Funktor gesucht zw. Gruppoiden < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X ein topologischer Raum. Sei [mm] \Pi_1(X) [/mm] die Kategorie, deren Objekte die Punkte von X sind und deren Morphismen [mm] Mor_{\Pi_1(X)}(x,y) [/mm] aus den Homotopieklassen von Wegen in X von x nach y besteht. Die Verknüpfung ist gegeben durch das Aneinanderhängen von Wegen. Sei [mm] x_0\in [/mm] X.
sei pt das Objekt von [mm] C_{\pi(X,x_0)}. [/mm]
Zu zeigen: Es gibt einen Funktor [mm] F:C_{\pi(X,x_0)}\to \Pi_1(X) [/mm] mit [mm] F(pt)=x_0, [/mm] der auf der Morphismenmenge von [mm] C_{\pi(X,x_0)} [/mm] injektiv ist. |
Hallo.
Entschuldigt dass ich hier so das Forum zu"spamme". Ich habe noch eine kleine Verständnisfrage (der letzte vorerst).
Also zunächst ist [mm] C_{\pi(X,x_0)} [/mm] Folgendes: Man hat die Fundamentalgruppe [mm] \pi(X,x_0) [/mm] und zu der erhalten wir die Kategorie [mm] C_{\pi(X,x_0)} [/mm] mit genau einem Objekt pt und [mm] Mor_{ C_{\pi(X,x_0)} }(pt,pt)=\pi(X,x_0). [/mm] Die Komposition ist auch hier das Verknüpfung von Wegen. Bzw eigentlich deren Homotopieklassen.
Ich dachte mir, der Funktor zu pt ist [mm] F:C_{\pi(X,x_0)}\to \Pi_1(X)
[/mm]
muss dann halt tun: [mm] F(pt)=x_0
[/mm]
und es müsste doch dann nur einen Morphismus in [mm] :C_{\pi(X,x_0)} [/mm] geben, also die Homotopieklasse des "Identitätsweges der Konstant =pt ist und dieser muss durch F auf die Homotopieklasse der Wege geschickt werden, die im Punkt [mm] x_0 [/mm] geschlossen sind.
Also ich kriege den Funktor nicht richtig zusammen, vielleicht muss man noch sagen, wie die Relation von pt zu [mm] x_0 [/mm] sein soll? Wäre super, wenn mir nochmal jemand behilflich sein könnte. Glaube nicht dass das so passt, zumindest wäre die Aufgabenstellungen sonst unnötig (die AUfgabe geht noch weiter, aber mir geht es nur um den Funktor)
Lieben Gruß
PS: Wenn ich mal wieder Luft hab kurz, versuche ich mich mal für all die Gute Hilfe die ich schon bekommen habe für die anderen Posts zu revangieren und hier auch wieder mitzuhelfen und andere bei ihren AUfgaben zu helfen. Sowas mache ich eigentlich auch gerne.
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Vorab: Ich bin nicht super-vertraut mit Topologie, aber ich versuche mal ein bisschen zu helfen, beziehungsweise einfach nur die Definitionen zu entpacken.
> Sei X ein topologischer Raum. Sei [mm]\Pi_1(X)[/mm] die Kategorie,
> deren Objekte die Punkte von X sind und deren Morphismen
> [mm]Mor_{\Pi_1(X)}(x,y)[/mm] aus den Homotopieklassen von Wegen in X
> von x nach y besteht. Die Verknüpfung ist gegeben durch
> das Aneinanderhängen von Wegen. Sei [mm]x_0\in[/mm] X.
> sei pt das Objekt von [mm]C_{\pi(X,x_0)}.[/mm]
Man nennt diese Kategorie auch das Fundamentalgruppoid. Ein Gruppoid ist einfach eine Kategorie, deren sämtlichen Pfeile Isomorphismen sind. Entsprechend ist ein Gruppoid mit nur einem Objekt eine Gruppe, genauso wie eine Kategorie mit nur einem Objekt ein Monoid ist.
> Zu zeigen: Es gibt einen Funktor [mm]F:C_{\pi(X,x_0)}\to \Pi_1(X)[/mm]
> mit [mm]F(pt)=x_0,[/mm] der auf der Morphismenmenge von
> [mm]C_{\pi(X,x_0)}[/mm] injektiv ist.
> Hallo.
> Entschuldigt dass ich hier so das Forum zu"spamme". Ich
> habe noch eine kleine Verständnisfrage (der letzte
> vorerst).
>
> Also zunächst ist [mm]C_{\pi(X,x_0)}[/mm] Folgendes: Man hat die
> Fundamentalgruppe [mm]\pi(X,x_0)[/mm] und zu der erhalten wir die
> Kategorie [mm]C_{\pi(X,x_0)}[/mm] mit genau einem Objekt pt und
> [mm]Mor_{ C_{\pi(X,x_0)} }(pt,pt)=\pi(X,x_0).[/mm] Die Komposition
> ist auch hier das Verknüpfung von Wegen. Bzw eigentlich
> deren Homotopieklassen.
