Fußpunkt Lotes < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 So 23.02.2014 | | Autor: | Suji |
| Aufgabe | <br>
Hallo ihr Liebe,
ich habe dieses Bsp versucht zu lösen jedoch bin ich denke ich gescheitert. Könnte mir vielleicht jemand einen Lösungsvorschlag zukommen lassen? Bin für jede Hilfe sehr dankbar!!
Das Bsp lautet (b) ist nicht wichtig für mich ich wollte es nur der vollständigkeitshalber auch anführen.
Fällen Sie vom Punkt P(1,2,3) das Lot auf die Ebene, die durch x-y-z=4 beschrieben wird und berechnen Sie
a) den Fußpunkt des Lotes,
b)den kürzesten Abstand des Punktes von der Ebene.
Lg Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 So 23.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> Hallo ihr Liebe,
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> ich habe dieses Bsp versucht zu lösen jedoch bin ich denke
> ich gescheitert. Könnte mir vielleicht jemand einen
> Lösungsvorschlag zukommen lassen? Bin für jede Hilfe sehr
> dankbar!!
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> Das Bsp lautet (b) ist nicht wichtig für mich ich wollte
> es nur der vollständigkeitshalber auch anführen.
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> Fällen Sie vom Punkt P(1,2,3) das Lot auf die Ebene, die
> durch x-y-z=4 beschrieben wird und berechnen Sie
> a) den Fußpunkt des Lotes,
> b)den kürzesten Abstand des Punktes von der Ebene.
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> Lg Danke!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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ein Normalenvektor der Ebene (d.h. ein Vektor, der "senkrecht auf die Ebene
steht") ist durch
[mm] $\vec{n}=\vektor{1\\-1\\-1}$
[/mm]
gegeben (warum?).
Um (a) zu lösen berechne den Schnittpunkt der gegebenen Ebene mit der
durch
$g [mm] \colon [/mm] $ [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{1\\2\\3}+r*\vektor{1\\-1\\-1}$ [/mm] ($r [mm] \in \IR$)
[/mm]
definierten Gerade.
(Dann ist (b) auch einfach zu lösen... wie?)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 So 23.02.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S.
Hinweis: Man kann nun erst die Ebene in Parameterform bringen (rein der
Übung wegen solltest Du diesen Weg auch mal durchrechnen), aber am
Einfachsten ist es so:
[mm] $x=x_1=1+r\,,$ $y=x_2=2-r$ [/mm] und [mm] $z=x_3=3-r$
[/mm]
in
$x-y-z=4$
einsetzen - damit dann [mm] $r\,$ [/mm] bestimmen (und wie's weitergeht, ist dann klar,
oder?).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 So 23.02.2014 | | Autor: | Suji |
Ich denke ich habe das viel umständlicher gemacht, kann man das so auch machen oder ist meine Variante falsch? Ich bin da so rangegangen:
1)habe den gegebenen Punkt skizziert und einen Fußpunkt F oder Vektor f. also in meiner Skizze.
2)Dann habe ich die Koordinatenform der Ebene in die Parameterform umgewandelt.
3)Nun habe ich den Normalvektor der Ebene bestimmt. was gleichzeitig der Richtungsvektor des Lotes ist?
wäre bei mir (0;-1;-1)
4)Als nächstes habe ich die Lot Gleichung aufgestellt:
f = (1;2;3) + r * (0;-1;-1)
5)Dann habe ich die Ebenengleichung mit der Lotgleichung gleichgesetzt und somit ein Gleichungssystem für 3 unbekannte inkl. r, ich löse also für r auf und kriege -4 raus. nun setzte ich in die Lotgleichung ein :
f = ( 1;2;3) + 4 * (0;-1;-1) = (1;-2;-1)
6)nun rechne ich f - den punkt also um die länge herauszubekommen also den Vektor der Länge:
(1;-2;-1) - (1;2;3) = ( 0; -4; -4)
7) nun kann ich den Abstand ermitteln:
d(P/E) = |d| und das ergibt dann 5,31.
Ist das so irgendwie richtig ?
Lg
P.s.: danke für die schnelle Antwort :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 So 23.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Suji,
> Ich denke ich habe das viel umständlicher gemacht, kann
> man das so auch machen oder ist meine Variante falsch? Ich
> bin da so rangegangen:
>
> 1)habe den gegebenen Punkt skizziert und einen Fußpunkt F
> oder Vektor f. also in meiner Skizze.
