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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:10 So 05.03.2006 | | Autor: | splin |
| Aufgabe | Aus einer rechteckigen Glasscheibe der Länge 5dm und der Breite 2dm ist das in der Zeichnung angegebene Flächenstück herausgebrochen. Der Rand des Bruchstücks ist Graph einer ganzrationalen Funktion f zweiten Grades, deren Graph an der Stelle 0 eine waagerechte Tangente hat und die in der Skizze angegebenen Eigenschaften besitzt. [Dateianhang nicht öffentlich]
a) Gib die Funktion an.
b) Aus dem Reststück(grau) wird ein Rechteck herausgeschnitten. In welchen Fällen hat es möglichst großen Inhalt? |
Hallo!
Zur a) habe ich folgende Überlegungen:
Gesucht wird eine Funktion zweiten Grades also f(x)=ax²+bx+c.
Der Graph ist verschoben entlang der Y-achse um 1 [mm] \Rightarrow [/mm] c=1
Der Graph,an der Stelle 0, hat eine waagerechte Tangente
[mm] \Rightarrow [/mm] f´(0)=0 ; f´(0)= 0+b [mm] \Rightarrow [/mm] 0+b=0 [mm] \Rightarrowb=0
[/mm]
Aus der Zeichnung ist es zu erkennen dass f(2)=5
[mm] \Rightarrow [/mm] a*2²+b*2+c =5 [mm] \Rightarrow 4a=4\Rightarrow [/mm] a=1
Es handelt sich um folgende [mm] Funktion:f(x)=x^2+1
[/mm]
Ist es richtig so?
Zur der Aufgabe b) habe ich keine Überlegungen.
Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank.
MfG Splin.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 So 05.03.2006 | | Autor: | Disap |
> Aus einer rechteckigen Glasscheibe der Länge 5dm und der
> Breite 2dm ist das in der Zeichnung angegebene Flächenstück
> herausgebrochen. Der Rand des Bruchstücks ist Graph einer
> ganzrationalen Funktion f zweiten Grades, deren Graph an
> der Stelle 0 eine waagerechte Tangente hat und die in der
> Skizze angegebenen Eigenschaften besitzt. [Dateianhang nicht öffentlich]
> a) Gib die Funktion an.
> b) Aus dem Reststück(grau) wird ein Rechteck
> herausgeschnitten. In welchen Fällen hat es möglichst
> großen Inhalt?
> Hallo!
Hi.
> Zur a) habe ich folgende Überlegungen:
>
> Gesucht wird eine Funktion zweiten Grades also
> f(x)=ax²+bx+c.
> Der Graph ist verschoben entlang der Y-achse um 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] c=1
> Der Graph,an der Stelle 0, hat eine waagerechte Tangente
> [mm]\Rightarrow[/mm] f´(0)=0 ; f´(0)= 0+b [mm]\Rightarrow[/mm] 0+b=0
> [mm]\Rightarrowb=0[/mm]
> Aus der Zeichnung ist es zu erkennen dass f(2)=5
> [mm]\Rightarrow[/mm] a*2²+b*2+c =5 [mm]\Rightarrow 4a=4\Rightarrow[/mm] a=1
> Es handelt sich um folgende [mm]Funktion:f(x)=x^2+1[/mm]
>
> Ist es richtig so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das stimmt.
> Zur der Aufgabe b) habe ich keine Überlegungen.
> Kann mir jemand helfen?
Du hast eine rechteckige Glasscheibe mit der Länge 5dm und Breite 2dm.
Davon kannst du den Flächeninhalt berechnen mit der Formel
$ A = a*b $
Oder um es auf unser Beispiel im kartesischen Koordinatensystem zu übertragen:
$ A = x*y [mm] \hat= [/mm] A = x * f(x) $
Nun ist die Scheibe allerdings kaputt. Der abgebrochene Teil lässt sich durch die von dir ermittelte Funktion beschreiben. D. h. dadurch wird unser "neuer" Flächeninhalt der Schreibe begrenzt.
Da sich die Länge nun verändert (weil es eben abhängig von der Funktion ist), d. h. die neue Länge (als höhe betrachtet) beträgt y = 5dm - f(x). f(x) ist eben der Y-Wert der Funktion.
