Funktionsuntersuchung < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:36 Sa 10.01.2004 | | Autor: | Logan |
Ich bekomm die Nullstellen der Funktion f(x)=[mm]\frac{1}{x²+1}[/mm]
nich heraus. Wenn ich die Funktion gleich null setzte müsste ich doch eigentlich mit (x²+1) multiplizieren, um den Bruch aufzulösen oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Sa 10.01.2004 | | Autor: | Youri |
Hallo nochmal Logan -
> Ich bekomm die Nullstellen der Funktion
> f(x)=[mm]\frac{1}{x²+1}[/mm]
> nich heraus. Wenn ich die Funktion gleich null setzte
> müsste ich doch eigentlich mit (x²+1) multiplizieren, um
> den Bruch aufzulösen oder?
Ja, das ist vollkommen richtig.
Was ist denn dann Dein Problem?
Du bekommst doch dann vermutlich eine
falsche Aussage (0=1) als Ergebnis.
Was sagt Dir denn diese Aussage über die Existenz von Nullstellen der
Funktion?
Kannst Du Dir vorstellen, wie die Funktion aussieht?
Setz doch mal testweise ein paar Werte für x ein, und
versuch' Dir eine Vorstellung zu machen.
Lieben Gruß und schönen Abend,
Andrea.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Sa 10.01.2004 | | Autor: | Logan |
Achso.
Die Funktion hat gar keine Nullstellen. Auch nett. 
danke
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 So 11.01.2004 | | Autor: | Logan |
Kann mir vielleicht noch jemand erklären wie das bei einer Funktionsuntersuchung mit
+ [mm]\infty[/mm] und - [mm]\infty [/mm] so funktioniert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 So 11.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
du meinst, das Verhalten einer Funktion (bzw. dieser Funktion) an den Rändern des Definitionsbereichs bzw. das Verhalten im Unendlichen?
Für gebrochen-rationale Funktionen (wie die hier aktuelle [mm] f(x)={1 \over x^2+1} [/mm]) kann man ein festes Schema herleiten, wie man das Verhalten im Unendlichen ermitteln kann.
Und zwar sieht man sich zuerst die Grade des Zähler- und Nenner-Polynoms an (der Grad eines Polynoms ist der größte vorkommende Exponent). Ich bezeichne diese Grade mal mit m (für den Grad des Zählers) und mit n (für den Grad des Nenners).
Die (gebrochen-) rationale Funktion hat also diese Form:
[mm] f(x) = { a_m * x^m +\cdots \over b_n * x^n +\cdots } [/mm]
(die Pünktchen sollen andeuten, dass dort der Rest des Polynoms steht, der aber für die weitere Betrachtung völlig uninteressant ist, da alle Summanden einen niedrigeren Grad haben).
Es gilt dann allgemein:
[mm] \limes_{x\to -\infty} f(x) = \limes_{x\to -\infty} { a_m * x^m \over b_n * x^n } [/mm]
[mm] \limes_{x\to +\infty} f(x) = \limes_{x\to +\infty} { a_m * x^m \over b_n * x^n } [/mm]
(statt des ganzen Zähler- und Nennerpolynoms kann man sich bei dieser Grenzwertbetrachtung jeweils nur die Summanden mit den höchsten Graden ansehen).
Speziell kann gibt es dann drei verschiedene Arten von Verhalten im Unendlichen:
1. Fall: n > m (der Grad des Zählers ist kleiner als der Grad des Nenners)
[mm] \limes_{x\to -\infty} f(x) = 0 [/mm]
[mm] \limes_{x\to +\infty} f(x) = 0 [/mm]
2. Fall: n = m (der Grad des Zählers ist gleich dem Grad des Nenners)
[mm] \limes_{x\to -\infty} f(x) = {a_m\over b_n} [/mm]
[mm] \limes_{x\to +\infty} f(x) = {a_m\over b_n} [/mm]
3. Fall: n < m (der Grad des Zählers ist größer als der Grad des Nenners)
a) falls [mm] { a_m\over b_n } > 0 [/mm] und [mm] m-n [/mm] gerade (Vergleich: wie [mm] f(x)=x^2 [/mm]:
[mm] \limes_{x\to -\infty} f(x) = +\infty [/mm]
[mm] \limes_{x\to +\infty} f(x) = +\infty [/mm]
b) falls [mm] { a_m\over b_n } < 0 [/mm] und [mm] m-n [/mm] gerade (Vergleich: wie [mm] f(x)=-x^2 [/mm]:
[mm] \limes_{x\to -\infty} f(x) = -\infty [/mm]
[mm] \limes_{x\to +\infty} f(x) = -\infty [/mm]
c) falls [mm] { a_m\over b_n } > 0 [/mm] und [mm] m-n [/mm] ungerade (Vergleich: wie [mm] f(x)=x^3 [/mm]:
[mm] \limes_{x\to -\infty} f(x) = -\infty [/mm]
[mm] \limes_{x\to +\infty} f(x) = +\infty [/mm]
d) falls [mm] { a_m\over b_n } < 0 [/mm] und [mm] m-n [/mm] ungerade (Vergleich: wie [mm] f(x)=-x^3 [/mm]:
[mm] \limes_{x\to -\infty} f(x) = +\infty [/mm]
[mm] \limes_{x\to +\infty} f(x) = -\infty [/mm]
Falls du an den Beweisen interessiert bist, kann ich sie gerne noch nachreichen, aber diese Übersicht soll dir ja eigentlich nur zur Wiederholung kurz vor der Klausur dienen und dir das Schema noch mal ins Gedächtnis rufen.
Alles Gute,
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 So 11.01.2004 | | Autor: | Logan |
Wow ganz schön kompliziert, finde ich.
