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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] \IQ(\sqrt2,\sqrt3)/\IQ [/mm] galois vom Grad 4 ist mit Galoisgruppe [mm] (\IZ/2\IZ) [/mm] x [mm] (\IZ/2\IZ). [/mm] |
Hallo!
Ich habe den ersten Teil dieser Aufgabe gelöst, weiß aber nicht, ob ich das so machen kann, daher hier meine Lösung, vielleicht könnte mir ja jemand sagen, ob das so in Ordnung ist?!
Zur Vereinfachung sei [mm] K=\IQ(\sqrt2,\sqrt3).
[/mm]
Nun muss gezeigt werden: [mm] |Gal(K/\IQ)|=4=[K:\IQ]
[/mm]
1. [mm] [K:\IQ]=4:
[/mm]
[mm] [K:\IQ]=[K:\IQ(\sqrt3)]*[\IQ(\sqrt3):\IQ] [/mm] (Gradformel)
[mm] \IQ(\sqrt3)/\IQ [/mm] hat Minimalpolynom [mm] P=X^{2}-3 [/mm] (da irreduzibel mit p=3 und Nullstelle [mm] \sqrt3) [/mm] und [mm] [\IQ(\sqrt3):\IQ]=degP=2
[/mm]
[mm] K/\IQ(\sqrt3) [/mm] hat Minimalpolynom [mm] P=X^{2}-2. [/mm] P könnte zerfallen in [mm] (X-\sqrt2)*(X+\sqrt2) [/mm] wenn [mm] \sqrt2 \in K=\{a+b\sqrt3 | a,b \in \IQ \}.
[/mm]
Annahme: [mm] \sqrt2 \in [/mm] K [mm] \gdw \sqrt2 [/mm] = [mm] a+b\sqrt3 \gdw 2=a^{2}+2ab\sqrt3+3b^{2} \Rightarrow [/mm] a=0 v b=0
Fall 1: a=0 [mm] \Rightarrow 2=3b^{2} \gdw 2/3=b^{2} \gdw \sqrt2/3=b \Rightarrow [/mm] Widerspruch zu b [mm] \in \IQ
[/mm]
Fall 2: b=0 --> führt analog zu Fall 1 zum Widerspruch
[mm] \Rightarrow \sqrt2 [/mm] ist nicht in K
[mm] \Rightarrow X^2-2 [/mm] zerfällt über [mm] \IQ(\sqrt3) [/mm] nicht
[mm] \Rightarrow [K:\IQ(\sqrt3)]=2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [K:\IQ]=2*2=4
[/mm]
2. [mm] |Gal(K/\IQ)|=4 [/mm] :
Wir betrachten zwei unterschiedliche Galoisgruppen in Anlehnung an die oben genannten Minimalpolynome
a) Die Galoisgruppe, deren Elemente die Nullstellen von [mm] X^2-3 [/mm] aufeinander abbildet:
[mm] Gal(K/\IQ(\sqrt3))=\{id, \sigma: \sqrt2 \mapsto -\sqrt2\}
[/mm]
b) Die Galoisgruppe, deren Elemente die Nullstellen von [mm] X^2-2 [/mm] aufeinander abbildet:
[mm] Gal(\IQ(\sqrt3)/\IQ)=\{id, \tau: \sqrt3 \mapsto -\sqrt3\}
[/mm]
Das Hintereinanderausführen der beiden Galoisgruppen liefert
[mm] Gal(K/\IQ)=\{id: \sqrt2 \mapsto \sqrt2, \sqrt3 \mapsto \sqrt3;
\sigma:\sqrt2 \mapsto -\sqrt2, \sqrt3 \mapsto \sqrt3;
\tau: \sqrt2 \mapsto \sqrt2, \sqrt3 \mapsto -\sqrt3;
\sigma \tau = \tau \sigma : \sqrt2 \mapsto -\sqrt2, \sqrt3 \mapsto -\sqrt3 \}
[/mm]
[mm] \Rightarrow |Gal(K/\IQ)|=4
[/mm]
[mm] \Rightarrow |Gal(K/\IQ)|=4=[K:\IQ] [/mm] wzbw
Stimmt das so?
