GLS mit 6 Unbekannten und 3x4 < Softwaretechnik+Pro < Praktische Inform. < Hochschule < Informatik < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Di 10.11.2009 | | Autor: | AndreaK |
| Aufgabe | ( [mm] m_x [/mm] ) = ( a_11 a_12 ) * ( [mm] v_x [/mm] ) + ( [mm] m_x_0 [/mm] )
( [mm] m_y [/mm] ) ( a_21 a_22 ) ( [mm] v_y [/mm] ) + ( [mm] m_y_0 [/mm] )
Bestimme die sechs Unbekannten a_ij und m_x0 und m_y0 anhand von drei kalibrierten Wertepaaren, jeweils [mm] m_x, m_y, v_x [/mm] und [mm] v_y, [/mm] die gegeben sind. |
Uff, ich hab mir beim Formulieren des Betreffs fast nen Ast abgebrochen,
weil ich nicht wusste, wie ich es besser erklären soll.
Ich habe folgende Gleichung:
( [mm] m_x [/mm] ) = ( a_11 a_12 ) * ( [mm] v_x [/mm] ) + ( [mm] m_x_0 [/mm] )
( [mm] m_y [/mm] ) ( a_21 a_22 ) ( [mm] v_y [/mm] ) + ( [mm] m_y_0 [/mm] )
[mm] m_x, m_y [/mm] : 2-zeiliger Vektor
a_ij : 2x2 Matrix mit 4 gesuchten Unbekannten
[mm] v_x, v_y [/mm] : 2-zeiliger Vektor v
[mm] m_x_0, m_y_0: [/mm] 2-zeiliger Vektor mit 2 gesuchten Unbekannten
Das ganze ist eine Kalibrierung für ein EyeTracking-System, das auf
einem Vektor zwischen zwei bestimmten Punkten im Auge basiert. Dieser
Vektor ist der Vektor v.
In der Kalibrierung meines Systems werden jetzt 3 zusammengehörige Werte
bestimmt, indem der Nutzer nacheinander auf 3 bekannte Punkte
(Pixelkoordinaten) gucken soll. Ich bekomme also:
1. bekannten Pixel [mm] m_1 [/mm] (linke Seite der Gleichung) und dazugehöriger
Vektor [mm] v_1.
[/mm]
2. bekannten Pixel [mm] m_2 [/mm] und dazugehöriger Vektor [mm] v_2.
[/mm]
3. bekannten Pixel [mm] m_3 [/mm] und [mm] v_3.
[/mm]
Auf dem Papier ist mir ganz klar, wie ich das löse: Mit einem Wertepaar
anfangen, einsetzen, umformen, nächstes Wertepaar einsetzen, und die
Formeln "kreuz und quer" ineinander einsetzen :) .
Dann hätte ich am Ende alle 6 Unbekannten a_ij und m_x0 und m_y0. Danach
würde ich dieselbe Formel anwenden, um auszurechnen, wo der User jetzt
hinguckt, indem ich den Vektor v als Eingabe nehme, und [mm] m_x [/mm] und [mm] m_y [/mm] ist
dann mein Ergebnis.
ABER: Wie programmiere ich die Lösung dieses GLS?
Ich schreibe in C++ mit OpenCV.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.mikrocontroller.net/forum/pc-programmierung
http://www.c-plusplus.de/forum/viewforum-var-f-is-43.html
http://www.wer-weiss-was.de/app/service/board_navi?ArtikelID=5545138;ThemenID=158
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:34 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ( [mm]m_x[/mm] ) = ( a_11 a_12 ) * ( [mm]v_x[/mm] ) + ( [mm]m_x_0[/mm] )
> ( [mm]m_y[/mm] ) ( a_21 a_22 ) ( [mm]v_y[/mm] ) + ( [mm]m_y_0[/mm] )
> Bestimme die sechs Unbekannten a_ij und m_x0 und m_y0
> anhand von drei kalibrierten Wertepaaren, jeweils [mm]m_x, m_y, v_x[/mm]
> und [mm]v_y,[/mm] die gegeben sind.
> Uff, ich hab mir beim Formulieren des Betreffs fast nen
> Ast abgebrochen,
> weil ich nicht wusste, wie ich es besser erklären soll.