Das selbe für die Breite, diese ist begrenzt durch den X-Wert der Funktion:
[mm] \Delta [/mm] x = 2dm - x
Daraus folgt (für unsere Extremwertaufgabe: möglichst groß/maximal etc. sind Hinweise dafür)
A(x) = [mm] \Delta [/mm] x * y
Haupt und Nebenbedingung haben wir ja oben schon aufgestellt. Mach dir mal eine Skizze, das veranschaulicht das ganze.
In die Zielfunktion setzt du nun die Werte ein, leitest das ab, setzt es gleich Null und ermittelst den X-Wert (neue breite)... Und so weiter.
Dass es möglichst groß wird als Rechteck, kann ja in diesem Fall nur die Möglichkeit haben, dass du ein Rechteck in der Glasscheibe ausschneidest. Die Funktion liegt ja "ungünstig", sie ist irgendwie die komplette Breite durchgerissen. Das war wahrscheinlich ein bisschen unverständlich, aber das gehört ja eh nicht zum Rechnen.
> Vielen Dank.
> MfG Splin.
MfG Disap.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mo 06.03.2006 | | Autor: | splin |
Hallo!
Was ist denn hier die Hauptbedingung und was Nebenbedingung?
Kann mir jemand die Rechnung einbisschen genauer erklären?
Vielen Dank.
MfG Splin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:37 Di 07.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen splin!
Hauptbedingung ist grundsätzlich die Größe, die minimiert bzw. maximiert werden soll.
In unserem Falle soll die Fläche maximiert werden, daher lautet die Hauptbedingung:
$A \ = \ a*b$
Die Nebenbedingung ergibt sich hier durch die Vorgabe der parabelförmigen Bruchkante der Scheibe.
Hier sind es dann sogar zwei Gleichungen, die man aufstellen muss:
$a \ = \ 2-x$
$b \ = \ f(x) \ = \ [mm] x^2+1$
[/mm]
Einsetzen der Nebenbedingung(en) in die Hauptbedingung liefert dann die Zielfunktion:
$A(x) \ = \ [mm] (2-x)*\left(x^2+1\right)$
[/mm]
Und mit dieser Zielfunktion ist nun die Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung) durchzuführen.
Gruß
Loddar
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Hallo splin,
> Aus einer rechteckigen Glasscheibe der Länge 5dm und der
> Breite 2dm ist das in der Zeichnung angegebene Flächenstück
> herausgebrochen. Der Rand des Bruchstücks ist Graph einer
> ganzrationalen Funktion f zweiten Grades, deren Graph an
> der Stelle 0 eine waagerechte Tangente hat und die in der
> Skizze angegebenen Eigenschaften besitzt. [Dateianhang nicht öffentlich]
> a) Gib die Funktion an.
> b) Aus dem Reststück(grau) wird ein Rechteck
> herausgeschnitten. In welchen Fällen hat es möglichst
> großen Inhalt?
Such mal hier im Forum Analysis nach ähnlichen Aufgaben (Button oben rechts):
"Glasscheibe", Glasstück"
Diese Aufgabe wird immer wieder gestellt. 
> Hallo!
>
> Zur a) habe ich folgende Überlegungen:
>
> Gesucht wird eine Funktion zweiten Grades also
> f(x)=ax²+bx+c.
> Der Graph ist verschoben entlang der Y-achse um 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] c=1
> Der Graph,an der Stelle 0, hat eine waagerechte Tangente
> [mm]\Rightarrow[/mm] f´(0)=0 ; f´(0)= 0+b [mm]\Rightarrow[/mm] 0+b=0
> [mm]\Rightarrowb=0[/mm]
> Aus der Zeichnung ist es zu erkennen dass f(2)=5
> [mm]\Rightarrow[/mm] a*2²+b*2+c =5 [mm]\Rightarrow 4a=4\Rightarrow[/mm] a=1
> Es handelt sich um folgende [mm]Funktion:f(x)=x^2+1[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Ist es richtig so?
>
> Zur der Aufgabe b) habe ich keine Überlegungen.
> Kann mir jemand helfen?
>
Gruß informix
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