Funktionsuntersuchung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:25 Do 09.03.2006 | | Autor: | SuperTTT |
| Aufgabe | f(x) = [mm] 2xe^1^-^x
[/mm]
a) Kurvendiskussion
b) Tangente im Wendepunkt
c) Stammfunktion nachweisen: [mm] e^1^-^x [/mm] (-2x-2)
d) Eingeschlossene Fläche berechnen |
Hallo,
ich bin es wieder.
Ich habe die Kurvendiskussion bereits durchgeführt, bitte kontrollieren.
Einige Fragen:
1) Ich komme leider mit den Ableitungen dieser e-Funktion nicht klar und mein Nachhilfelehrer war wie so oft unfähig, es mir zu erklären. Als er seine eigene Unfähigkeit erkannte, hat er mir einfach die Ableitungen genannt, die er mit Maple (!) zustande gebracht hat. Wäre nett, wenn mir nochmal jemand das Ableitungssystem erklären würde.
2) Extremstellen:
Hier sagt mein Nachhilfelehrer, dass ich das nicht weiter zu berechnen brauche, da man sehen kann, dass es keine Extremstelle gibt. Dass verstehe ich auch, da dass ganze niemals 0 werden kann.
Wendestellen: Hier behauptet er auch, dass es keine Wendestelle gibt, wofür er mir keine plausible Begründung nennen konnte. Woran soll ich das denn erkennen? Außerdem heißt es doch in b), ich solle die Tangente im WENDEPUNKT berechnen!!!
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Danke im Voraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo SuperTTT!
> f(x) = [mm]2xe^1^-^x[/mm]
>
> a) Kurvendiskussion
> b) Tangente im Wendepunkt
> c) Stammfunktion nachweisen: [mm]e^1^-^x[/mm] (-2x-2)
> d) Eingeschlossene Fläche berechnen
> Hallo,
> ich bin es wieder.
>
> Ich habe die Kurvendiskussion bereits durchgeführt, bitte
> kontrollieren.
>
> Einige Fragen:
> 1) Ich komme leider mit den Ableitungen dieser e-Funktion
> nicht klar und mein Nachhilfelehrer war wie so oft unfähig,
> es mir zu erklären. Als er seine eigene Unfähigkeit
> erkannte, hat er mir einfach die Ableitungen genannt, die
> er mit Maple (!) zustande gebracht hat. Wäre nett, wenn mir
> nochmal jemand das Ableitungssystem erklären würde.
Also, bei mir kommt es ja auch schon mal vor, dass ich bei Nachhilfe nicht weiter weiß, aber dass jemand als Nachhilfelehrer nicht ableiten kann!??? Also:
Du hast hier ein Produkt von zwei Funktionen, die eine Funktion ist u(x)=2x, die andere ist [mm] v(x)=e^{1-x}. [/mm] Da das Ganze eben ein Produkt ist, benötigst du zum Ableiten dafür die  Produktregel (klingt doch logisch, oder?  ). Diese lautet: f'(x)=u'(x)*v(x)+v'(x)*u(x) (in Worten: Ableitung der 1. Funktion mal die zweite plus Ableitung der zweiten mal die erste).
Wir haben hier:
u'(x)=2
[mm] v'(x)=-e^{1-x} [/mm] (dafür benötigst du noch die Kettenregel - schaffst du das alleine?)
Ergibt dann die komplette Ableitung der Funktion f:
[mm] f'(x)=2e^{1-x}-2xe^{1-x} [/mm] = [mm] 2e^{1-x}(1-x)
[/mm]
Schaffst du die anderen Ableitungen danach alleine? Die Lösungen hast du ja schon - sie sind (natürlich ) alle korrekt.