>
> Ich habe folgende Gleichung:
> ( [mm]m_x[/mm] ) = ( a_11 a_12 ) * ( [mm]v_x[/mm] ) + ( [mm]m_x_0[/mm] )
> ( [mm]m_y[/mm] ) ( a_21 a_22 ) ( [mm]v_y[/mm] ) + ( [mm]m_y_0[/mm] )
>
> [mm]m_x, m_y[/mm] : 2-zeiliger Vektor
> a_ij : 2x2 Matrix mit 4 gesuchten Unbekannten
> [mm]v_x, v_y[/mm] : 2-zeiliger Vektor v
> [mm]m_x_0, m_y_0:[/mm] 2-zeiliger Vektor mit 2 gesuchten
> Unbekannten
Sei [mm]A = \pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }[/mm] und $m = [mm] \pmat{ m_{x0} \\ m_{y0} }$.
[/mm]
> Das ganze ist eine Kalibrierung für ein
> EyeTracking-System, das auf
> einem Vektor zwischen zwei bestimmten Punkten im Auge
> basiert. Dieser
> Vektor ist der Vektor v.
>
> In der Kalibrierung meines Systems werden jetzt 3
> zusammengehörige Werte
> bestimmt, indem der Nutzer nacheinander auf 3 bekannte
> Punkte
> (Pixelkoordinaten) gucken soll. Ich bekomme also:
> 1. bekannten Pixel [mm]m_1[/mm] (linke Seite der Gleichung) und
> dazugehöriger
> Vektor [mm]v_1.[/mm]
> 2. bekannten Pixel [mm]m_2[/mm] und dazugehöriger Vektor [mm]v_2.[/mm]
> 3. bekannten Pixel [mm]m_3[/mm] und [mm]v_3.[/mm]
Du willst also $A$ und $m$ so bestimmen, dass [mm] $m_i [/mm] = A [mm] v_i [/mm] + m$ erfuellt ist fuer $i = 1, 2, 3$. Sei nun [mm] $m_i [/mm] = [mm] \pmat{ m_{x,i} \\ m_{y,i} }$ [/mm] und [mm] $v_i [/mm] = [mm] \pmat{ v_{x,i} \\ v_{y,i} }$; [/mm] dann hast du folgendes Gleichungssystem:
[mm] $\pmat{ v_{x,1} & v_{y,1} & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & v_{x,1} & v_{y,1} & 0 & 1 \\ v_{x,2} & v_{y,2} & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & v_{x,2} & v_{y,2} & 0 & 1 \\ v_{x,3} & v_{y,3} & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & v_{x,3} & v_{y,3} & 0 & 1 \\ } \pmat{ a_{11} \\ a_{12} \\ a_{21} \\ a_{22} \\ m_{x,0} \\ m_{y,0} } [/mm] = [mm] \pmat{ v_{x,1} \\ v_{y,1} \\ v_{x,2} \\ v_{y,2} \\ v_{x,3} \\ v_{y,3} }$
[/mm]
wobei der Vektor [mm] $\pmat{ a_{11} \\ a_{12} \\ a_{21} \\ a_{22} \\ m_{x,0} \\ m_{y,0} }$ [/mm] gesucht ist. Dieses kannst du nun genauso wie jedes andere LGS auch loesen: fuehre eine Gauss-Elemination durch (oder etwas numerisch besseres).
Uebrigens: dir ist hoffentlich bewusst dass die Flaeche mit den drei Pixeln absolut senkrecht zur Schaurichtung stehen muss? Sobald auch nur eine kleine perspektivische Verzerrung hinzukommt, funktioniert dein Modell nicht mehr. Wenn du ein projektives Modell benutzen willst, schau z.B. mal hier: dazu brauchst du dann allerdings vier Referenzpunkte.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 12.11.2009 | | Autor: | AndreaK |
Ah, danke! Ich habe allerdings eine andere, ganz einfach Lösung blöderweise übersehen:
Das Gleichungssystem einfach symbolisch zu lösen und nach den 6 Unbekannten auflösen (MATLAB, von Hand wirds ganz schön lang), und dann diese Formeln fest einprogrammieren. Ziemlich simpel.
Deine Matrixlösung a la A*x = b sieht auch gut aus, allerdings müsste der Ergebnisvektor mit den mx1, mx2, mx3, my1 usw. voll sein, und nicht mit den vxi, ne?
Zu deinem Hinweis: Nein, bewusst war mir das nicht. Erstens habe ich diese Methode von Autoren eines anderen Papers, die genau dieselbe Anwendung haben wollen. Zweitens: Wär die Verschiebung denn SO fatal? Es würde ja nicht gleich alles "in die Luft fliegen", sondern sich einfach nur ein bißchen verschieben. Oder? Da ich mit meiner Webcam keine spitzenmäßige Auflösung habe, werde ich eh keine absolute Genauigkeit hinbekommen, das ist also auch gar nicht verlangt.