Als wir letztens uns in der Schule noch mit Extremwertproblemen beschäftigt haben,
hatten wir auch schon kurz Randwerte beschprochen.
Auf jeden fall ging das ein bißchen einfacher.
Versteh mich nicht falsch.
Ich freu mich natürlich, dass du mir jetzt das ganze noch mal aufgeschrieben hast, für mich persönlich ist es aber immer
einfacher wenn etwas simpel ist (in Mathe).
Vielleicht gibts noch einen einfacheren Weg?
Denn den hab ich noch nicht so ganz verstanden. Ich mein wenn ich
jetzt diese Aufgabe [mm]\frac{1}{x²}[/mm], dann müsste doch gelten [mm]\limes_{x\to -\infty} f(x)=0[/mm] und [mm]\limes_{x\to +\infty}f(x)=0[/mm]
oder nicht?
Schreib ich das dann so in der Arbeit auf? Dann hab ich aber doch
gar nicht die genauen Randwerte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 So 11.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Wow ganz schön kompliziert, finde ich.
> Als wir letztens uns in der Schule noch mit
> Extremwertproblemen beschäftigt haben,
> hatten wir auch schon kurz Randwerte beschprochen.
Ja, aber das ist ja auch etwas ganz anderes und viel einfacher. Dort untersucht man ja, ob die Funktionswerte an den Rändern vielleicht nicht doch die relativen Maxima übertreffen (bzw. ob die Randwerte die relativen Minima nicht noch unterbieten).
> Auf jeden fall ging das ein bißchen einfacher.
> Versteh mich nicht falsch.
> Ich freu mich natürlich, dass du mir jetzt das ganze noch
> mal aufgeschrieben hast, für mich persönlich ist es aber
> immer
> einfacher wenn etwas simpel ist (in Mathe).
Deswegen hatte ich es ja auch so (als Schema) aufgeschrieben, so ganz ohne Beweise (wie es ja sonst meine Art ist).
> Vielleicht gibts noch einen einfacheren Weg?
> Denn den hab ich noch nicht so ganz verstanden. Ich mein
> wenn ich
> jetzt diese Aufgabe [mm]\frac{1}{x²}[/mm], dann müsste doch gelten
> [mm]\limes_{x\to -\infty} f(x)=0[/mm] und [mm]\limes_{x\to +\infty}f(x)=0[/mm]
>
> oder nicht?
Ja, genau, denn: Zählergrad = 0, Nennergrad = 2, also m < n (siehe 1. Fall in meinem Schema)
> Schreib ich das dann so in der Arbeit auf? Dann hab ich
> aber doch
> gar nicht die genauen Randwerte.
Die gibt es ja auch nicht, denn du verwechselst das immer noch mit Extremwertproblemen.
Beim Verhalten im Unendlichen gibt es ja auch keinen wirklichen Rand, man "geht ja unendlich weit nach links bzw. rechts".
Alles klar jetzt oder noch verwirrter?
Marc.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 So 11.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Ja jetzt ist es schon klarer.
Gut, das freut mich doch.
> hab da noch was im Buch gefunden auch zum Verhalten für
>
> [mm]x \rightarrow \infty[/mm] und
> [mm]x \rightarrow - \infty [/mm].
> Funktion [mm]f(x)= \frac{1}{4}x^4-2x²+2x[/mm].
>
> Im Buch hat man dann sowas:
> [mm]\frac{1}{4}x^4(1- \frac{8}{x²}+\frac{8}{x^4})[/mm]
> Und dann
> steht da:
> Für [mm]x \rightarrow \infty[/mm] und [mm]\rightarrow - \infty[/mm] geht der
> Klammerterm gegen 1, d.h. das Verhalten für [mm]x \rightarrow + \infty[/mm]
> bzw. [mm]x \rightarrow - \infty[/mm] wird von [mm]\frac{1}{4}x^4[/mm]
> bestimmt.
> Wenn [mm]x \rightarrow + \infty[/mm], dann [mm]f(x) \rightarrow + \infty[/mm].
>
> Wenn [mm]x \rightarrow - \infty[/mm], dann [mm]f(x) \rightarrow +\infty[/mm].
>
> Was ist das denn?
Das ist auch das Verhalten einer Funktion "im Unendlichen", aber einer ganzrationalen Funktion, auch bekannt unter dem Namen Polynomfunktion. Da macht man das so, und mein Schema für gebrochen-rationale Funktionen baut auf diesen Überlegungen auf.
Gebrochen-rationale Funktion meint übrigens Funktionen, die sich als Bruch zweier ganzrationaler Funktionen darstellen lassen.
> Wenn keine Lust hast mehr mir zu Antworten, kann ich das
> verstehen.
> Ich bombardier dich ja hier auch mit Fragen.
Das finde ich besser, als wenn du gar keine Fragen stellen würdest und eine schlechte Note schreibst. Ganz im Gegenteil also, ich finde das super, dass du fragst, nur so funktioniert Lernen und so wirst du auch keine größeren Probleme mehr in der Oberstufe haben.
Weiter so!
Der Pause-machende Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 So 11.01.2004 | | Autor: | Logan |
> Das finde ich besser, als wenn du gar keine Fragen stellen
> würdest und eine schlechte Note schreibst. Ganz im
> Gegenteil also, ich finde das super, dass du fragst, nur so
> funktioniert Lernen und so wirst du auch keine größeren
> Probleme mehr in der Oberstufe haben.
Das freut mich, dass du so darüber denkst. Dadurch, dass man Sachen, die man nicht verstanden hat, erklärt bekommt und die schließlich dann doch noch verstanden hat,
macht Lernen Spaß.(Oder zumiendest manchmal)
Danke noch mal an dich (Marc) und Yuri, dass ihr Lust und Intersse hattet, meine Fragen zu beantworten.
Bis demnächst.
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