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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Do 16.06.2005 | | Autor: | Lambda |
Hi! Ich habe schon wieder Fragen über Fragen!
Ich habe jeweils vier Funktionen gegeben:
1. f(x)= cos(x)+x
2. f(x)= [mm] cos(x)+x^{2}
[/mm]
3. f(x)= lxl-x
4. f(x)= [mm] lxl-x^{2}
[/mm]
Zu diesen Funktionen sollen jeweils die Definitionsmengen, Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkte, Symmetrie und besonders die Wertemengen herausgefunden werden.
Ich weiß leider nur, dass von der Funktion f(x)= cos(x) die Nullstellen bei [mm] \bruch{k*\pi}{2} [/mm] liegen, die Extremstellen bei [mm] k*\pi [/mm] liegen , die Wendepunkte genau wie bei den Nullstellen liegen und die Funktion achsensymmetrisch ist.
Ich kann aber nicht sagen, inwiefern das addierte x bzw. [mm] x^{2} [/mm] die Funktionsuntersuchung beeinflusst.
Bei 3. und 4. weiß ich leider überhaupt nichts, da ich mich vorher noch nciht mit lxl beschäftigt habe. Außerdem wird dies noch erschwert durch die Subtraktion von x bzw. [mm] x^{2}.
[/mm]
Kann mir jemand von euch Mathegenies bitte die genauen Rechnungen zu den einzelnen Punkten der Funktionsuntersuchung bei den oben angegebenen vier Funktionen genau erklären?
Ich brauche dringend Hilfe dabei!
Danke!
Gruß Lambda
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Hi, Lambda,
> 1. f(x)= cos(x)+x
> 2. f(x)= [mm]cos(x)+x^{2}[/mm]
> 3. f(x)= lxl-x
> 4. f(x)= [mm]lxl-x^{2}[/mm]
Wär' besser, Du würdest da 4 Einzelfragen draus machen!
>
> Zu diesen Funktionen sollen jeweils die Definitionsmengen,
> Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkte, Symmetrie und
> besonders die Wertemengen herausgefunden werden.
>
> Ich weiß leider nur, dass von der Funktion f(x)= cos(x) die
> Nullstellen bei [mm]\bruch{k*\pi}{2}[/mm] liegen,
Da musst Du aber natürlich dazusagen, dass k nur eine ungerade ganze Zahl sein darf; für geradzahlige Vielfache von [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] = alle Vielfache von [mm] \pi [/mm] ergeben sich Extremalstellen, keine Nullstellen!
> die Extremstellen
> bei [mm]k*\pi[/mm] liegen , die Wendepunkte genau wie bei den
> Nullstellen liegen und die Funktion achsensymmetrisch ist.
Genauer: Achsensymmetrisch zur y-Achse!
> Ich kann aber nicht sagen, inwiefern das addierte x bzw.
> [mm]x^{2}[/mm] die Funktionsuntersuchung beeinflusst.
Naja: Es entsteht so etwas wie eine "Schwingung" um die Achse y=x
bzw. um die Parabel [mm] y=x^{2}.
[/mm]
Für di Kurvendiskussion nützt Dir dieses Wissen aber nicht viel.
Gehen wir der Reihe nach vor:
Aufgabe 1:
f(x) = cos(x) + x.
(1) Wie sich ergeben wird, besitzt diese Funktion nur 1 Nullstelle, die etwa bei x=-0,8 liegt und nur durch ein Näherungsverfahren zu bestimmen ist.
(2) Achsensymmetrie liegt nicht vor; Punktsymmetrie zu O auch nicht (andere Symmetrien sind schwerer nachzuweisen).
(3) Extrempunkte:
f'(x) = -sin(x)+1
f''(x) = - cos(x)
f'''(x) = sin(x)
f'(x) = 0 <=> sin(x)=1 <=> x = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] 2k\pi [/mm] = [mm] (4k+1)*\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Aber:
[mm] f''((4k+1)*\bruch{\pi}{2}) [/mm] = 0
Dafür:
[mm] f'''((4k+1)*\bruch{\pi}{2}) \not=0
[/mm]
Ergebnis: An diesen Stellen liegen zwar keine Extremstellen vor (die Funktion hat also keine davon!), dafür aber Terrassenstellen.
(Auf die Berechnung der y-Koordinaten der Terrassenpunkte verzichte ich hier!)
(4) Gibt es weitere Wendepunkte außer den Terrassenpunkten?
f''(x) = 0 <=> -cos(x) =0 <=> cos(x) = 0 <=> x = [mm] (2k+1)*\bruch{pi}{2}.
[/mm]
Da
[mm] f'''((2k+1)*\bruch{\pi}{2}) =\pm1 [/mm] (je nachdem, ob k gerade oder ungerade), also jedenfalls [mm] \not=0, [/mm] liegen dort überall Wendestellen vor (abwechselnd Terrassenstellen und "einfache" Wendestellen).
So! Das überdenke erst mal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Do 16.06.2005 | | Autor: | Lambda |
Danke für die Hilfe bei Aufgabe 1! Könnte mir jemand noch bei den anderen Aufgaben helfen, vor allem bei 3 und 4, da ich damit noch nicht gearbeitet habe. Wäre hilfreich.
Danke!
Gruß Lambda
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Hi, Lambda,
noch ganz in Kürze das Wichtigste zu Aufgabe 2:
Keine Nullstellen; Tiefpunkt T(0;1) (einziger Extrempunkt); keine Wendepunkte (da f''(x) immer >0); Achsensymmetrie zur y-Achse.
Nun zu Aufgabe 3.
Merke: Betragsfunktionen möglichst bald "betragstrichfrei" schreiben:
f(x) = |x| - x = [mm] \begin{cases} x - x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x - x, & \mbox{für } x < 0\end{cases}
[/mm]
oder vereinfacht:
f(x) = |x| - x = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -2x, & \mbox{für } x < 0\end{cases}
[/mm]
Spätestens jetzt bemerkt man, dass eine "Kurvendiskussion" in diesem Fall "Schmarrn" wäre: Der Graph besteht aus 2 im Nullpunkt aneinendergesetzten Halbgeraden; rechts ist es die positive x-Achse, links die Halbgerade mit der der Gleichung y=-2x.
Schaffst Du nach diesem "Muster" die 4.Aufgabe nun alleine?
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