Andere Eye-Tracking-Systeme benutzen fette Industriekameras mit pan/tilt und noch Stereo-Kameras für die 3D-Lokalisierung des Auges, die most sophisticated Algorithmen, 3D-Kalibrierung des Augballs und der Hornhaut-Fläche, und und und. Die bekommen damit Winkelgenauigkeiten von 0,5 Grad oder so.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ah, danke! Ich habe allerdings eine andere, ganz einfach
> Lösung blöderweise übersehen:
> Das Gleichungssystem einfach symbolisch zu lösen und nach
> den 6 Unbekannten auflösen (MATLAB, von Hand wirds ganz
> schön lang), und dann diese Formeln fest einprogrammieren.
> Ziemlich simpel.
Ja, das geht auch.
> Deine Matrixlösung a la A*x = b sieht auch gut aus,
> allerdings müsste der Ergebnisvektor mit den mx1, mx2,
> mx3, my1 usw. voll sein, und nicht mit den vxi, ne?
Nein, das ist schon so richtig. Du suchst ja mx1 und Konsorten, und nicht die vxi.
> Zu deinem Hinweis: Nein, bewusst war mir das nicht. Erstens
> habe ich diese Methode von Autoren eines anderen Papers,
> die genau dieselbe Anwendung haben wollen. Zweitens: Wär
> die Verschiebung denn SO fatal?
Nun, das haengt davon ab wie stark die perspektivische Verzerrung ist. Guck dir z.B. ![[]](/images/popup.gif) dieses Bild an, und nehme an dass die Referenzpunkte die obere linke, die untere linke und die obere rechte Ecke der Tafel sind. Grad in der unteren rechten Ecke geht die Umrechnung mit einem linearen Modell ziemlich in die Hose.
Ob solche "extremeren" Beispiele fuer deine Anwendung wichtig sind musst du selber wissen.
> Es würde ja nicht gleich
> alles "in die Luft fliegen", sondern sich einfach nur ein
> bißchen verschieben. Oder? Da ich mit meiner Webcam keine
> spitzenmäßige Auflösung habe, werde ich eh keine
> absolute Genauigkeit hinbekommen, das ist also auch gar
> nicht verlangt.
Ja, das geht eh nicht. Allerdings liegt man auch bei nicht allzu grossen Verzerrungen schon etwas daneben in gewissen Ecken, und so viel mehr Aufwand ist ein projektives Modell jetzt auch wieder nicht (ausser das man halt vier Referenzpunkte braucht).
War auch nur so eine Anmerkung :) Wie genau das Setting bei dir aussieht weiss ich halt nicht, also wie die Ebene mit den drei Referenzpunkten zur Kamera steht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Fr 13.11.2009 | | Autor: | AndreaK |
Gut, das ist klar, dass ich gewisse Sachen selber wissen und entscheiden muss, weil nur ich mein Setup kenne. Das ist übrigens ganz simpel: Mensch sitzt vorm Computer in normaler Haltung, und die Kamera steht auf einem Stativ daneben. Die "Tafel" aus deinem Beispiel ist also direkt der PC-Monitor.
Gut, damit wär meine Frage dann glaub ich gelöst! Danke noch mal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Fr 13.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gut, das ist klar, dass ich gewisse Sachen selber wissen
> und entscheiden muss, weil nur ich mein Setup kenne. Das
> ist übrigens ganz simpel: Mensch sitzt vorm Computer in
> normaler Haltung, und die Kamera steht auf einem Stativ
> daneben. Die "Tafel" aus deinem Beispiel ist also direkt
> der PC-Monitor.
In dem Fall kann eine perspektivische Verzerrung schon leicht auftreten, da die Kamera vermutlich normalerweise nicht so ausgerichtet sein wird, dass die Blickrichtung der Kamera wirklich senkrecht zur Monitorflaeche ist. Wie stark sie dann ist -- das ist eine gute Frage.
Vielleicht waer's hier sinnvoll, ein paar Experimente zu machen und zu schauen, wie das in der Praxis aussieht. Wie man perspektivisch umrechnet steht ja im anderen Thread, und dort findet sich auch ein C++-Programm was dies macht.
Viel Spass beim Forschen zumindest :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mo 18.01.2010 | | Autor: | AndreaK |
| Aufgabe | | Was ist der Unterschied zwischen einer linearen Abbildung und einer kollinearen Abbildung und wie kann man sich dies geometrisch veranschaulichen? |
Hallo noch einmal!