>
> 2)Dann habe ich die Koordinatenform der Ebene in die
> Parameterform umgewandelt.
wie gesagt, kann man machen, sollte man zur Übung gerne auch mal
machen, wird aber umständlicher! (Wie sieht denn Deine Parameterform
aus? Solche sind ja nicht eindeutig!)
> 3)Nun habe ich den Normalvektor der Ebene bestimmt. was
> gleichzeitig der Richtungsvektor des Lotes ist?
> wäre bei mir (0;-1;-1)
"Den" Normalenvektor gibt es nicht - Du kannst einen(!) Normalenvektor
bestimmen. Selbst, wenn bei Euch "Normalenvektoren" auch auf Länge 1
normiert sein sollten, ist der nur bis auf Richtung eindeutig (d.h. "Vorzeichen").
Und Dein Normalenvektor ist falsch:
Bei einer Ebene
[mm] $\{(x,y,z) \in \IR^3: ax+by+cz=d\}$
[/mm]
kann man "Normalenvektoren" [mm] $\vec{n}$ [/mm] immer direkt ablesen, sie sind linear
abhängig von:
[mm] $\vec{n}_0=\vektor{a\\b\\c}\,.$
[/mm]
(Nur nichttriviale interessieren uns hier!)
Bei Dir ist [mm] $a=1\,$ [/mm] und [mm] $b=c=-1\,.$ [/mm]
> 4)Als nächstes habe ich die Lot Gleichung aufgestellt:
>
> f = (1;2;3) + r * (0;-1;-1)
Siehe oben:
[mm] $f=(1,2,3)+r*(\red{1},-1,-1)\,.$
[/mm]
> 5)Dann habe ich die Ebenengleichung mit der Lotgleichung
> gleichgesetzt und somit ein Gleichungssystem für 3
> unbekannte inkl. r, ich löse also für r
Naja, der Punkt [mm] $f\,$ [/mm] muss nun in der Ebene liegen, also muss
[mm] $\textbf{\blue{1}}*(1+\red{r*1})+(\textbf{\blue{-1}})*(2-r)+(\textbf{\blue{-1}})*(3-r)=4.$
[/mm]
Die dickmarkierten blauen Zahlen sind die Koordinaten von [mm] $\vec{n}_0.$ [/mm] (Die Du
aber eh aus der Ursprungsgleichung der Ebene kennst.)
> auf und kriege -4
> raus.
Rechne das nochmal nach, dann sollte
[mm] $r=8/3\,$
[/mm]
rauskommen, wenn Du Deinen Fehler+Folgefehler korrigierst!
> nun setzte ich in die Lotgleichung ein :
>
> f = ( 1;2;3) + 4 * (0;-1;-1) = (1;-2;-1)
Siehe oben! [mm] ($r\,$ [/mm] ist falsch und Dein Normalenvektor auch!)
> 6)nun rechne ich f - den punkt also um die länge
> herauszubekommen also den Vektor der Länge:
>
> (1;-2;-1) - (1;2;3) = ( 0; -4; -4)
Ja, jetzt berechnest Du [mm] $p-f\,,$ [/mm] um dann [mm] $\|p-f\|$ [/mm] auszurechnen. Nur stimmt Dein
[mm] $f\,$ [/mm] hier nicht! (Eigentlich berechnest Du [mm] $f-p\,,$ [/mm] aber das ist ja egal, wenn
es nur um die Länge geht...)
> 7) nun kann ich den Abstand ermitteln:
>
> d(P/E) = |d| und das ergibt dann 5,31.
Hier wäre das dann doch
[mm] $\sqrt{16+16}=\sqrt{32}\,,$
[/mm]
da sagt mein TR aber 5,65...
> Ist das so irgendwie richtig ?
Wie gesagt, ich denke, logisch machst Du da das, was ich im P.S. gesagt
habe, aber Dein Normalenvektor ist falsch, woraus sich alle folgenden
Fehler natürlich in Folge ergeben.
Zur Kontrolle:
[mm] $r=8/3\,,$
[/mm]
[mm] $f=(11/3,\;-2/3,\;1/3)$
[/mm]
habe ich berechnet.
Gruß,
Marcel
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