Zur Symmetrie deiner Kurvendiskussion:
Das was du hingeschrieben hast, ist keine Begründung dafür, dass es keine Symmetrie gibt (bzw. wenn die Gleichung, die in deinem Beispiel nicht gilt, gelten würde, hieße das noch lange nicht, dass die Funktion auch symmetrisch ist!). Allgemein muss für Achsensymmetrie gelten:
f(x)=f(-x)
Das heißt, f(x) hast du ja gegeben, und f(-x) berechnest du, indem du einfach -x in die Funktion einsetzt, das ergibt dann hier:
[mm] f(-x)=2(-x)e^{1-(-x)} [/mm] = [mm] -2xe^{1+x}
[/mm]
Und hier gilt offensichtlich nicht f(x)=f(-x), also liegt keine Achsensymmetrie zur y-Achse vor.
Für Punktsymmetrie muss gelten:
f(x)=-f(-x)
f(x) kennst du, -f(-x) berechnest du ganz einfach, in dem vor obiges berechnete f(-x) einfach ein Minuszeichen setzt, und um den Rest eine große Klammer (also so, dass jedes Zeichen invertiert wird: aus + wird - und aus - wird +):
[mm] -f(-x)=-(-2xe^{1+x})=2xe^{1+x}
[/mm]
Auch hier gilt obige Gleichung nicht, deswegen liegt auch keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
In der Schule betrachtet man glaube ich nur diese beiden möglichen Symmetrien, aber theoretisch könnte es auch noch Symmetrien zu anderen Achsen oder anderen Punkten geben. Deswegen müsste man korrekterweise immer schreiben: Die Funktion ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Andere Symmetrien hast du gar nicht untersucht, kannst also streng genommen auch keine allgemein Aussage über Symmetrien machen. Aber wie gesagt, in der Schule mag es als Untersuchung reichen, und wahrscheinlich akzeptiert dein Lehrer dann auch, wenn du allgemein schreibst: keine Symmetrie vorhanden.
Bei den Nullstellen würde ich noch dazu schreiben, warum 2x=0 sein muss. Der Grund ist: Ein Produkt wird genau dann =0, wenn mindestens einer der Faktoren =0 ist, also muss in deinem Fall entweder 2x=0 sein oder [mm] e^{1-x}. [/mm] Da die e-Funktion aber niemals =0 wird, muss 2x=0 werden. Alles klar?
> 2) Extremstellen:
> Hier sagt mein Nachhilfelehrer, dass ich das nicht weiter
> zu berechnen brauche, da man sehen kann, dass es keine
> Extremstelle gibt. Dass verstehe ich auch, da dass ganze
> niemals 0 werden kann.
Das ist leider falsch! Die 1. Ableitung ist, so wie ich sie zuletzt geschrieben habe, ein "sehr schönes Produkt", sie besteht nämlich auch [mm] 2e^{1-x} [/mm] und (1-x). Da die e-Funktion wiederum niemals =0 werden kann, muss (1-x) =0 werden, damit die Funktion =0 wird, und 1-x=0 [mm] \gdw [/mm] x=1. Das heißt, für x=1 kann ein Extremum vorliegen. Einsetzen in die zweite Ableitung ergibt, dass wir es hier mit einem Hochpunkt zu tun haben (f''(1)=-2 [mm] \to [/mm] Hochpunkt(1/2)).
> Wendestellen: Hier behauptet er auch, dass es keine
> Wendestelle gibt, wofür er mir keine plausible Begründung
> nennen konnte. Woran soll ich das denn erkennen? Außerdem
> heißt es doch in b), ich solle die Tangente im WENDEPUNKT
> berechnen!!!
Tja, dann muss es ja wohl auch einen geben.
Für Wendestellen muss ja die zweite Ableitung =0 sein, und wenn du diese wieder in ein Produkt umformst, erhältst du, dass 2(-2+x)=0 sein muss, mit der Begründung von oben, das ergibt dann, dass x=2 sein muss. Setzt du das dann in die dritte Ableitung ein, siehst du, dass tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt, nämlich bei [mm] (2/\bruch{4}{e}).
