Galoisgruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Fr 23.06.2006 | | Autor: | gruen9 |
| Aufgabe | Was ist die Ordnung der Galoisgruppe G = [mm] Gal(\IF_{27},\IF_{3})?
[/mm]
In wie viele und wie lange Bahnen zerfällt [mm] \IF_{27} [/mm] unter der Operation von G? |
Hallo zusammen!!!
Würd mich freuen, wenn ihr mir ein paar Tipps geben könntet!
Die Ordnung hab ich mit dem Hauptsatz der Galoistheorie bestimmen können. Es gilt ja ord [mm] (Gal(\IF_{27},\IF_{3})) [/mm] = ord [mm] (Aut_\IF_{3} (\IF_{27}))
[/mm]
Die Ordnung ist 3. Das ist richtig oder???
Probleme hab ich jetzt allerdings bei der zweiten Frage.
[mm] Aut_\IF_{3} (\IF_{27}) [/mm] wird ja erzeugt vom relativen Frobenius-Homomorphismus,
[mm] \nu [/mm] : [mm] \IF_{27} [/mm] --> [mm] \IF_{27} [/mm] , a --> [mm] a^3 [/mm]
Nur wie sieht [mm] Aut_\IF_{3} (\IF_{27}) [/mm] dann aus?
An der Stelle häng ich und kann somit die Bahnen auch nicht berechnen!
Gibt es zur Berechnung der Bahnen einen Trick oder muss ich die alle hinschreiben und dann vergleichen, welche übereinstimmen??
Vielen Dank für eure Hilfe.
Schöne Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Fr 23.06.2006 | | Autor: | statler |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Was ist die Ordnung der Galoisgruppe G =
> [mm]Gal(\IF_{27},\IF_{3})?[/mm]
> In wie viele und wie lange Bahnen zerfällt [mm]\IF_{27}[/mm] unter
> der Operation von G?
> Hallo zusammen!!!
>
> Würd mich freuen, wenn ihr mir ein paar Tipps geben
> könntet!
>
> Die Ordnung hab ich mit dem Hauptsatz der Galoistheorie
> bestimmen können. Es gilt ja ord [mm](Gal(\IF_{27},\IF_{3}))[/mm] =
> ord [mm](Aut_\IF_{3} (\IF_{27}))[/mm]
> Die Ordnung ist 3. Das ist
> richtig oder???
Das ist schon mal super, daß du den Frobenius kennst!
> Probleme hab ich jetzt allerdings bei der zweiten Frage.
> [mm]Aut_\IF_{3} (\IF_{27})[/mm] wird ja erzeugt vom relativen
> Frobenius-Homomorphismus,
> [mm]\nu[/mm] : [mm]\IF_{27}[/mm] --> [mm]\IF_{27}[/mm] , a --> [mm]a^3[/mm]
>
> Nur wie sieht [mm]Aut_\IF_{3} (\IF_{27})[/mm] dann aus?
> An der Stelle häng ich und kann somit die Bahnen auch
> nicht berechnen!
> Gibt es zur Berechnung der Bahnen einen Trick oder muss
> ich die alle hinschreiben und dann vergleichen, welche
> übereinstimmen??
Überleg dir mal, wie die Bahn eines Elementes aus dem Primkörper aussieht. Und dann überlegst du dir, was mit der Bahn eines Elementes außerhalb des Primkörpers los ist. Und dann bist du fertich!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Fr 23.06.2006 | | Autor: | gruen9 |
Hallo Dieter,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Mein Problem liebt jetzt aber darin, dass ich nicht weiß, wie die
Automorphismengruppe [mm] Aut_\IF_{3}(\IF_{27}) [/mm] aussieht, sprich aus welchen 3 Abbildungen diese Gruppe besteht.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Fr 23.06.2006 | | Autor: | statler |
Oh, jetzt habe ich dich doch überschätzt.
In dieser Gruppe liegen die Identität, der Frobenius und das Quadrat des Frobenius. Den Frobenius hast du selbst hingeschrieben, und das Quadrat des Frobenius macht
x [mm] \mapsto x^{9}
[/mm]
Noch ein Gruß von hier oben
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Fr 23.06.2006 | | Autor: | gruen9 |
Hallo,
hast mich doch ein klein wenig überschätzt! 
Bei mir war das Quadrat des Frobenius a^27!
Somit hat das alles nicht ganz geklappt!!!
Vielen Dank so weit.