Dann zum Teil: "mit Galoisgruppe [mm] (\IZ/2\IZ) [/mm] x [mm] (\IZ/2\IZ) [/mm] "
Ich weiß, dass es nur zwei Gruppen mit vier Elementen gibt, diese und [mm] \IZ/4\IZ. [/mm] und alle anderen Gruppen mit vier Elementen sind zu diesen isomorph. Richtig?
Doch wie zeige ich nun, dass [mm] Gal(K/\IQ)=\{id: \sqrt2 \mapsto \sqrt2, \sqrt3 \mapsto \sqrt3;
\sigma:\sqrt2 \mapsto -\sqrt2, \sqrt3 \mapsto \sqrt3;
\tau: \sqrt2 \mapsto \sqrt2, \sqrt3 \mapsto -\sqrt3;
\sigma \tau = \tau \sigma : \sqrt2 \mapsto -\sqrt2, \sqrt3 \mapsto -\sqrt3 \} \cong (\IZ/2\IZ) [/mm] x [mm] (\IZ/2\IZ) [/mm] ?
Kann mir hier jemand helfen?
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Sa 15.03.2014 | | Autor: | hippias |
> Zeigen Sie, dass [mm]\IQ(\sqrt2,\sqrt3)/\IQ[/mm] galois vom Grad 4
> ist mit Galoisgruppe [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] x [mm](\IZ/2\IZ).[/mm]
> Hallo!
> Ich habe den ersten Teil dieser Aufgabe gelöst, weiß
> aber nicht, ob ich das so machen kann, daher hier meine
> Lösung, vielleicht könnte mir ja jemand sagen, ob das so
> in Ordnung ist?!
>
> Zur Vereinfachung sei [mm]K=\IQ(\sqrt2,\sqrt3).[/mm]
> Nun muss gezeigt werden: [mm]|Gal(K/\IQ)|=4=[K:\IQ][/mm]
> 1. [mm][K:\IQ]=4:[/mm]
> [mm][K:\IQ]=[K:\IQ(\sqrt3)]*[\IQ(\sqrt3):\IQ][/mm] (Gradformel)
> [mm]\IQ(\sqrt3)/\IQ[/mm] hat Minimalpolynom [mm]P=X^{2}-3[/mm] (da
> irreduzibel mit p=3 und Nullstelle [mm]\sqrt3)[/mm] und
> [mm][\IQ(\sqrt3):\IQ]=degP=2[/mm]
> [mm]K/\IQ(\sqrt3)[/mm] hat Minimalpolynom [mm]P=X^{2}-2.[/mm] P könnte
> zerfallen in [mm](X-\sqrt2)*(X+\sqrt2)[/mm] wenn [mm]\sqrt2 \in K=\{a+b\sqrt3 | a,b \in \IQ \}.[/mm]
>
> Annahme: [mm]\sqrt2 \in[/mm] K [mm]\gdw \sqrt2[/mm] = [mm]a+b\sqrt3 \gdw 2=a^{2}+2ab\sqrt3+3b^{2} \Rightarrow[/mm]
> a=0 v b=0
> Fall 1: a=0 [mm]\Rightarrow 2=3b^{2} \gdw 2/3=b^{2} \gdw \sqrt2/3=b \Rightarrow[/mm]
> Widerspruch zu b [mm]\in \IQ[/mm]
> Fall 2: b=0 --> führt analog zu
> Fall 1 zum Widerspruch
> [mm]\Rightarrow \sqrt2[/mm] ist nicht in K
> [mm]\Rightarrow X^2-2[/mm] zerfällt über [mm]\IQ(\sqrt3)[/mm] nicht
> [mm]\Rightarrow [K:\IQ(\sqrt3)]=2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow [K:\IQ]=2*2=4[/mm]
In Ordnung bzw. glaube ich dir.
