Funktionsterm bestimmen < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Di 13.09.2005 | | Autor: | Nani |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute.
Könnt ihr mir erklären wie ich Funktionsterme bestimmen kann? Ich komm bei den meisten Aufgaben einfach nicht dahinter und hab keine Ahnung was ich mit dem Text anfangen kann.
Vielleicht könnt ihr mir dies an folgenden 2 Beispielen (es reicht auch eins davon) erklären.
Eine Parabel 3. Gerades geht durch den Nullpunkt des Koordinatensystems. Sie hat in Punkt [mm] P_{1} [/mm] (1/1) ein Maximum und in Punkt [mm] P_{2} (3/y_{2}) [/mm] einen Wendepunkt. Bestimmen Sie den Funktionsterm.
Also Parabel 3.Gerades und Ableitungen sind klar
f(x)= [mm] ax^{3}+ bx^{2}+ [/mm] cx+ d
f'(x)= [mm] 3ax^{2}+ [/mm] 2bx+ c
f''(x)= 6ax+2b
Parabel geht durch den Nullpunkt hieße dann ja f(0)=O damit wäre d=0
dann noch der zweite Punkt wäre f(1)=1 (gilt da das d=0 auch?)
Danach scheitere ich aber auch schon
Die 2. Aufgabe wäre:
Eine Parabel 3. Gerades hat an der Stelle x=-1 eine Nullstelle. Sie schneidet die y-Achse mit der Ordinate 2 und berührt die x-Achse an der Stelle x=3.
(Wie eben haben wir Parabel 3. Gerades und ihre Ableitungen)
Ok, das hieße ja dann, dass f(-1)=0 ist daraus würde ja folgen, dass a+b+c+d=0 ist
Was ist eigentlich eine Ordinate?
Und wie komm ich da weiter?
Ich hoffe ihr könnt damit etwas anfangen.
Danke für eure Hilfe im Voraus.
Nani
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Di 13.09.2005 | | Autor: | Nani |
Vielen dank Loddar
Die Antwort kam ja richtig schnell
Ich glaub ich habs kapiert.
Aber trotzdem wollt ich noch fragen ob mein Ergebnis stimmt
a= 1/7
b= -9/7
c= 8/7
d= 0
Ich hoffe, das ist richtig und hab mich nicht verrechnet.
Vielen Dank nochmal
Nani
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> Vielen dank Loddar
> Die Antwort kam ja richtig schnell
> Ich glaub ich habs kapiert.
> Aber trotzdem wollt ich noch fragen ob mein Ergebnis
> stimmt
> a= 1/7
> b= -9/7
> c= 8/7
> d= 0
> Ich hoffe, das ist richtig und hab mich nicht verrechnet.
> Vielen Dank nochmal
> Nani
Hallo Nani,
du hast alles so weit richtig gemacht, nur bei c ist dir wohl ein kleiner Flüchtigkeitsfehler passiert. Zum Verständnis noch einmal der volle Rechenweg.
0 = d
1 = a + b + c + d
0 = 3a + 2b + c ,
0 = 18a + 2b
d in II einsetzen:
0 = d
1 = a + b + c
0 = 3a + 2b + c
0 = 18a + 2b
III - II:
0 = d
1 = a + b + c
-1 = 2a + b <=> -1 -2a = b
0 = 18a + 2b
III in IV einsetzen:
0 = d
1 = a + b + c
-1 -2a = b
0 = 18a + 2(-1-2a) <=> 0 = 18a - 2 -4a <=> 2 = 14a <=> a = [mm] \bruch{1}{7}
[/mm]
IV in III einsetzen:
0 = d
1 = a + b + c
-1 [mm] -2*\bruch{1}{7} [/mm] = b <=> b = [mm] -\bruch{9}{7}
[/mm]
a = [mm] \bruch{1}{7}
[/mm]
IV und III in II einsetzen:
0 = d
1 = [mm] \bruch{1}{7} [/mm] + [mm] -\bruch{9}{7} [/mm] + c <=> c [mm] =\bruch{15}{7} [/mm] !!!
b = [mm] -\bruch{9}{7}
[/mm]
a = [mm] \bruch{1}{7}
[/mm]
FERTIG:
d = 0
c [mm] =\bruch{15}{7} [/mm] !!!
b = [mm] -\bruch{9}{7}
[/mm]
a = [mm] \bruch{1}{7}
[/mm]
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Di 13.09.2005 | | Autor: | Nani |
Vielen Dank
Deine Rechnung ist wesenlich einfacher als die von meinem Mathelehrer in meiner Schule. Der rechnet immer viele Sachen auf eimal. Ich denke jetzt hab ich die Aufgabe verstanden.
Vielen Dank für deine Mühe
Nani
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Di 13.09.2005 | | Autor: | Nani |
Danke
jetzt weiß ich schonmal was eine Ordinate und eine Abszisse ist. Das wird mir bestimmt auch in anderen Aufgaben hilfreich sein.