In der Zwischenzeit hat sich viel getan und ich habe herausgefunden, dass meine Herangehensweise aus der Fragestellung falsch bzw. nicht ausreichend war. Das war die 2-dimensionale Methode mit 3 Referenzpunkten auf dem Monitor.
In der Ecke, in der ich keinen Referenzpunkt hatte, ging es immer in die Hose.
Ich habe dann also den Lösungsvorschlag von Al-Chwarizmi von hier umgesetzt und angewendet, und DAS funktioniert! Sein Post vom 13.07.2009, 22:56, die Methode mit den homogenen Koordinaten.
Meine Frage nach Hilfe bezieht sich nun auf die Geometrie, die dahinter steckt, da ich dies nicht so ganz verstehe. Auch die Nomenklatur ist mir nicht ganz klar.
Al-Chwarizmi bezeichnet die neue Methode als eine, die Koordinaten in das "zentralperspektivisch kollineare Koordinatensystems" der anderen Paramter überführt. Zentralperspektive ist klar, ich habe einen Blickpunkt, von dem fächermäßig meine Sehstrahlen auf die Projektionsebene gehen. "Gegenteil" sozusagen wär die orthographische Projektion, wo alle diese Sehstrahlen parallel laufen und mein Blickpunkt im Unendlichen liegt.
Wie lautet der Name meiner alten Methode? "Lineare Abbildung"? Wie heißt meine neue Methode? "Kollineare Abbildung"? Ich verstehe, geometrisch gesehen, nicht, warum die alte Methode nicht funktioniert hat. Lineare Algebra ist bei mir schon länger her und ich stand schon häufiger damit auf Kriegsfuß...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Sa 30.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Was ist der Unterschied zwischen einer linearen Abbildung
> und einer kollinearen Abbildung und wie kann man sich dies
> geometrisch veranschaulichen?
>
> Hallo noch einmal!
>
> In der Zwischenzeit hat sich viel getan und ich habe
> herausgefunden, dass meine Herangehensweise aus der
> Fragestellung falsch bzw. nicht ausreichend war. Das war
> die 2-dimensionale Methode mit 3 Referenzpunkten auf dem
> Monitor.
Ok.
> In der Ecke, in der ich keinen Referenzpunkt hatte, ging es
> immer in die Hose.
Ja, das ist nicht so verwunderlich.
> Ich habe dann also den Lösungsvorschlag von Al-Chwarizmi
> von hier umgesetzt und
> angewendet, und DAS funktioniert! Sein Post vom 13.07.2009,
> 22:56, die Methode mit den homogenen Koordinaten.
Wundert mich jetzt nicht 
> Meine Frage nach Hilfe bezieht sich nun auf die Geometrie,
> die dahinter steckt, da ich dies nicht so ganz verstehe.
> Auch die Nomenklatur ist mir nicht ganz klar.
>
> Al-Chwarizmi bezeichnet die neue Methode als eine, die
> Koordinaten in das "zentralperspektivisch kollineare
> Koordinatensystems" der anderen Paramter überführt.
> Zentralperspektive ist klar, ich habe einen Blickpunkt, von
> dem fächermäßig meine Sehstrahlen auf die
> Projektionsebene gehen. "Gegenteil" sozusagen wär die
> orthographische Projektion, wo alle diese Sehstrahlen
> parallel laufen und mein Blickpunkt im Unendlichen liegt.
>
> Wie lautet der Name meiner alten Methode? "Lineare
> Abbildung"? Wie heißt meine neue Methode? "Kollineare
> Abbildung"?
Bei deiner alten Methode hast du eine lineare Abbildung verwendet, bei der neuen eine projektive Abbildung bzw. auch kollineare Abbilung.
> Ich verstehe, geometrisch gesehen, nicht, warum
> die alte Methode nicht funktioniert hat. Lineare Algebra
> ist bei mir schon länger her und ich stand schon häufiger
> damit auf Kriegsfuß...
Lineare Abbilungen koennen keine perspektivischen Projektionen darstellen. Wenn du aber nicht genau senkrecht auf eine Flaeche schaust, hast du immer eine perspektivische Verzerrung, die von so einer Projektion herkommt. Sprich, diese prespektivische Verzerrung bekommst du mit einer linearen Abbildung nicht weg, mit einer projektiven aber schon.
Wenn du es dir schoen veranschaulichen willst, nimm ein DIN-A4-Blatt und schau erst senkrecht drauf, und dann aus einem anderen Blickwinkel. Du wirst sehen, dass zwei Seiten, die vorher parallel waren, nachher nicht mehr umbedingt parallel sind. Eine lineare Abbildung macht aus parallelen Seiten aber immer parallele Seiten. Deswegen kommst du damit hier nicht weiter.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Do 11.02.2010 | | Autor: | AndreaK |
| Aufgabe | | Zwischen welchen beiden Systemen liegt eine perspektivische Verzerrung vor? Zwischen der Kamera und dem Gesicht des Benutzers, oder zwischen dem Benutzer und dem Monitor? |
Danke erstmal wieder für deine Antwort!
