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| Aufgabe | Benutzen Sie bei dieser Aufgabe die Intervallschreibweise.
(i) Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion an.
(ii) Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit.
(iii) Welches Monotonieverhalten weist die Funktion auf den beiden Teilen des Definitionsbereichs auf?
(iv) Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion.
(v) Ermitteln Sie die Umkehrfunktion.
(vi) Untersuchen Sie die Umkehrfunktion auf Stetigkeit.
(vii) Skizzieren Sie die Graphen der Funktion und der Umkehrfunktion in einem Koordinatensystem.
Diese Punkte sollen für folgende Funktion durchgeführt werden.
f(x):= x+1 für [mm] 0
[mm] (x-2)^{2}+3 [/mm] für [mm] 1 |
Bis (v) hab ichs noch hinbekommen, ich hoffe das ist richtig ?? ... Aber bei (v) hänge ich leider ...
(i) D(f) = (0,2]
(ii) Die einzelnen Intervalle der Kompositio sind stetig!
daher Häufungspunkt betrachten (x=1)
von unten: [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] x+1=2
von oben: [mm] \limes_{x\rightarrow 1} (x-2)^{2}+3=4
[/mm]
(iii) Momotonie:
y,x [mm] \in [/mm] (0,1]
f(x)<f(y)
x<y
streng monoton steigend
y,x [mm] \in [/mm] (1,2]
f(x)<f(y)
x<y
streng monoton steigend
(iv) Wertebereich:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] f(x)=1
f(1)=2
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] f(x)=4
f(2)=3
Werteberiech: (1,2] v (4,3]
(v)
x+1=y
[mm] \gdw [/mm] x=y-1
[mm] \Rightarrow f^{-1}=x-1
[/mm]
jetzt hänge ich, denn ich bekomme [mm] (x-2)^{2}+3=y [/mm] nicht nach x umgestellt ...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Sa 03.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Benutzen Sie bei dieser Aufgabe die Intervallschreibweise.
>
> (i) Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion an.
> (ii) Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit.
> (iii) Welches Monotonieverhalten weist die Funktion auf
> den beiden Teilen des Definitionsbereichs auf?
> (iv) Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion.
> (v) Ermitteln Sie die Umkehrfunktion.
> (vi) Untersuchen Sie die Umkehrfunktion auf Stetigkeit.
> (vii) Skizzieren Sie die Graphen der Funktion und der
> Umkehrfunktion in einem Koordinatensystem.
>
> Diese Punkte sollen für folgende Funktion durchgeführt
> werden.
>
> f(x):= x+1 für [mm]0
> [mm](x-2)^{2}+3[/mm] für [mm]1
> Bis (v) hab ichs noch hinbekommen, ich hoffe das ist
> richtig ?? ... Aber bei (v) hänge ich leider ...
>
> (i) D(f) = (0,2]
stimmt.
>
> (ii) Die einzelnen Intervalle der Kompositio sind stetig!
Intervalle können nicht stetig sein, aber f ist tatsächlich im Innern beider Teilintervalle stetig.
Mit "Komposition" wird üblicherweise die Verkettung zweier Funktionen bezeichnet.
> daher Häufungspunkt betrachten (x=1)
> von unten: [mm]\limes_{x\rightarrow 1}[/mm] x+1=2
> von oben: [mm]\limes_{x\rightarrow 1} (x-2)^{2}+3=4[/mm]
>
Es fehlt eine Antwort.
> (iii) Momotonie:
> y,x [mm]\in[/mm] (0,1]
> f(x)<f(y)
> x<y
> streng monoton steigend
> y,x [mm]\in[/mm] (1,2]
> f(x)<f(y)
> x<y
> streng monoton steigend
>
Es ist nicht klar, was hier vorausgesetzt und was gefolgert wird, zudem ist unklar wie es gefolgert wird. f ist nicht auf beiden Teilintervallen streng monoton steigend.
> (iv) Wertebereich:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] f(x)=1
> f(1)=2
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1}[/mm] f(x)=4
gemeint ist der rechtsseitige Grenzwert, also auch hinschreiben !
> f(2)=3
> Werteberiech: (1,2] v (4,3]
Die Intervallschreibweise (a;b] setzt a<b voraus !
Deine Methode zur Berechnung des Wertebereiches liefert nur bei (abschnittsweise) monotonen Funktionen korrekte Resultate ! Deshalb fehlt ein Hinweis auf die Monotonie.
>
> (v)
> x+1=y
> [mm]\gdw[/mm] x=y-1
> [mm]\Rightarrow f^{-1}=x-1[/mm]
[mm] f^{-1}(x)=.. [/mm] mit Angabe des Definitionsbereiches !
>
> jetzt hänge ich, denn ich bekomme [mm](x-2)^{2}+3=y[/mm] nicht nach
> x umgestellt ...
Um aus einem x-Wert den zugehörigen y-Wert zu erhalten, wird doch nacheinander 2 subtrahiert, dann quadriert, dann 3 addiert. Diese Schritte sind in umgekehrter Reihenfolge rückgängig zu machen. Alternative : Klammer auflösen und die quadratische Gleichung mit der p-q-Formel lösen.