Liebe Grüße aus Bayern
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Fr 23.06.2006 | | Autor: | gruen9 |
Hallo,
komme trotzdem nicht weiter.
Die Länge einer Bahn (= die Ordnung der Bahn) muss bekanntlich die Ordnung der Galoisgruppe teilen. In obigem Fall, da die Ordnung der Galoisgruppe 3 ist, muss die Länge der Bahn also 1 oder 3 sein.
Die Bahn von 3 ist meiner Meinung nach aber {0, 3}, hat also die Ordung 2. :-( Wo liegt mein Fehler??
Gibt es denn 27 verschiedene Bahnen???
Vielen Dank schon im Voraus für die Hilfe!!
Liebe Grüße
aus Bayern
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Fr 23.06.2006 | | Autor: | statler |
...das ist ein lustiger Fehler!
> Hallo,
>
> komme trotzdem nicht weiter.
>
> Die Länge einer Bahn (= die Ordnung der Bahn) muss
> bekanntlich die Ordnung der Galoisgruppe teilen. In obigem
> Fall, da die Ordnung der Galoisgruppe 3 ist, muss die Länge
> der Bahn also 1 oder 3 sein.
> Die Bahn von 3 ist meiner Meinung nach aber {0, 3}, hat
> also die Ordung 2. :-( Wo liegt mein Fehler??
> Gibt es denn 27 verschiedene Bahnen???
In diesem tollen Körper ist 3 = 0, was sagst du nun?
Oleeeeh-----oleholeholeh---------oooooleh
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Fr 23.06.2006 | | Autor: | gruen9 |
Aber ich beweg mich doch im Körper [mm] \IF_{27},
[/mm]
nicht im Körper [mm] \IF_{3}, [/mm] oder???
Dann ist 3 nicht gleich 0.
Oder versteh ich das ganze jetzt falsch???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Fr 23.06.2006 | | Autor: | statler |
Jetzt ganz ruhig bleiben!
> Aber ich beweg mich doch im Körper [mm]\IF_{27},[/mm]
> nicht im Körper [mm]\IF_{3},[/mm] oder???
> Dann ist 3 nicht gleich 0.
>
> Oder versteh ich das ganze jetzt falsch???
siehe Betreff
Die 1 im Primkörper bleibt doch die 1 im Oberkörper, und 3 ist die Charakteristik, d. h. 1 + 1 + 1 = 0 im Primkörper und folglich auch im Oberkörper. Mach dir doch mal zur Übung eine Verknüpfungstabelle für einen kleinen Körper, [mm] \IF_{4} [/mm] oder [mm] \IF_{9} [/mm] z. B.
Meld dich wieder, es fängt an, mir Spaß zu machen
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Fr 23.06.2006 | | Autor: | statler |
> Mir macht das schön langsam keinen Spaß mehr!!!
Schade!
> Der Frobeniushomomorphismus geht von [mm]\IF_{27},[/mm]
> nach [mm]\IF_{27},[/mm].
> Warum muss ich dann den Primkörper [mm]\IF_{3},[/mm] betrachten??
Du mußt überhaupt nicht, du bist ein freier Mensch! Aber du wolltest doch wissen, warum hier 3 = 0 ist. Warum ist denn der Frobenius überhaupt ein Homomorphismus? Weil nämlich 3 = 0 gilt!
Frohes Schaffen weiterhin
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Fr 23.06.2006 | | Autor: | gruen9 |
Hallo Dieter,
vielen Dank so weit,
ich muss mir das jetzt alles erst mal in Ruhe überlegen.
Bin nächsten Freitag wieder hier.
Vielleicht kannst du mir ja wieder ein bisschen helfen!
Würde mich freuen.
Schöne Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Fr 30.06.2006 | | Autor: | gruen9 |
Guten Morgen zusammen!
Habe mittlerweile folgendes - hoffentlich sinnvolles - zu meiner obigen Aufgabenstellung herausgefunden:
[mm] \IF_{27} [/mm] = { [mm] a_2 \* \overline{x}^2 [/mm] + [mm] a_1 \* \overline{x} [/mm] + [mm] a_0 [/mm] : [mm] a_0, a_1, a_2 \in \IF_{3} [/mm] } , wobei [mm] \overline{x} [/mm] eine Nullstelle eines über
[mm] \IF_{3} [/mm] irreduziblen Polynoms vom Grad 3 ist.
Sind meine Überlegungen bisher richtig?
In wie viele und wie lange Bahnen zerfällt K nun?
Meiner Meinung nach gibt es genau 27 verschiedene Bahnen, die allesamt die Länge 1 haben.
