den Grenzwert für b gegen unendlich.

Bezug
                                                                
Bezug
Funktionsscharen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 So 16.03.2014
Autor: DarkMaster25

1d) Der Graph mit der Funktion ft schließt mit der x-Achse im Intervall (0;+∞) eine nach rechts unbegrenzte Fläche ein. Geben Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von t an.

Rechnung:

$ [mm] \integral_{0}^{b}{-\bruch{2x}{t}\cdot{}e^{t-x}) dx} [/mm] $ = $ [mm] [e^{t-x}\cdot{}(\bruch{2}{t}x+\bruch{2}{t}) [/mm] $ +C]

= [mm] [e^{t-b}\cdot{}(\bruch{2}{t}*b+\bruch{2}{t})+C] [/mm] - [mm] [e^{t-0}\cdot{}(\bruch{2}{t}*0+\bruch{2}{t})+C] [/mm]

[mm] =[e^{t-b}\cdot{}(\bruch{2}{t}*b+\bruch{2}{t})+C] [/mm] - [mm] [e^{t-0}\cdot{}(\bruch{2}{t})+C] [/mm]

sorry, ich komme aber nicht weiter :(

Bezug
                                                                        
Bezug
Funktionsscharen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 So 16.03.2014
Autor: leduart

Hallo

nochmal: rechne nicht so kompliziert, sondern mot A(t)*f:1(x)
oder zeihe wenigstens [mm] 2/t*e^t [/mm] aus dem Integral
[mm] \integral_0^{b}{f(x-x*e^{-x} dx}=x*e^{-x}-e^{-x} |_0^b [/mm]
du hast einen Vorzeichenfehler! (kontrolliere IMMERdurch differenzieren)
bei bestimmten Integralen kein C
Gruß leduart


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Exp- und Log-Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de