Zu dem "senkrecht auf die Fläche schauen": Welche Sehstrahlen sind das bei mir? Geht es um den Weg von der Kamera zu meinem Gesicht (der freilich nicht 100%ig senkrecht ist, da die Kamera zu mir hoch schaut)? Oder um den Weg von meinen Augen zu der Monitorfläche (der fast senkrecht ist, allerdings natürlich nie exakt)?
Der Aufbau ist bei mir ja so: Die Kamera steht neben dem Monitor und ist auf mein Gesicht gerichtet, und ich wiederum sitze natürlich normal vor dem Monitor.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Do 11.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zwischen welchen beiden Systemen liegt eine perspektivische
> Verzerrung vor? Zwischen der Kamera und dem Gesicht des
> Benutzers, oder zwischen dem Benutzer und dem Monitor?
Beim Blick der Kamera auf den Monitor.
Der Blick des Menschen auf den Monitor hat auch eine perspektivische Verzerrung, allerdings "rechnet" das Gehirn das von alleine raus. Die Kamera hingegen tut das nicht (wenn man nicht gerade ein Tilt/Shift-Objektiv verwendet)
> Danke erstmal wieder für deine Antwort!
>
> Zu dem "senkrecht auf die Fläche schauen": Welche
> Sehstrahlen sind das bei mir? Geht es um den Weg von der
> Kamera zu meinem Gesicht (der freilich nicht 100%ig
> senkrecht ist, da die Kamera zu mir hoch schaut)? Oder um
> den Weg von meinen Augen zu der Monitorfläche (der fast
> senkrecht ist, allerdings natürlich nie exakt)?
>
> Der Aufbau ist bei mir ja so: Die Kamera steht neben dem
> Monitor und ist auf mein Gesicht gerichtet, und ich
> wiederum sitze natürlich normal vor dem Monitor.
Hier hoerte es sich noch so an, als waere die Kamera auf den Monitor gerichtet.
Solange ich nicht genau weiss, wie das alles funktioniert (was tut die Kamera mit dem Gesicht?) kann ich dir leider nicht wirklich weiterhelfen...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 So 14.02.2010 | | Autor: | AndreaK |
Hmm, da hatte ich mich ein bißchen unklar ausgedrückt.
Der User sitzt ganz normal vor dem Monitor.
Die Kamera steht neben dem Monitor und guckt AUF den User. Die Kamera sieht den Monitor also nicht, sondern nur mein Gesicht. Die Kamera steht still da, keine Pan/Tilt-Unit. Sie ist nur auf das Geischt gerichtet und macht Bilder/ein Video von dem Gesicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 So 14.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hmm, da hatte ich mich ein bißchen unklar ausgedrückt.
>
> Der User sitzt ganz normal vor dem Monitor.
> Die Kamera steht neben dem Monitor und guckt AUF den User.
> Die Kamera sieht den Monitor also nicht, sondern nur mein
> Gesicht. Die Kamera steht still da, keine Pan/Tilt-Unit.
> Sie ist nur auf das Geischt gerichtet und macht Bilder/ein
> Video von dem Gesicht.
Ok. Und was genau soll jetzt der Computer aus den Kamerabildern auslesen? Also was genau auf dem Video soll als Ebene identifiziert werden, auf der man Punkte misst?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 So 14.02.2010 | | Autor: | AndreaK |
Also mit der Kamera nehme ich mein Gesicht auf.
Darin suche ich das Zentrum de Pupille.
Dadurch, dass zusätzlich ein Infrarot-Licht auf den Benutzer scheint, gibt es nahe der Pupille einen weißen, hellen Fleck, die sogenannte "corneal reflection".
Zwischen diesen beiden Punkten (Pupille - Corneal reflection) mache ich einen Vektor. Und da die Corneal reflection fast still steht, wenn man umhersieht, die Pupille sich aber bewegt, hat man mit dem Vektor ein Maß dafür, wo man hinguckt.
Diesen Vektor benutzt man fürs Kalibrieren und dann natürlich zur Anwendung.
Die Ebene ist also eigentlich simpel das Bild, das ich mit der Kamera aufnehme.
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![[]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/Tafel_(Lehrmittel).jpg){kind=small}
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