Begründung: meine vom Frobeniushomomorphismus erzeugte Automorphismengruppe [mm] Aut_\IF_{3}(\IF_{27}) [/mm] bildet alle Elemente von
[mm] \IF_{27} [/mm] auf sich selbst ab!
Ist diese Überlegung richtig???
Vielen Dank im Voraus,
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 Fr 30.06.2006 | | Autor: | statler |
Hallo, schön daß du zurück bist.
> Habe mittlerweile folgendes - hoffentlich sinnvolles - zu
> meiner obigen Aufgabenstellung herausgefunden:
>
> [mm]\IF_{27}[/mm] = { [mm] a_{2} \* \overline{x}^{2} [/mm] + [mm] a_{1} \* \overline{x} [/mm] + [mm] a_{0} [/mm] : [mm] a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \IF_{3} [/mm] } , wobei [mm]\overline{x}[/mm]
> eine Nullstelle eines über
> [mm]\IF_{3}[/mm] irreduziblen Polynoms vom Grad 3 ist.
>
> Sind meine Überlegungen bisher richtig?
Das stimmt, kannst du so ein Polynom auch konkret hinschreiben?
> In wie viele und wie lange Bahnen zerfällt K nun?
> Meiner Meinung nach gibt es genau 27 verschiedene Bahnen,
> die allesamt die Länge 1 haben.
> Begründung: meine vom Frobeniushomomorphismus erzeugte
> Automorphismengruppe [mm]Aut_\IF_{3}(\IF_{27})[/mm] bildet alle
> Elemente von
> [mm]\IF_{27}[/mm] auf sich selbst ab!
Nein, daß ist ganz schön falsch! Der Frobenius bildet die Elemente des Grundkörpers, also von [mm] \IF_{3} [/mm] auf sich ab. Das Element [mm] \overline{x} [/mm] bildet er auf [mm] \overline{x}^{3} [/mm] ab, das ist eine andere Nullstelle deines Polynoms.
Kennst du den Hauptsatz der Galois-Theorie? Sonst zieh ihn dir mal rein.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Fr 30.06.2006 | | Autor: | gruen9 |
Hallo!!!
Schade! Geht ja schon deprimierend los heute!!!
Ich bin davon ausgegangen, dass [mm] \overline{x}^3 [/mm] gleich [mm] \overline{x} [/mm] ist.
Dachte mir dass so, weil die Charakteristik ja drei ist!
Inwiefern hilft mir der - ach so komplizierte - Hauptsatz der Galoistheorie weiter?? Abgesehen davon, dass ich mit diesem Satz wegen mangelnden Verstehens nichts anzufangen weiß, bin ich auch etwas hilflos, in welcher Hinsicht er mir bei diesem Problem hilft!!! :-(
Liebe Grüße aus Bayern!!!
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Fr 30.06.2006 | | Autor: | statler |
Das Leben kann ganz schön hart sein!
Mein Vorschlag: Wir schreiben diesen Körper mal auf.
Ein irreduzibles Polynom ist z. B. [mm] X^{3} [/mm] + [mm] \overline{2}X [/mm] + [mm] \overline{1}
[/mm]
Damit ist [mm] \IF_{27} \cong \IF_{3}/(X^{3} [/mm] + [mm] \overline{2}X [/mm] + [mm] \overline{1})
[/mm]
[mm] \IF_{27} [/mm] ist ein 3dimensionaler Vektorraum über [mm] \IF_{3} [/mm] mit [mm] \overline{1}, \overline{X} [/mm] und [mm] \overline{X^{2}} [/mm] als Basis.
Jetzt kannst du alle 27 Elemente hinschreiben und eine vollständige Verknüpfungstabelle bzgl. der Multiplikation anlegen. Nimm ein großes Blatt!
Und dann kannst du auch alle 3. Potenzen ausrechnen. Wenn du das durchexerzierst, hast du erstens was gelernt und zweitens können wir Freunde bleiben .
Bis dann
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Fr 30.06.2006 | | Autor: | gruen9 |
Ok, werde das mal machen!!!
Melde mich dann in etwa 10 Stunden wieder!!!