Achte in beiden Fällen darauf, das richtige Vorzeichen bei der Wurzel zu nehmen !
Gruß Sax.
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zu (ii) die Funktion ist nicht stetig
zu (iii) da habe ich gerechnet:
y,x [mm] \in [/mm] (0,1]
f(x)<f(y)
x+1<y+1
x<y
[mm] \Rightarrow [/mm] wachsend (streng monoton steigend)
y,x [mm] \in [/mm] (1,2]
f(x)<f(y)
[mm] (x-2)^{2}+3<(y-2)^{2}+3
[/mm]
x-2<y-2
x<y
[mm] \Rightarrow [/mm] wachsend (streng monoton steigend)
zu (v)
da hab ich dann jetzt [mm] y=\wurzel{x-3}+2 [/mm] ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 So 04.05.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> zu (ii) die Funktion ist nicht stetig
Welche Funktion sollte warum nicht stetig sein.
>
> zu (iii) da habe ich gerechnet:
> y,x [mm]\in[/mm] (0,1]
> f(x)<f(y)
> x+1<y+1
> x<y
> [mm]\Rightarrow[/mm] wachsend (streng monoton steigend)
Ja
>
> y,x [mm]\in[/mm] (1,2]
> f(x)<f(y)
> [mm](x-2)^{2}+3<(y-2)^{2}+3[/mm]
> x-2<y-2
> x<y
> [mm]\Rightarrow[/mm] wachsend (streng monoton steigend)
Nein, für x,y aus (1,2] ist sowohl x-2 als auch y-2 negativ. Daher überdenke nochmal das Auflösen des Quadrates.
>
> zu (v)
> da hab ich dann jetzt [mm]y=\wurzel{x-3}+2[/mm] ??
Du brauchst, da f(x) auf das Intervall (1;2] eingeschränkt ist, die negative Wurzel. Denn nur diese ergibt sich durch Spiegelung an der Geraden y=x.
Es gilt also
[mm] f^{-1}(x)=2-\sqrt{x-3}
[/mm]
Denn nur dann gilt [mm] f^{-1}(f(x))=x
[/mm]
Hier mal das Bild zu [mm] f(x)=(x-2)^{2}+3
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 So 04.05.2014 | | Autor: | clickbernd |
Also mit der Monotonie seid Ihr (beide) schwer auf dem Holzweg. Zwischen 1 und 2 ist die Funktion doch monoton fallend. Es handelt sich um das Stück der nach oben geöffneten Normalparabel mit Scheitel (2 |3) zwischen 1 und 2, also kurz vor dem Scheitel.
Trotzdem existiert eine Umkehrfunktion, denn dazu ist nur Injektivität notwendig, die hier trotzdem gegeben ist. (strenge Monotonie würde automatisch Injektivität implizieren) Das Dumme ist nur, dass der Definitionsbereich von der Umkehrfunktion nicht zusammenhängend ist. (Entspricht dem Wertebereich von f also (1 |2) vereinigt (3 |4))
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Mo 05.05.2014 | | Autor: | alikho93 |
Kann ich auch, ohne die Funktion durch einen Funktionsplotter darzustellen, sehen ob ich die positive oder negative Wurzel nehmen muss? Oder kann man dies nur erkennen indem man sich den Graphen hinzeichnet?
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> Kann ich auch, ohne die Funktion durch einen
> Funktionsplotter darzustellen, sehen ob ich die positive
> oder negative Wurzel nehmen muss? Oder kann man dies nur
> erkennen indem man sich den Graphen hinzeichnet?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du betrachtest [mm] f(x)=(x-2)^2+3 [/mm] für [mm] x\in [/mm] [1,2],
und Du suchst die Umkehrfunktion.
Zur Auswahl hast Du
[mm] f^{-1}(x)=2+\wurzel{x-3} [/mm] und [mm] f^{-1}(x)=2-\wurzel{x-3}.
[/mm]
Und nun?
Es ist f(1)=4,
also muß gelten [mm] f^{-1}(4)=1.
[/mm]
Damit weißt Du dann, welche der beiden die richtige Umkehrfunktion ist.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mo 05.05.2014 | | Autor: | alikho93 |
Super. Danke!
Eine Frage zu der Zeichnung. Wenn die letzte Aufgabe sei, dass wir nun die Funktion und die Umkehrfunktion einzeichnen müssen, müssen wir wirklich nur von dem Definitionsbereich ausgehen und den Graph der Ausgangsfunktion von (0,2] einzeichnen?
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> Super. Danke!
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> Eine Frage zu der Zeichnung. Wenn die letzte Aufgabe sei,
> dass wir nun die Funktion und die Umkehrfunktion
> einzeichnen müssen, müssen wir wirklich nur von dem
> Definitionsbereich ausgehen und den Graph der
> Ausgangsfunktion von (0,2] einzeichnen?
Hallo,
ja.
Wenn's Dich irgendwie beruhigt, kannst Du die Fortsetzungen ja dünn gestrichelt einzeichen, aber die Funktion. die betrachtet werden soll, ist nur über (0,2].
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Mo 05.05.2014 | | Autor: | alikho93 |
Perfekt. Ich danke.
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