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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:58 Sa 18.06.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | [mm] h(x)=x^3e^x-1 [/mm] für [mm] x\in \IR
[/mm]
Untersuchen Sie h auf Monotonie und bestimmen Sie alle lokalen Extrema. |
Guten Tag,
also ich hab die Funktion zuerst abgeleitet und hab [mm] e^x(x^3+3x^2) [/mm] herausbekommen.
So jetzt muss ich auf Monotonie und lokalen Extrema untersuchen. Wir haben das nie mit der zweiten Ableitung gemacht, sondern uns den Zusammenhang zwischen Monotonie und Extrema angeschaut. Naja jetzt it x ja Element der Reelen Zahlen, ohne Einschränkungen und hab mir dann halt gedacht, einmal x<0 einzusetzen und einmal x>0 einzusetzen.
Bei x<0 ist h(x)<0 und bei x>0 ist h(x)>0...naja sowas könnte aber auch bei einer Geraden rauskommen :D...kann einer mit weiter helfen?
Danke im Voraus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Sa 18.06.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Begründen sie, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} h(x)=\infty [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow-\infty} [/mm] h(x)=-1 |
Also wenn ich für x unendlich Große Werte einsetze, so wird [mm] x^3 [/mm] unendlich gr0ß, und [mm] e^x [/mm] genau, die -1 lassen wir dann mal raus und so geht der Limes gegen Unendlich auch gegen Unendlich.
Bei gegen -unendlich hat uns unser Dozent als Tipp gegeben, mit L´Hobital zu arbeiten. Aber wieso? Wenn mein [mm] e^x [/mm] unendlich klein wird, geht es gegen 0 und damit verschwindet das x doch und das -1 bleibt...wieso dann den Hobital anweden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo durden!
> Begründen sie, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} h(x)=\infty[/mm] und [mm]\limes_{n\rightarrow-\infty}[/mm] h(x)=-1
Das muss aber unter dem Limes jeweils [mm] $\red{x}\rightarrow [/mm] ...$ lauten.
> Also wenn ich für x unendlich Große Werte einsetze, so
> wird [mm]x^3[/mm] unendlich gr0ß, und [mm]e^x[/mm] genau, die -1 lassen wir
> dann mal raus und so geht der Limes gegen Unendlich auch
> gegen Unendlich.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei gegen -unendlich hat uns unser Dozent als Tipp gegeben,
> mit L´Hobital zu arbeiten. Aber wieso? Wenn mein [mm]e^x[/mm]
> unendlich klein wird, geht es gegen 0 und damit
> verschwindet das x doch und das -1 bleibt...wieso dann den
> Hobital anweden?
Der Term [mm] $x^3$ [/mm] geht doch für [mm] $x\rightarrow-\infty$ [/mm] ebenfalls gegen [mm] $-\infty$ [/mm] und [mm] $e^x$ [/mm] gegen 0.
Es entsteht mit [mm] $-\infty*0$ [/mm] also ein unbestimmter Ausdruck.
Forme hier um zu: [mm] $x^3*e^x [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^3}{e^{-x}}$
[/mm]
Nun also weiter mit de l'Hospital.
Gruß
Loddar
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Hallo durden88,
> [mm]h(x)=x^3e^x-1[/mm] für [mm]x\in \IR[/mm]
>
> Untersuchen Sie h auf Monotonie und bestimmen Sie alle
> lokalen Extrema.
> Guten Tag,
>
> also ich hab die Funktion zuerst abgeleitet und hab
> [mm]e^x(x^3+3x^2)[/mm] herausbekommen.
>
>
> So jetzt muss ich auf Monotonie und lokalen Extrema
> untersuchen. Wir haben das nie mit der zweiten Ableitung
> gemacht, sondern uns den Zusammenhang zwischen Monotonie
> und Extrema angeschaut. Naja jetzt it x ja Element der
> Reelen Zahlen, ohne Einschränkungen und hab mir dann halt
> gedacht, einmal x<0 einzusetzen und einmal x>0
> einzusetzen.
>
> Bei x<0 ist h(x)<0 ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Na, stimmt das denn? Was ist zB. für [mm]x=-1[/mm]? [mm]h(-1)=...[/mm]
> und bei x>0 ist h(x)>0...naja sowas
> könnte aber auch bei einer Geraden rauskommen :D...kann
> einer mit weiter helfen?
Klammere noch [mm]x^2[/mm] aus bei der Ableitung:
[mm]e^x\cdot{}(x^3+3x^2)=x^2e^x\cdot{}(x+3)[/mm]
Und hier kannst du doch sehr leicht untersuchen, wann das [mm]>, =[/mm] oder [mm]<0[/mm] ist.
Ein Produkt ist =0, wenn mind. ein Faktor =0 ist.
also [mm]x^2e^x=0[/mm] oder [mm]x+3=0[/mm]
Damit kannst du doch Kandidaten für Extrema leicht finden ...
Weiter ist ein Produkt (aus 2 Faktoren) genau dann [mm]>0[/mm], wenn beide Faktoren [mm]>0[/mm] oder beide [mm]<0[/mm] sind.
[mm]x^2e^x[/mm] ist nie [mm]<0[/mm] (warum nicht?), also ist [mm]h'(x)>0\gdw x+3>0[/mm], dh. für welche [mm]x[/mm]?
Und ein Produkt (aus 2 Faktoren) ist genau dann [mm]<0[/mm], wenn ein Faktor [mm]<0[/mm] und der andere [mm]>0[/mm] ist oder umgekehrt.
Hier also mit Hinblick auf das, was ich zum ersten Faktor [mm]x^2e^x[/mm] gesagt habe?
>
> Danke im Voraus!
Gruß
schachuzipus
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