Bis dann!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Fr 30.06.2006 | | Autor: | gruen9 |
Also:
Den Körper hab ich mir gestern schon mal zusammengestellt:
Er enthält - meiner Meinung nach - folgende Elemente:
[mm] 2x^2 [/mm] + 2x + 2 ,
[mm] 2x^2 [/mm] + 2x +1 ,
[mm] 2x^2 [/mm] + 2x ,
[mm] 2x^2 [/mm] + x + 2 ,
[mm] 2x^2 [/mm] + x + 1
[mm] 2x^2 [/mm] +x ,
[mm] 2x^2 [/mm] + 2 ,
[mm] 2x^2 [/mm] + 1 ,
[mm] 2x^2 [/mm] ,
[mm] x^2 [/mm] + 2x + 2 ,
[mm] x^2 [/mm] + 2x + 1 ,
[mm] x^2 [/mm] + 2x ,
[mm] x^2 [/mm] + x + 2 ,
[mm] x^2 [/mm] + x + 1,
[mm] x^2 [/mm] + x ,
[mm] x^2 [/mm] + 2 ,
[mm] x^2 [/mm] + 1 ,
[mm] x^2 [/mm] ,
2x + 2 ,
2x + 1,
2x
x +2 ,
x + 1,
x ,
2,
1,
0
ich hab die Querstriche jetzt weggelassen, du verstehst hoffentlich was ich meine;
ich hab schon mal die 3. Potenz eines allgemeinen Polynoms ausgerechnet, sprich [mm] (a_2\*x^2 [/mm] + [mm] a_1\*x [/mm] + [mm] a_0 )^3,
[/mm]
wobei a2, a1 und a0 aus [mm] \IF_{3} [/mm] sind.
Da kam dann raus: [mm] a_2^3 \* x^6 [/mm] + [mm] a_1^3 \* x^3 [/mm] + [mm] a_0^3
[/mm]
was gleich [mm] a_2 \* x^6 [/mm] + [mm] a_1 \* x^3 [/mm] + [mm] a_0 [/mm] ist, oder????
aber scheinbar, darin liegt mein Fehler, nicht gleich
[mm] a_2 \* x^2 [/mm] + [mm] a_1 \* [/mm] x + [mm] a_0 [/mm] ist, oder???
Wenn dem so wäre, dann wäre die dritte Potenz eines Terms gleich dem Term selbst, wenn du verstehst was ich meine!!!
Ich habe das gleiche mit der 9. Potenz durchexerziert mit dem Ergebnis:
[mm] a_2 \* [/mm] x^18 + [mm] a_1 \* x^9 [/mm] + [mm] a_0 [/mm] ,
was meinem Verständnis zufolge [mm] a_2 \* x^2 [/mm] + [mm] a_1 \* [/mm] x + [mm] a_0 [/mm] wäre.
Verstehst du meinen Fehler???
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Fr 30.06.2006 | | Autor: | statler |
Das ist super, ich bin total begeistert und mach mal vor Freude selbst ein Beispiel:
[mm] (x+1)^{3} [/mm] = [mm] x^{3} [/mm] + 1 = (-2x - 1) + 1 = -2x = x
(Ich habe auch die Querstriche weggelassen, wir sind jetzt Profis)
Alles klaro?
Mahlzeit
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Fr 30.06.2006 | | Autor: | gruen9 |
Mahlzeit!!
Juhuu! Ich hab was richtig gemacht!
Versteh deine Umformung leider trotzdem nicht ganz!
Warum ist [mm] x^3 [/mm] = - 2x - 1 = x + 2 ????
Und was bedeutet das dann letztenendes für meine Bahnen???
Ich weiß, bei mir ist Hopfen und Malz verloren!!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Fr 30.06.2006 | | Autor: | statler |
> Mahlzeit!!
>
> Juhuu! Ich hab was richtig gemacht!
>
> Versteh deine Umformung leider trotzdem nicht ganz!
> Warum ist [mm]x^3[/mm] = - 2x - 1 = x + 2 ????
Weil in diesem Restklassenring [mm] x^{3} [/mm] + 2x + 1 = 0 ist!
> Und was bedeutet das dann letztenendes für meine Bahnen???
>
> Ich weiß, bei mir ist Hopfen und Malz verloren!!
Ich gehe jetzt mit einer lieben Freundin essen, das ist mir wichtiger..
Nachher kann's weitergehen
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Fr 30.06.2006 | | Autor: | gruen9 |
Hallo!
Ich hoffe, wohl gespeist zu haben!!!
Ok, das mit den Restklassen hab ich jetzt verstanden!
Da also [mm] (x+1)^3 [/mm] = x ist, wäre
(x + [mm] 1)^9 [/mm] demzufolge [mm] x^3.
[/mm]
also [mm] x^9 [/mm] + 1 = [mm] x^3.
