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Hallo!
Ich lerne gerade für die Klausur und hab ein Problem bei der Bestimmung der Galoisgruppe, und zwar von [mm] L=\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3}) [/mm] über [mm] \IQ.
[/mm]
Einerseits steht bei uns im Skript, dass wegen dem Produktsatz die Galoisgruppe die Kleinsche Vierergruppe ist, da L der Zerfällungskörper des Polynoms f=(x²-2)(x²-3) mit den Nullstellen [mm] x_{1}=-x_2=\wurzel{2}, x_3=-x_4=\wurzel(3) [/mm] wäre die Gruppe dann in Zykelschreibweise {id, (12), (34), (12)(34)}, da [mm] \sigma(\wurzel{2})=\wurzel(3) [/mm] kein Homomorphismus wäre.
Aber andererseits kann ich doch L auch darstellen als [mm] \IQ(\wurzel{2}+\wurzel{3}), [/mm] wobei das Minimalpolynom von [mm] \wurzel{2}+\wurzel{3} [/mm] gleich x⁴-10x²+1 ist. Da erhalte ich dann mit [mm] x_1=-x_2=\wurzel{5+{\wurzel{24}}} [/mm] und [mm] x_3=-x_3=\wurzel{5-{\wurzel{24}}} [/mm] die Galoisgruppe [mm] \IZ/2\IZ\times\IZ/2\IZ= [/mm] {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}, die Galoisgruppe von einem irreduziblen Polynom muss ja transitiv sein.
Heißt das jetzt, für die Galoisgruppe reicht es nicht, den Körper zu kennen, sondern man braucht auch das Polynom dazu? Oder liegt irgendwo anders der Fehler?
Über Hilfe würde ich mich freuen, schonmal danke im Voraus!
Liebe Grüße, Miriam
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Mo 06.08.2012 | | Autor: | hippias |
Die Galoisgruppe ist durch die Koerpererweiterung eindeutig bestimmt; Kenntnis eines separablen Polynoms dessen Zerfaellungskoerper die Koerpererweiterung ist, ist aber fuer die konkrete Bestimmung (Isomorphietyps) der Gruppe hilfreich. Aber ich bin mir nicht sicher, ob das Deine Frage hinreichend beantwortet. [mm] $\IZ_{2}\times \IZ_{2}$ [/mm] ist die Kleinsche Vierergruppe. Deine Rechnungen habe ich nicht ueberprueft.
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Danke, wenn es dasselbe ist, widersprechen sich die Rechnungen ja nicht, ich war nur irritiert, weil eine Lösung transitiv ist und die andere nicht, aber wenn sie trotzdem isomorph sind, ist das ok. Danke!
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moin,
Deine allgemeine Frage zu den Galoisgruppen kann ich dir leider nicht beantworten, weswegen ich diese Frage mal halboffen lasse.
Allerdings kann ich dir verraten, dass deine beiden aufgestellten Gruppen isomorph zueinander sind.
Es gibt bis auf Isomorphie nur die beiden Gruppen [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ$ [/mm] mit 4 Elementen.
Da deine Gruppen beide kein Element der Ordnung 4 enthalten sondern nur je einmal die Identität und drei Elemente der Ordnung 2 sind sie beide isomorph zu [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ$.
[/mm]
Ich hoffe das hilft dir.
lg
Schadow
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Vielen Dank, das hilft schon mal... Heißt das, dass es zu der Galoisgruppe von dem Produkt zwei (oder mehr) irreduzibler Polynome mit disjunkter Nullstellenmenge immer eine isomorphe transitive Gruppe gibt?
Liebe Grüße, Miriam
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Di 07.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Miriam!
> Vielen Dank, das hilft schon mal... Heißt das, dass es zu
> der Galoisgruppe von dem Produkt zwei (oder mehr)
> irreduzibler Polynome mit disjunkter Nullstellenmenge immer
> eine isomorphe transitive Gruppe gibt?
Ja: der Zerfaellungskoerper $L$ des (reduziblen) Polynoms $f [mm] \in [/mm] K[X]$ kann (wenn es eine separable Erweiterung ist, was z.B. in Charakteristik 0 immer der Fall ist) als einfache Erweiterung geschrieben werden: $L = [mm] K(\alpha)$ [/mm] fuer ein passendes [mm] $\alpha \in [/mm] L$. Das Minimalpolynom $g [mm] \in [/mm] K[X]$ von [mm] $\alpha$ [/mm] hat nun als Zerfaellungskoerper ebenfalls $L$, und die Galoisgruppe $G(L/K)$ operiert transitiv auf den Nullstellen von $g$.
Jedoch operiert sie nicht (umbedingt) transitiv auf den Nullstellen von $f$, da $f$ nicht irreduzibel ist. (Wenn $f$ irreduzible Faktoren mit disjunkten Nullstellenmengen hat operiert sie definitiv nicht transitiv.)
Die Galoisgruppe ist uebrigens in beiden Faellen die gleiche. Die Aktion auf die Nullstellenmengen jedoch ist verschieden, und da man die Galoisgruppe meist durch die induzierte Permutationsgruppe auf der Nullstellenmenge beschreibt (und dann sagt, dass das die Galoisgruppe "ist"), kann man je nach Polynom nicht-transitive oder transitive Permutationsgruppen herausbekommen. Die Galoisgruppe selber (als Menge von Automorphismen) ist per se weder transitiv nocht nicht-transitiv.
LG Felix
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Super, vielen Dank, ich glaube jetzt hab ichs verstanden... :)
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