GRAMsche Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:57 Di 16.05.2006 | | Autor: | Janyary |
| Aufgabe | Es sei <.,.>: [mm] \IR^{3}\times\IR^{3}\to\IR [/mm] die durch
[mm] :=x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{1}-4x_{3}y_{2}-x_{3}y_{3}
[/mm]
(fuer [mm] x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}, y=(y_{1},y_{2},y_{3})^{T} \in \IR^{3}) [/mm] definierte Bilinearform. Bestimmen Sie die zugehoerige GRAMsche Matrix
a) bzgl. der kanonischen Basis [mm] (e_{1}, e_{2}, e_{3})
[/mm]
b) bzgl. der Basis [mm] v_{1}=(1,1,1)^{T}, v_{2}=(1,0,1)^{T}, v_{3}=(1,0,0)^{T}.
[/mm]
(Hinweis: Wenn wir die gesuchte Matrix mit C bezeichnen, muss fuer alle x,y [mm] \in \IR^{3} [/mm] gelten: [mm] =(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})*C*(\beta_{1},\beta_{2}, \beta_{3})^{T}, [/mm] wobei [mm] x=\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3} [/mm] und [mm] y=\beta_{1}v_{1}+\beta_{2}v_{2}+\beta_{3}v_{3}) [/mm] |
hi leute,
irgendwie verwirrt mich die aufgabe und paar anregungen waeren echt toll.
zu a)
die GRAMsche Matrix [mm] A=(a_{i,j}) [/mm] mit [mm] a_{i,j}=x_{i}y_{j}
[/mm]
fuer die eintragungen in A muesste also gelten:
[mm] a_{11}=x_{1}y_{1}=1,
[/mm]
[mm] a_{21}=x_{2}y_{1}=2
[/mm]
[mm] a_{32}=x_{3}y_{2}=-4
[/mm]
[mm] a_{33}=x_{3}y_{3}=-1
[/mm]
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & -1}
[/mm]
zu b)
da muss ich doch ne basistransformation machen oder?
[mm] B=(e_{1},e_{2},e_{3}), D=(v_{1},v_{2},v_{3})
[/mm]
ich stelle also zuerst meine Basis D durch B dar.
[mm] v_{1}=1*e_{1}+1*e_{2}+1*e_{3}
[/mm]
[mm] v_{2}=1*e_{1}+0*e_{2}+1*e_{3}
[/mm]
[mm] v_{3}=1*e_{1}+0*e_{2}+0*e_{3}
[/mm]
ergibt die matrix [mm] M_{B}^{D}=\pmat{1&1&1\\1&0&0\\1&1&0}
[/mm]
dann hab ich B durch D dargestellt.
[mm] e_{1}=0*v_{1}+0*v_{2}+1*v_{3}
[/mm]
[mm] e_{2}=1*v_{1}-1*v_{2}+0*v_{3}
[/mm]
[mm] e_{3}=0*v_{1}+1*v_{2}-1*v_{3}
[/mm]
ergibt [mm] M_{D}^{B}=\pmat{0&1&0\\0&-1&1\\1&0&-1}
[/mm]
mit der Transformationsformel muesste [mm] C=(M_{D}^{B})*A*(M_{B}^{D}) [/mm] sein.
also [mm] C=\pmat{0&1&0\\0&-1&1\\1&0&-1}*\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & -1}*\pmat{1&1&1\\1&0&0\\1&1&0}=\pmat{2&2&2\\-7&-3&-2\\7&2&1}
[/mm]
ist das soweit erstmal richtig?? falls ja, was hat meine Matrix C denn noch hiermit [mm] :=x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{1}-4x_{3}y_{2}-x_{3}y_{3} [/mm] zu tun? Irgendwie erkenne ich da kein zusammenhang mehr..
hoffe mir kann jemand helfen, waer echt super!
LG Jany :)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:01 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Janyary |
hi leute,
also ich hab im matheraum einen aehnlichen artikel zur gramschen matrix gefunden, wo es auch um matrix bzgl. einer anderen basis ging.
https://matheraum.de/read?t=93891&v=t
in diesem artikel ist auch eine probe angegeben, mit der man herausfindet ob die transformierte matrix die richtige ist. leider verstehe ich diese probe ueberhaupt nicht. kann sie mir vielleicht jemand erklaeren, oder gibt es eine andere moeglichkeit wie ich rausfinden koennte, ob meine rechnung stimmt?
waere echt super, wenn mir jemand helfen koennte, vielen dank schonmal im vorraus.
LG Jany :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 20.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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