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> Ich dachte mir, der Funktor zu pt ist [mm]F:C_{\pi(X,x_0)}\to \Pi_1(X)[/mm]
>
> muss dann halt tun: [mm]F(pt)=x_0[/mm]
> und es müsste doch dann nur einen Morphismus in
> [mm]:C_{\pi(X,x_0)}[/mm] geben, also die Homotopieklasse des
> "Identitätsweges der Konstant =pt ist und dieser muss
> durch F auf die Homotopieklasse der Wege geschickt werden,
> die im Punkt [mm]x_0[/mm] geschlossen sind.
Ich kann leider nicht genau nachvollziehen, was du hier sagen möchtest. Die Fundamentalgruppe hat ja nur ein Objekt pt und wir wissen, dass [mm] $F(pt)=x_0. [/mm] $ Wenn wir uns also einen Pfeil $ [mm] pt\to [/mm] pt $ angucken, muss dessen Bild ein Pfeil $ [mm] x_0\to x_0 [/mm] $ sein. Unser Funktor ist also durch die Abbildung $ Hom (pt, [mm] pt)\to [/mm] Hom [mm] (x_0, x_0) [/mm] $ bereits festgelegt. Nun sind aber doch die Elemente der ersten Menge einfach Schleifen auf [mm] x_0 [/mm] (identifiziert modulo Homotopie), und genauso die Elemente der zweiten Menge. Der Funktor tut also gar nichts, beziehungsweise ist nur eine Inklusion.
> Also ich kriege den Funktor nicht richtig zusammen,
> vielleicht muss man noch sagen, wie die Relation von pt zu
> [mm]x_0[/mm] sein soll? Wäre super, wenn mir nochmal jemand
> behilflich sein könnte. Glaube nicht dass das so passt,
> zumindest wäre die Aufgabenstellungen sonst unnötig (die
> AUfgabe geht noch weiter, aber mir geht es nur um den
> Funktor)
>
> Lieben Gruß
>
> PS: Wenn ich mal wieder Luft hab kurz, versuche ich mich
> mal für all die Gute Hilfe die ich schon bekommen habe
> für die anderen Posts zu revangieren und hier auch wieder
> mitzuhelfen und andere bei ihren AUfgaben zu helfen. Sowas
> mache ich eigentlich auch gerne.
Wir müssen uns hier auch gar nicht mit topologischen Räumen herumschlagen.
Sei C irgendeine Kategorie und O eine Teilmenge der Objekte von C. Dann haben wir eine Kategorie, welche als Objekte alle Elemente von O hat und als Pfeile zwischen solchen alle Pfeile zwischen den beiden in C. Wir nennen D die volle Unterkategorie der Objekte aus O.
Die Inklusion [mm] $D\to [/mm] C $ ist sicherlich ein Funktor, denn sie ist verträglich mit Komposition und Identität.
Wenn jetzt C nur Isomorphismen enthält und O nur ein Objekt X, dann ist D einfach nur die Menge der Pfeile [mm] $X\to [/mm] X $, da diese alle Isomorphismen sind, also einfach nur Aut(X).
Und das ist die Feststellung hier. Die Automorphismengruppe eines Punktes eines topologischen Raumes in dessen Fundamentalgruppoid ist die Fundamentalgruppe mit diesem Basispunkt, und die kann ich selbstverständlich in das Fundamentalgruppoid einbetten und erhalte einen Funktor der volltreu ist. Das ist aber überhaupt nichts großes.
Man könnte analog eine Aufgabe wiefolgt stellen: Sei $ X $ eine Menge, $ Sym (X) $ die Gruppe die bijektiven Selbstabbildungen von $ X $, $ [mm] C_{Sym (X)} [/mm] $ die Kategorie mit nur einem Objekt pt und Hom (pt, pt)=Sym (X) $. Man zeige, dass es einen Funktor $ [mm] C_{Sym (X)}\to [/mm] Set $ gibt, welcher pt auf X schickt und injektiv auf die Pfeile von $ [mm] C_{Sym (X)} [/mm] $ wirkt.
Das klingt zwar toll uns kompliziert, aber es passiert überhaupt nichts.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Mi 22.10.2014 | | Autor: | Schachtel5 |
Achso verstehe, danke dir.
Ich hatte den Funktor erst sogar gedacht dass der Funktor so sein müsste, aber irgendwie kam mir das zu banal vor.
Gut, dass du hier nochmal herausgestellt hast, was hier die Feststellung ist und was die Nachricht ist, die uns durch die Aufgabe mitgegeben wird.
Liebe Grüße
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Im Übrigen war dies deine zweite Frage innerhalb von einer Woche. Du spamst also keineswegs  Ich hoffe, dass dir noch Mitglieder weiterhelfen können, sollte es noch topologischer werden, denn ich steige dann aus. Alles was ich weiß, ist hier und da in der Kategorientheorie aufgeschnappt, beziehungsweise aus der Analysis I abstrahiert. Es freut mich jedoch, wenn dir meine Beiträge bis jetzt weitergeholfen haben.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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