[/mm]
Zur Not berechne immer alles, wenn du dann einen Widerspruch erhältst, also so, dass die Funktion niemals =0 werden kann, dann hast du halt sogar gezeigt, dass es nicht geht, und das reicht dann als Begründung.
Dein Grenzwert für [mm] x\to\infty [/mm] ist leider falsch, die Funktion geht dort gegen [mm] \infty.
[/mm]
Ach ja, der Graph sieht dann übrigens so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Schaffst du den Rest nun alleine?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:11 Fr 10.03.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo Bastiane,
danke für Deine schnelle Antwort.
Wie ich zu meinem Entsetzen feststellen muss, ist mein Nachhilfelehrer noch nicht einmal fähig, die Funktion mit Maple richtig zu zeichnen. *grummel*
Ich werde mir das morgen alles genau anschauen und das ganze (versuchen zu) bearbeiten (Gehe jetzt ins Bettchen, habe ja morgen Schule). Ich melde mich wenn ich Probleme habe.
Gruß, SuperTTT
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Fr 10.03.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo nochmal,
ich habe das ganze inzwischen weiter bearbeitet.
Die erste Ableitung war für mich absolut kein Problem mehr, doch ab der 2. komme ich widerum nicht weiter. Ich erhalte dort ein völlig anderes Ergebnis.
Das gleiche Problem habe ich beim Nachweis der Stammfunktion, die ich ja "nur" ableiten müsste, um zu beweisen, dass es die Stammfunktion ist.
Wäre sehr hilfreich, wenn mir hierbei nochmal jemand helfen könnte.
Was das Verhalten gegen + unendlich betrifft, da glaube ich, dass Du Dich verrechnet hast, Bastiane. Bitte überprüfe das noch einmal, ich erhalte jedenfalls 0.
Den Rest bitte kontrollieren.
Die Wendetangente bitte ebenfalls kontrollieren, ich denke, die müsste stimmen.
Zu Aufgabe d) Wie errechne ich hier, welches Integral ich setzen muss?
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Danke im Voraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") Alles richtig gemacht!
Für den Nachweis der gegebenen Stammfunktion $F(x) \ = \ [mm] e^{1-x}*(-2x-2) [/mm] \ = \ [mm] -2*e^{1-x}*(x+1)$ [/mm] musst Du diese Funktion ableiten. Dann muss die Ausgangsfunktion $f(x)_$ herauskommen.
Für die Fläche ist hier ein sogenanntes uneigentliches Integral zu bestimmen:
$A \ = \ [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{u\rightarrow\infty}\integral_{0}^{u}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{u\rightarrow\infty}\left[ \ F(x) \ \right]_{0}^{u} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Fr 10.03.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo Loddar,
leider bist Du auf meine Ableitungsprobleme nicht eingegangen. Bei mir sieht die Ableitung der Stammfunktion nämlich folgendermaßen aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Demnach ist die linke Hälfte ja falsch, die muss weg. Aber ich weiß nicht, was ich immer falsch mache. Das gleiche Problem habe ich bei den anderen Ableitungen auch.
Zur Fläche: Habe das nun wie folgt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ist das korrekt?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Fr 10.03.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hi nochmal,
mir viel gerade auf, dass ich den Betrag vergessen habe bei der Fläche!
Demnach ist das Ergebnis A = 2e .
Habe den Anhang bereits korrigiert.
Gruß, SuperTTT
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
Aber bei den anderen Ableitungen hat es doch auch prima geklappt ...