Aber trotzdem komme ich nur auf folgendes und damit kann ich noch nicht rechnen.
f(-1)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a+b+c+d=o
f(0)= 2 Was ich damit anfangen soll weiß ich allerdings nicht
f(3)= ?
Was nun?
Danke
Nani
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:37 Di 13.09.2005 | | Autor: | Infinit |
Hallo Nani,
Die Ableitungen der Gleichung 3. Grades hast Du ja schon richtig hingeschrieben. Ich wiederhole sie hier noch mal der Einfachheit halber.
f(x)= [mm] ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
f'(x)= [mm] 3ax^{2}+2bx+c
[/mm]
f''(x)= 6ax+2b
Jetzt schauen wir mal, was wir mit diesen Ableitungen anfangen können. Ziel der Aufgabe ist es, durch die Vorgabe der Ordinatenwerte die unbekannten Größen a,b,c und d zu bestimmen.
Also: Bei x = -1 hat die Funktion eine Nullstelle, das heisst, und hier ist Deine erste Gleichung falsch,
f(x=-1)=-a+b-c+d=0
Die Kurve schneidet die y-Achse,, also die Ordinate, bei 2 oder anders ausgedrückt:
f(x=0)=2=d
Weiterhin berührt die Kurve bei x=3 die x-Achse. Das bedeutet auf jeden Fall, dass die erste Ableitung der Kurve an dieser Stelle 0 ist, also:
f'(x=3)=0=27a+6b+c
Um die vier Größen a bis d zu bestimmen, fehlt uns noch eine Aussage und da musste ich erst mal grübeln, aber ich glaube, ich weiss wie es weitergehen kann. Das Geheimnis der letzten Gleichung liegt im Wort "berührt" in der Textbeschreibung. Für die erste Ableitung, die wir bereits ausgewertet haben, würde man in der Mathematik eher das Wort "tangieren" benutzen. Ich interpretiere jetzt das Wort "berühren" in dem Sinne, dass die Kurve an dieser Stelle einen Wendepunkt besitzt und demzufolge die zweite Ableitung an dieser Stelle 0 ist (demzufolge die x-Achse waagrecht berührt), also:
f''(x=3)=0=18a+6b
So, nun haben wir vier Gleichungen für vier Unbekannte a bis d, das Ganze ist ein lineares Gleichungssystem und eine Lösung sieht man sofort, nämlich d =2. Drückt man dann b durch a aus, bleiben 2 Gleichungen mit a und c übrig. Drückt man dann c durch a aus, hat man den Wert für a, ich kam auf -2/5, hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet, das kannst Du ja mal checken. Der Trick bei diesen Aufgaben besteht darin, durch intensives Hinsehen soviele Gleichungen zu generieren, wie man benötigt, in unserem Fall waren es vier und man hat schon einiges zu rechnen dabei.
Hoffe das hilft dir weiter.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Di 13.09.2005 | | Autor: | XPatrickX |
> Um die vier Größen a bis d zu bestimmen, fehlt uns noch
> eine Aussage und da musste ich erst mal grübeln, aber ich
> glaube, ich weiss wie es weitergehen kann. Das Geheimnis
> der letzten Gleichung liegt im Wort "berührt" in der
> Textbeschreibung. Für die erste Ableitung, die wir bereits
> ausgewertet haben, würde man in der Mathematik eher das
> Wort "tangieren" benutzen. Ich interpretiere jetzt das Wort
> "berühren" in dem Sinne, dass die Kurve an dieser Stelle
> einen Wendepunkt besitzt und demzufolge die zweite
> Ableitung an dieser Stelle 0 ist (demzufolge die x-Achse
> waagrecht berührt), also:
> f''(x=3)=0=18a+6b
Diese Aussage stimmt so nicht ganz. Wie du vorher gesagt hast, ist an der Stelle ein Extrempunkt, d.h. f'(3) = 0. Das ist auch richtig, da der Graph die x-Achse nur berührt und nicht schneidet.
Nun kann das aber nicht gleichzeitig ein Wendepunkt sein, da Etrempunkte nie WEndepunkte sind und außerdem bei einem Wendepunkt der Graph die x-Achse schneidet.
Die vierte Bedinung ist eigentlich recht einfach:
Wir wissen ja das der Graph durch den Punkt (3|0) geht. Daher gilt:
f(3) = 0
damit ist die vierte Gleichung:
0 = 27a + 9 b + 3c + d
P.s.: der Rest stimmt aber meiner Meinung nach!
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Di 13.09.2005 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja Patricks Berichtigung ist korrekt, mitunter sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Schönen Abend noch,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Di 13.09.2005 | | Autor: | Nani |
Vielen Dank ihr beiden. Das hat mir wirklich geholfen. Den Rest schaff ich alleine.
Gruß Nani
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Ordinate