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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Mi 22.09.2010 | | Autor: | Revo28 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=x^4-2ax^3+6x^2-5 [/mm] und a [mm] \in \IR [/mm]
Für welche Werte von a hat die Funktion f keine Wendepunkte [zwei Wendepunkte]?
Warum kann für keinen Wert von a die Funktion f genau einen Wendepunkt haben ? |
Hallo Leute,
ich hoff ihr könnt mir helfen. Mein problem ist
- 1.ich weiss nicht wie ich das lösen soll.
- 2.mein Freund hat es versucht mir zu erklären ich hab es nicht verstanden da hat er mir die lösung gegeben
kann mir es jemand erklären.
Es wäre nett wenn mir es jemand schritt für schritt erklären könnte.
Hier ist die Lösung meines Freundes :
f(x) [mm] =x^4-2ax^3+6x^2-5
[/mm]
f´(x) [mm] =4x^3-6ax^2+12x [/mm] Die Bildung von Ableitung
f´´(x) [mm] =12x^2-12ax+12x [/mm] kann ich
f´´´(x) =24x-12a
Wendestellen f´´(x)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] 1,2=\bruch{a}{2}\pm\wurzel{a^2-4}
[/mm]
Wenn [mm] a^2-4<0 [/mm] ist f´´(x) [mm] \not= [/mm] 0 für a<2 keine Wendepunckte.
Für a>2: [mm] f´´´(\bruch{a}{2}+ \wurzel{a^2-4}= 12\wurzel{a^2-4}>0
[/mm]
[mm] f´´´(\bruch{a}{2}- \wurzel{a^2-4}= 12\wurzel{a^2-4}>0 [/mm] es gibt es 2 Wendepunkt
Für a=2[a=-2] mögliche Wendepunkt x=1[x=-1] aber 3.Ableitung wird an der Stelle 1[x=-1] gleic 0
Die Funktion f kann nicht genau einen Wendepunkt haben.
Könnt ihr mir helfen ?
MfG
Revo28
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Tach,
> Gegeben ist die Funktion f mit [mm]f(x)=x^4-2ax^3+6x^2-5[/mm] und a
> [mm]\in \IR[/mm]
> Für welche Werte von a hat die Funktion f keine
> Wendepunkte [zwei Wendepunkte]?
> Warum kann für keinen Wert von a die Funktion f genau
> einen Wendepunkt haben ?
> Hallo Leute,
> ich hoff ihr könnt mir helfen. Mein problem ist
> - 1.ich weiss nicht wie ich das lösen soll.
> - 2.mein Freund hat es versucht mir zu erklären ich
> hab es nicht verstanden da hat er mir die lösung gegeben
> kann mir es jemand erklären.
>
> Es wäre nett wenn mir es jemand schritt für schritt
> erklären könnte.
Als erstes sollte dir klar sein, wie man eine "normale" Kurvendiskussion durchführt.
> f(x) [mm]=x^4-2ax^3+6x^2-5[/mm]
> f'(x) [mm]=4x^3-6ax^2+12x[/mm] Die Bildung von Ableitung
> f''(x) [mm]=12x^2-12ax+12\red{x}[/mm] kann ich ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> f'''(x) =24x-12a
Eine Funktion hat einen Wendepunkt (x,y) , falls gilt:
[mm]f''(x)=0[/mm] und [mm]f'''(x)\neq 0[/mm]
Also setzt du [mm]f''(x)=0[/mm]
[mm]0\overset{!}{=}f''(x)=12x^2-12ax+12x[/mm] |:12
[mm]0\overset{!}{=}f''(x)=x^2-ax+1[/mm]
[mm]x_{1,2}=\frac{a}{2}\pm\sqrt{\frac{a^2}{4}-1}[/mm]
Damit kommen genau zwei Stellen in Frage:
[mm]x\in\{0.5*a+0.5*\sqrt{a^2-4} ,0.5*a-0.5*\sqrt{a^2-4} \}[/mm]
Zuerst fragst du dich für welche a überhaupt die Ausdrücke sinn machen. Denn eine Wurzel darfst du im Reellen nicht aus einer negativen Zahl ziehen.
Das heißt es muss(!) [mm]a^2-4\geq0[/mm] gelten. Oder in anderen Worten: Es muss gelten [mm] $|a|\geq2$
[/mm]
Dann gilt es jetzt zu testen, ob auch [mm]f'''(x)\neq 0[/mm] gilt. Also
[mm]f'''(0.5*a+0.5*\sqrt{a^2-4})=12*\sqrt{a^2-4}[/mm]
[mm]f'''(0.5*a-0.5*\sqrt{a^2-4})=-12*\sqrt{a^2-4}[/mm]
So und nun du, wann ist [mm] $f'''(x)\neq [/mm] 0$ also [mm] $-12*\sqrt{a^2-4}\neq [/mm] 0 [mm] \neq 12*\sqrt{a^2-4}$
[/mm]
Jetzt noch alles zusammenfassen:
Für $|a|<2$ gibt es Ärger mit der Wurzel --> kein Wendepunkt
Das stand oben nicht in der Lösung! Wichtig: a=-6 mach keine Probleme mit der Wurzel. Hat dein Freund übersehen.
Für $|a|=2$ ist $f'''(x)=0$ --> kein Wendepunkt
sonstige a erzielen immer zwei Wendepunkte, da gilt: Ist b ein Wendepunkt, so ist auch -b einer.
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