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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mo 19.06.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen [mm] f_k [/mm] mit [mm] f_k(x) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - [mm] k*x^3, k\in\IR
[/mm]
a.) Untersuche allgemein die Funktion [mm] f_k. [/mm] Skizziere deine Graphen für k = -2, k = 0 und f+r k = 2
b.) Für welchen Wert k hat die Funktion [mm] f_k [/mm] an der Stelle x = 100 eine Nullstelle?
c.) Zeige, dass due Wendepunkte aller Funktionen [mm] f_k [/mm] auf einer Parabel liegen.
d.) Welcher von allen Extrempunkten hat vom Punkt P (0|2) minimalen Abstand? |
Okay,
Bevor ich auf die Fragen zu b.) c.) und d.) was sagen kann muss ich erstmal die Untersuchung der Funktion durchführen.
Da habe ich allerdings so einige Probleme, denke das ich da einfach was falsch gemacht habe.
Fangen wir mal an :
(1) Symmetrie :
[mm] f_k [/mm] (-x) = [mm] (-x)^2 [/mm] - [mm] k*(-x)^3
[/mm]
= [mm] x^2 [/mm] + [mm] kx^3
[/mm]
Da dies ungleich [mm] f_k(x) [/mm] ist ist die Funktion nicht Symmetrisch zur y-Achse.
- [mm] f_k [/mm] (-x) = [mm] -(x^2 [/mm] + [mm] kx^3)
[/mm]
= [mm] -x^2 [/mm] - [mm] kx^3
[/mm]
Da dies ebenfalls ungleich [mm] f_k(x) [/mm] ist, ist die Funktion nicht symmetrisch zum Ursprung.
Das war eigentlich jetzt nicht das Problem. Das erste kommt aber jetzt bereits...
(2) Randverhalten :
[mm] \limes_{x\rightarrow+\ infty} f_k(x) [/mm] = [mm] x^3 [/mm] ((1)/(x) - k)
Hier ist schon das Problem.
Denn hier gilt : Für k > 0 geht es gegen [mm] -\infty, [/mm] bei k < 0 geht es gegen [mm] +\infty [/mm] und für k = 0 ebenfalls gegen [mm] +\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\ infty} f_k(x) [/mm] = [mm] x^3 [/mm] ((1)/(x) - k)
Hier ebenfalls :
Denn für k > 0 geht es gegen [mm] +\infty, [/mm] für k<0 gegen [mm] -\infty [/mm] und für k = 0 wieder gegen [mm] +\infty
[/mm]
Ist das so richtig? Oder habe ich da einfach falsch überlegt?
(3) Nullstellen :
[mm] f_k (x_N) [/mm] = 0
[mm] x^2 [/mm] - [mm] k*x^3 [/mm] = 0
[mm] x^2 [/mm] (1 - k*x) = 0
Durch Ausklammern erhalte ich hier eine Nullstelle die ist [mm] x_N_1 [/mm] = 0
1 - k*x = 0 | - 1
-k*x = -1 | : (-k)
x = (1)/(k)
Wäre das dann die 2. Nullstelle? Denke mal ja, aber irgendwie ist das komisch wusste nicht ob ich da einfach mit -k dividieren konnte.
(4) Ableitungen :
f'_k(x) = 2x - [mm] 3*k*x^2
[/mm]
f''_k(x) = 2 - 6*k*x
f'''_k(x) = 6*k
Denke die Ableitungen sind richtig oder? Naja... ;)
(5) Extremstellen :
f'_k(x) = 0
2x - [mm] 3k*x^2 [/mm] = 0
x(2 - 3k*x) = 0
Also eine Extremstelle müsste schonmal 0 sein oder?
2 - 3k*x = 0 | - 2
- 3k *x = -2 | : (-3k)
x = (2)/(3k)
Und die 2. Extremstelle dann wohl (2)/(3k) ist das denn richtig?
Wenn ich die Stellen nun in f''_k(x) einsetze. Erhalte ich bei 0, dass es eine Tip-Stelle ist. Bei (2)/(3k) ist es allerdings so, dass nur ein Extrempunkt vorliegt wenn k [mm] \not= [/mm] (1)/(3) ist oder? Denn sonst wäre die 2. Ableitung 0.
(6) Wendestellen :
f''_k(x) = 0
2 - 6k*x = 0 | -2
-6k*x = -2 | : (-6k)
x = (2)/(6k)
Also wäre das eine Wendestelle oder?
Nun komme ich aber nicht weiter. denke sowieso das das meiste hier falsch ist, aber besser konnte ich's nicht.
Wäre super wenn ihr mir helfen könntet.
MFG
Kristof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Mo 19.06.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Bei (4) die 3. Ableitung gefällt mir nicht ganz :)
Bei (5) komme ich genau auf ein Hoch- und ein Tiefpunkt (2 und -2, wenn ich deine x-Werte in [mm] f_{k}"(x) [/mm] einsetze).
Der Rest ist richtig!
Doch wenn es um Punkte geht, müsstest du noch den y-Wert ermitteln (vom Hoch-/Tiefpunkt & Wendestelle).
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Hallo Kristof!
> Durch Ausklammern erhalte ich hier eine Nullstelle die ist
> [mm]x_N_1[/mm] = 0
>
> 1 - k*x = 0 | - 1
> -k*x = -1 | : (-k)
> x = (1)/(k)
>
> Wäre das dann die 2. Nullstelle?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Denke mal ja, aber irgendwie ist das komisch wusste nicht ob ich da
> einfach mit -k dividieren konnte.
Du musst streng genommen den Sonderfall $k \ = \ 0$ mit [mm] $f_0(x) [/mm] \ = \ [mm] x^2-0*x^3 [/mm] \ = \ [mm] x^2$ [/mm] untersuchen. Dann bleibt es nämlich bei der einen (doppelten) Nullstelle von [mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ 0$ .
> (5) Extremstellen :
> 2 - 3k*x = 0 | - 2
> - 3k *x = -2 | : (-3k)
> x = (2)/(3k)
>
> Und die 2. Extremstelle dann wohl (2)/(3k) ist das denn
> richtig?
Auch hier existiert diese weitere Extremstelle nur für $k \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ .
> (6) Wendestellen :
>
> f''_k(x) = 0
> 2 - 6k*x = 0 | -2
> -6k*x = -2 | : (-6k)
> x = (2)/(6k)
Und auch hier dasselbe Spiel ...
Gruß vom
Roadrunner
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