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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f:x -> [mm] \bruch{1}{6} (x+1)^2(x-2) [/mm] mit x [mm] \in \IR
[/mm]
a.) Beschreiben Sie den globalen Verlauf der Funktion f für x-> [mm] \infty [/mm] und für x-> [mm] -\infty. [/mm]
b.) Bestimmen Sie die Nullstellen und die Art der Nullstellen, d.h. ob mit oder ohne Vorzeichenwechsel (VZW).
c.) Bestimmen Sie die erste und die zweite Ableitung von f.
d.) Bestimmen Sie die Punkte, an denen die Funktion f waagerechte Tangenten hat.
e.) An welchem Punkt B gibt es eine Tangente, die parallel zur Gerade g mit der Funktionsgleichung g(x)=-0,5x ist?
Bestimmen sie sowohl den Berührungspunkt B dieser Tangente als auch die Tangenten- und Normalengleichung in diesem Punkt.
f.) Erstellen Sie eine Wertetabelle und zeichnen Sie den Graphen im Intervall [-2;3] |
Mein Lösungsansatz:
a)
[mm] \bruch{1}{6} (x+1)^2(x-2)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{6} (x^2+1)(x-2)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{6} (x^3 -2x^2 [/mm] +x -2)
[mm] \bruch{1}{6} x^3 [/mm] - [mm] \bruch{4}{6} x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] x - [mm] \bruch{4}{6}
[/mm]
für x -> [mm] \infty [/mm] geht f(x) -> [mm] +\infty
[/mm]
für x -> [mm] -\infty [/mm] geht f(x) -> [mm] -\infty
[/mm]
b)
[mm] \bruch{1}{6} (x+1)^2 [/mm] (x-2) = 0
[mm] (x+1)^2: [/mm] x=1 und x=-1 mit VZW
(x-2): x=2
c)
f(x)= [mm] \bruch{1}{6} x^3 [/mm] - [mm] 4x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] x - [mm] \bruch{4}{6}
[/mm]
f'(x)= [mm] 1/2x^2 [/mm] - 8x + [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
f''(x)= x-8
d)
[mm] \bruch{1}{2} x^2 [/mm] -8x + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] = 0 |*2
[mm] x^2 [/mm] - 16x + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = 0
Kann ich hier dann mit der p-q-Formel weiter machen? Ist bis hier hin überhaupt alles richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Mi 02.11.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo DonCamillo182!
Leider hast du bereits ganz am Anfang einen Fehler...
> a)
> [mm]\bruch{1}{6} (x+1)^2(x-2)[/mm]
> [mm]\bruch{1}{6} (x^2+1)(x-2)[/mm]
Nein. Binomische Formel! Es gilt
[mm] $(x+1)^2=x^2+2*x+1$.
[/mm]
Kontrollergebnis:
[mm] $f(x)=\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Direkt am Anfang einen Fehler.. Dann ist ja gut, dass ich mittendrin schon nachgefragt hab und nicht erst, nachdem ich alles bearbeitet habe :-D
Mit dem lösen der binomischen Formel komme ich auf das gleiche Ergebnis.
b) bleibt die Antwort aber trotzdem gleich?!
c)
f(x) = [mm] \bruch{1}{6}x^3 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] - 2
f'(x) = [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
f''(x) = x
stimmt das?
d) zur Berechnung der waagerechten Tangenten muss ich f'(x)=0 ausrechnen?
[mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = 0 |*2
[mm] x^2 [/mm] - 1 = 0 |+1
[mm] x^2 [/mm] = 1 |wurzel ziehen
x = 1 und x = -1
stimmt das so?
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Hall0,
zu b)
[mm] f(x)=\bruch{1}{6}*(x+1)^2*(x-2) [/mm] hat die Nullstellen -1 und 2, der Faktor (x+1) wird für x=-1 gleich Null, der Faktor (x-2) wird für x=2 gleich Null
zu c)
die Klammern sind nicht korrekt aufgelöst
[mm] f(x)=\bruch{1}{6}x^3-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}
[/mm]
1. und 2. Ableitung sind aber korrekt
zu c)
ist korrekt
Steffi
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Danke 
Leider hab ich keine Ahnung wie ich bei e) vorgehen soll. Kann mir da jemand helfen und sagen wie ich das machen muss?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Mi 02.11.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben ist die Funktion f:x -> $ [mm] \bruch{1}{6} (x+1)^2(x-2) [/mm] $ mit x $ [mm] \in \IR [/mm] $
> e.) An welchem Punkt B gibt es eine Tangente, die parallel zur Gerade g mit der Funktionsgleichung g(x)=-0,5x ist?
die Steigung der Tangente von [mm] $f\,$ [/mm] im Punkte [mm] $(x_0|\;f(x_0))$ [/mm] berechnest Du zu
[mm] $f\,'(x_0)$ [/mm] (beachte hier Produkt- und Kettenregel bei der Berechnung von [mm] $f\,'$,
[/mm]
sofern Du nicht vorher zusammenfasst). Zwei Geraden sind parallel genau
dann, wenn sie die gleiche Steigung haben. Die Steigung der durch die
oben gegebene Geraden [mm] $g\,$ [/mm] berechnet sich (in jedem ihrer Punkte!) zu [mm] $g'(x)=-1/2\,.$
[/mm]
Finde also diejenigen [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] mit [mm] $f\,'(x_0)=\,-\,\frac{1}{2}$. [/mm] Berechne danach zudem noch
die [mm] $\red{f}(x_0)$, [/mm] denn ein Punkt wie gesucht besteht aus einem Koordinatenpaar [mm] $(x_0|f(x_0))$.
[/mm]
P.S. Lass' Dir mal den Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] plotten, und dann auch den
Graphen von
$t(x)=(-1/2)*x+f(0)=(-1/2)*x+(-1/3)$
Damit habe ich eigentlich auch schon alles verraten, und Du solltest Dein
errechnetes Ergebnis hiermit kontrollieren können (es gibt genau einen
Punkt [mm] $B\,$, [/mm] der das Gewünschte erfüllt).
Gruß,
Marcel
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