$F(x) \ = \ [mm] -2*e^{1-x}*(x+1)$
[/mm]
$F'(x) \ = \ [mm] -2*(-1)*e^{1-x}*(x+1) [/mm] + [mm] \left(-2*e^{1-x}\right)*1 [/mm] \ = \ ...$
Wenn Du bei der Flächenberechnung nun noch die beiden Grenzen bzw. dessen Werte vertauschst, stimmt es:
$A \ = \ [mm] F(\infty)-F(0) [/mm] \ = \ 0-(-2e) \ = \ +2*e$
Aber bitte lieber die Schreibweise mit dem Grenzwert verwenden ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Fr 10.03.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo Loddar,
leider sieht das bei mir jetzt wieder genauso aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
Du machst den Fehler beim ausmultiplizieren des ersten Terms mit der Klammer:
[mm] $2*e^{1-x}*(x+1) [/mm] \ = \ [mm] 2x*e^{1-x} [/mm] \ [mm] \blue{+2*1*e^{1-x}}$
[/mm]
Und durch den Term [mm] $-2e^{1-x}$ [/mm] haben wir unser gewünschtes Ergebnis.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Fr 10.03.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hi,
Sorry, aber ich verstehe das nicht.
Ich habe doch:
F'(x) \ = [mm] -2\cdot{}(-1)\cdot{}e^{1-x}\cdot{}(x+1) [/mm] + [mm] \left(- 2\cdot{}e^{1-x}\right)\cdot{}1 [/mm]
Da steht doch auf der rechten Seite -2e... usw
Warum kommt denn dann + raus?
Und wenn ich dann das habe:
[mm] 2xe^1^-^x [/mm] + [mm] 2e^1^-^x
[/mm]
Warum fällt denn dann die rechte Seite einfach weg?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
$F'(x) \ = \ [mm] -2*(-1)*e^{1-x}*(x+1)+ \left(- 2*e^{1-x}\right)*1 [/mm] \ = \ [mm] 2*e^{1-x}*(\blue{x} [/mm] + [mm] \red{1}) [/mm] \ [mm] \green{-2*e^{1-x}}$
[/mm]
Und nun multiplizieren wir die den Term mit [mm] $e^{1-x}$ [/mm] in die Klammer $(x+1)_$ hinein:
$F'(x) \ = \ [mm] 2*e^{1-x}*\blue{x} [/mm] + [mm] 2*e^{1-x}*\red{1} [/mm] \ [mm] \green{-2*e^{1-x}} [/mm] \ = \ [mm] 2x*e^{1-x} [/mm] + [mm] 2*e^{1-x}-2*e^{1-x} [/mm] \ = \ [mm] 2x*e^{1-x}$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Fr 10.03.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Danke Dir Loddar, so langsam wird es mir begreiflich.
Ich werde mich noch mal genau damit auseinandersetzen müssen.
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 So 12.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
Ich wollte erstens fragen, wie man die Stammfunktion selbst berechnen kann (das finde ich bei der gegebenen Funktion ziemlich schwierig) - ich weiß nur, dass es am leichtesten ist von der Ableitung von f(x) auszugehen und dann zu schauen, was sich bei f´(x) im Bezug zu f(x) verändert hat, um dieses dann in den Nenner einzutragen -.
Als zweites bin ich mir nicht sicher, wie man das mit dem Integral genau macht und ausführlich aufschreibt (siehe Anhang).
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 So 12.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Dieses Integral lässt sich auch direkt ermitteln, und zwar mittels partieller Integration.
Hier habe ich ein sehr ähnliches Integral vorhin mal gelöst (siehe unterer Teil).
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:59 So 12.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
Hallo Loddar! :)
[mm] $\integral{x^2*e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x^2*e^x-\integral{2x*e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] x^2*e^x-2*\blue{\integral{x*e^x \ dx}}$ [/mm]
Das verstehe ich nicht, warum ziehst du denn das Integal von f(x) von dem Integral von F(x) ab (ist das überhaupt s richtig ausgesagt?)?
Außerdem verstehe ich nicht, wie man bei der hier gegebenen Funktion auf die Stammfunktion kommt:
f(x)= [mm] 2xe^{1-x}
[/mm]
f´(x)= [mm] 2e^{1-x}*(1 [/mm] - x)
F(x)= [mm] e^{1-x} [/mm] * (-2x - 2)
Vielen Dank im voraus.
Anna.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Di 14.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Hier
).
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
