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| Aufgabe | Geg. ist die Funktion f(x)= [mm] \bruch{1}{6} x(x-8)^2
[/mm]
Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkt berechen.
Ermitteln sie alle Argumente x,
deren Funktionswert größer als das lokale Maximum der Funktion f(x) ist. |
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") Hallo Zusammen!
Berechnet habe ich: [mm] N_1 [/mm] (0;0) ; [mm] N_2 [/mm] (8;0) ; Min (8;0) ; Max [mm] (\bruch{8}{3};12,64) [/mm] ; WP [mm] (\bruch{16}{3};6,32)
[/mm]
Nun meine Frage: Wie stelle ich das mit den Argumenten x mathematisch dar? Mir ist klar, das ab einer Stelle x die Funktionswerte für f(x) größer werden als 12,64 (Irgendwo ab der Stelle 10,...?). Aber wie beweise ich das?
Vielen Dank schonmal für Eure Mühen. LG Markus
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> Geg. ist die Funktion f(x)= [mm]\bruch{1}{6} x(x-8)^2[/mm]
> Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkt berechen.
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> Ermitteln sie alle Argumente x,
> deren Funktionswert größer als das lokale Maximum der
> Funktion f(x) ist.
> Berechnet habe ich: [mm]N_1[/mm] (0;0) ; [mm]N_2[/mm] (8;0)
Richtig. Es wäre eventuell noch anzugeben dass [mm] N_2 [/mm] eine doppelte Nullstelle ist.
> Min (8;0);
Richtig.
>Max [mm](\bruch{8}{3};12,64)[/mm] ;
Grundsätzlich richtig.
Es mag nicht so schön sein, aber um die zweite Teilaufgabe richtig lösen zu können solltest du den Funktionswert genau ausrechnen.
Es ist
[mm] f\left(\bruch{8}{3}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1024}{81}.
[/mm]
> WP [mm](\bruch{16}{3};6,32)[/mm]
Richtig.
Hier ebenfalls: [mm] f\left(\bruch{16}{3}\right) [/mm] = [mm] \bruch{512}{81}
[/mm]
> Nun meine Frage: Wie stelle ich das mit den Argumenten x
> mathematisch dar? Mir ist klar, das ab einer Stelle x die
> Funktionswerte für f(x) größer werden als 12,64 (Irgendwo
> ab der Stelle 10,...?). Aber wie beweise ich das?
Nun, du kennst den y-Wert deines lokalen Maximums:
[mm] \bruch{1024}{81}
[/mm]
Was musst du nun rechnen:
Du überprüfst einfach, wann die Funktion gleich dem Funktionswert des Maximums wird:
f(x) = Max-y = [mm] \bruch{1024}{81}, [/mm] also wann
[mm] \bruch{1}{6} x(x-8)^2 [/mm] = [mm] \bruch{1024}{81}
[/mm]
Ein Wert wird dein Maximum-x sein, der andere die Stelle ab der alle y-Werte größer sind als das Maximum-y. Ich denke, es ist erlaubt die Gleichung in den Taschenrechner einzugeben, denn rechnerisch wird da ziemlich kompliziert, denke ich.
Auch der Taschenrechner reicht aber und wird dir das Ergebnis
10.66666 = [mm] \bruch{32}{3}
[/mm]
ausspucken 
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| Aufgabe | Geg. ist die Funktion f(x)= [mm]\bruch{1}{6} x(x-8)^2[/mm]
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Hi Stefan!
Danke Dir für Deine Antwort.
Leider darf ich nur einen Taschenrechner ohne Computer-Algebra-System verwenden und muss diesen Tern selbst ausrechen.
Wie geht das dann genau? Mein Lösungsansatz wäre:
Zuerst das Polynom Null setzen. Dazu [mm] \bruch{1024}{81} [/mm] abziehen und so nach links bringen.
Dann durch Polynomdivision eine Gleichung errechnen die ich dann mit der Mitternachtsformel ausrechnen kann. Oder gibts da was einfacheres? Gerade hier mit den Brüchen rechnet man sich ja zu Tode  ......
Das gleiche Problem habe ich eine Aufgabe später wieder. Da soll die Fläche zw. f(x) und der Gerade g: y= 2x+8 errechnet werden. Um da die Schnittpunkte zu bestimmen muss ich g(x)=f(x) setzen und habe auch wieder einen Term der mich vor große rechnerische Probleme stellt. Kennt vieleicht jemand einen einfacheren Weg? => Diese Aufgabe gebe ich gleich als seperate Frage ein....
LG Markus + Danke schonmal für Eure Mühe
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Naja wie du schon bemerkt hast kommst du auf eine Funktion, die größeren Grades als [mm] x^{2} [/mm] ist. Dann hast du mehrere Möglichkeiten:
- 1. Wenn es eine Funktion aus nur ganzen Zahlen / Brüchen ist, dann sind die Lösungen eigentlich immer Teiler des letzten Gliedes ohne x.
- 2. Möglichst geschickt ausklammern / Und lösen
- 3. Und darauf läuft es meistens hinaus: Eine Lösung "raten", z.B. mit dem Taschenrechner oder einem Graphen. --> Dann Polynomdivision und restliche Lösungen bestimmen.
Bei dir ist aber eine wichtige Information da: Eine Nullstelle ist [mm] \bruch{8}{3}, [/mm] der x-Wert des Maximums. Diese Lösung kannst du also schonmal mit Polynomdivision ausklammern und dann erhältst du eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst. Die Brüche werden schon nicht so schlimm sein (aber einen leichteren Weh kenne ich jetzt auch nicht)
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Hat super geklappt das Polynom zu lösen
[mm] (\bruch{1}{6}x^3 -\bruch{8}{3}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{26}{3}x [/mm] - [mm] \bruch{1024}{81}) [/mm] / [mm] (x-\bruch{8}{3}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}x^2 [/mm] - [mm] \bruch{20}{9}x [/mm] - [mm] \bruch{128}{27}
[/mm]
[mm] x_1= \bruch{32}{3} [/mm] ; [mm] x_2= \bruch{8}{3}
[/mm]
Meine Frage ist nur, wie komme ich auf die Nullstelle [mm] (\bruch{8}{3}) [/mm] des Polynoms. Denn [mm] \bruch{8}{3} [/mm] ist doch die Nullstelle der ersten Ableitung. Kann man in dem Fall einfach den x-Wert des Maximums nehmen? Die Verbindung ist mir noch nicht ganz klar.
Danke + LG Markus
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Wir haben die allgemeine Funktion genommen und sie mit dem y-Wert des Maximums gleichgesetzt. Wir wollen also alle x wissen, die, wenn ich sie in die Funktion einsetze, den Funktions-(y)-wert des Maximums ergeben.
Und wir wissen doch ein solches x! Welches x ergibt garantiert den Funktionswert des Maximums? Na der x-Wert des Maximums selbst, und der ist [mm] \bruch{8}{3}.
[/mm]
Also wissen wir, das eine Lösung der Gleichung garantiert [mm] \bruch{8}{3} [/mm] sein wird! (und können Polynomdivision durchführen )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 So 16.03.2008 | | Autor: | Markus110 |
Alles klar, jetzt hab ich es....Danke und schönen Abend noch.
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