[/mm]
Aber wozu dient mir das nun???
Gibt es jetzt also 27 verschiedene Bahnen mit Länge 1 (wenn wir die Elemente von [mm] \IF{3} [/mm] betrachten, bzw. 3 für die restlichen 24 Elemente in [mm] \IF{27} [/mm] ????
Liebe Grüße aus Bayern
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Fr 30.06.2006 | | Autor: | statler |
So, nun weiter!
>
> Ich hoffe, wohl gespeist zu haben!!!
Ja danke, ein bißchen viel, aber ich brauche ja auch noch Energie fürs Länderspiel!
> Ok, das mit den Restklassen hab ich jetzt verstanden!
>
> Da also [mm](x+1)^3[/mm] = x ist, wäre
>
> (x + [mm]1)^9[/mm] demzufolge [mm]x^3.[/mm]
und [mm] x^{3} [/mm] ist wieder -2x - 1 = x + 2
Das heißt, x+1, x und x+2 bilden eine Bahn! Ist dir das klar?
> also [mm]x^9[/mm] + 1 = [mm]x^3.[/mm]
3. Potenzen und höhere kann man immer umschreiben in eines der 27 Elemente aus deiner Liste!
> Aber wozu dient mir das nun???
>
> Gibt es jetzt also 27 verschiedene Bahnen mit Länge 1 (wenn
> wir die Elemente von [mm]\IF{3}[/mm] betrachten, bzw. 3 für die
> restlichen 24 Elemente in [mm]\IF{27}[/mm] ????
Jetzt kannst du alle Bahnen explizit hinschreiben, das ist doch wirklich toll! Wie sagt man: Es geht auch anders, aber so geht es auch!
Jetzt mache ich mir einen Tee.
Bis zur nächsten Runde
Dieter
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Fr 30.06.2006 | | Autor: | gruen9 |
Hallo,
> Das heißt, x+1, x und x+2 bilden eine Bahn! Ist dir das
> klar?
Das ist mir klar!!
> 3. Potenzen und höhere kann man immer umschreiben in eines
> der 27 Elemente aus deiner Liste!
Puhh, das ist aber anstrengend, hier immer gleich die richtige Umformung zu finden.
> Jetzt kannst du alle Bahnen explizit hinschreiben, das ist
> doch wirklich toll! Wie sagt man: Es geht auch anders, aber
> so geht es auch!
>
Das heißt, ich schreib mir alle 27 Bahnen explizit hin und dann vergleiche ich sie. Handelt es sich um 27 Verschiedene, hab ich folglich 27 Bahnen.
Es gibt also wirklich keine andere Methode, die dir bekannt wäre!
So, dann hab ich jetzt was zu tun bis zum Länderspiel.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Fr 30.06.2006 | | Autor: | statler |
> Hallo,
>
> > Das heißt, x+1, x und x+2 bilden eine Bahn! Ist dir das
> > klar?
>
> Das ist mir klar!!
>
> > 3. Potenzen und höhere kann man immer umschreiben in eines
> > der 27 Elemente aus deiner Liste!
>
> Puhh, das ist aber anstrengend, hier immer gleich die
> richtige Umformung zu finden.
>
> > Jetzt kannst du alle Bahnen explizit hinschreiben, das ist
> > doch wirklich toll! Wie sagt man: Es geht auch anders, aber
> > so geht es auch!
> >
> Das heißt, ich schreib mir alle 27 Bahnen explizit hin und
> dann vergleiche ich sie. Handelt es sich um 27
> Verschiedene, hab ich folglich 27 Bahnen.
Es können schon jetzt keine 27 Bahnen mehr werden, weil du doch schon eine hast, in der 3 Elemente liegen. Du wirst 8 Bahnen mit 3 Elementen finden.
> Es gibt also wirklich keine andere Methode, die dir
> bekannt wäre!
Ich finde, dieser Angang übt ungemein. Du kannst ab heute sagen, daß du [mm] F_{27} [/mm] persönlich kennst.
Wir fahren nach Berlin ...
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:59 Sa 01.07.2006 | | Autor: | gruen9 |
Lieber Dieter,
nach diesem Fußballkrimi musste ich meine Nerven erst wieder beruhigen.
Machte mich dann aber voller Eifer auf Bahnensuche und hab sie nun alle beieinander!!
Tausend Dank für deine Mühen.
Mit deiner Hilfe findet auch ein blindes Huhn einmal ein Korn.
Liebe Grüße aus Bayern!!
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