>
> 2. [mm]|Gal(K/\IQ)|=4[/mm] :
> Wir betrachten zwei unterschiedliche Galoisgruppen in
> Anlehnung an die oben genannten Minimalpolynome
> a) Die Galoisgruppe, deren Elemente die Nullstellen von
> [mm]X^2-3[/mm] aufeinander abbildet:
> [mm]Gal(K/\IQ(\sqrt3))=\{id, \sigma: \sqrt2 \mapsto -\sqrt2\}[/mm]
>
> b) Die Galoisgruppe, deren Elemente die Nullstellen von
> [mm]X^2-2[/mm] aufeinander abbildet:
> [mm]Gal(\IQ(\sqrt3)/\IQ)=\{id, \tau: \sqrt3 \mapsto -\sqrt3\}[/mm]
>
> Das Hintereinanderausführen
Sagen wir besser: Erzeugnis ...
> der beiden Galoisgruppen
> liefert
... hier hast Du ein kleines Problem: [mm] $\tau$ [/mm] ist auf [mm] $\IQ(\sqrt{3})$, [/mm] nicht aber auf $K$ definiert. Vielleicht kennst Du einen Satz, der Dir sagt, dass man [mm] $\tau$ [/mm] auf $K$ fortsetzen kann?
> [mm]Gal(K/\IQ)=\{id: \sqrt2 \mapsto \sqrt2, \sqrt3 \mapsto \sqrt3;
\sigma:\sqrt2 \mapsto -\sqrt2, \sqrt3 \mapsto \sqrt3;
\tau: \sqrt2 \mapsto \sqrt2, \sqrt3 \mapsto -\sqrt3;
\sigma \tau = \tau \sigma : \sqrt2 \mapsto -\sqrt2, \sqrt3 \mapsto -\sqrt3 \}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |Gal(K/\IQ)|=4[/mm]
Nach Korrektur der obigen Luecke haettest Du bis jetzt gezeigt, dass es $4$ [mm] $\IQ$-Automorphismen [/mm] von $K$ gibt. Weshalb gibt es nicht mehr?
Alternativer Weg: $K$ Zerfaellungskoerper eines separablen Polynoms.
>
> [mm]\Rightarrow |Gal(K/\IQ)|=4=[K:\IQ][/mm] wzbw
>
> Stimmt das so?
>
> Dann zum Teil: "mit Galoisgruppe [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] x [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] "
> Ich weiß, dass es nur zwei Gruppen mit vier Elementen
> gibt, diese und [mm]\IZ/4\IZ.[/mm] und alle anderen Gruppen mit vier
> Elementen sind zu diesen isomorph. Richtig?
> Doch wie zeige ich nun, dass [mm]Gal(K/\IQ)=\{id: \sqrt2 \mapsto \sqrt2, \sqrt3 \mapsto \sqrt3;
\sigma:\sqrt2 \mapsto -\sqrt2, \sqrt3 \mapsto \sqrt3;
\tau: \sqrt2 \mapsto \sqrt2, \sqrt3 \mapsto -\sqrt3;
\sigma \tau = \tau \sigma : \sqrt2 \mapsto -\sqrt2, \sqrt3 \mapsto -\sqrt3 \} \cong (\IZ/2\IZ)[/mm]
> x [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] ?
> Kann mir hier jemand helfen?
Wenn Du einsiehst, dass Deine Galoisgruppe kein Element der Ordnung $4$ hat, bist Du fertig.
>
> Grüßle, Lily
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Hallo!
Danke erstmal für deine Antwort! 
> > Zur Vereinfachung sei [mm]K=\IQ(\sqrt2,\sqrt3).[/mm]
> > 2. [mm]|Gal(K/\IQ)|=4[/mm] :
> > Wir betrachten zwei unterschiedliche Galoisgruppen in
> > Anlehnung an die oben genannten Minimalpolynome
> > a) Die Galoisgruppe, deren Elemente die Nullstellen von
> > [mm]X^2-3[/mm] aufeinander abbildet:
> > [mm]Gal(K/\IQ(\sqrt3))=\{id, \sigma: \sqrt2 \mapsto -\sqrt2\}[/mm]
>
> >
> > b) Die Galoisgruppe, deren Elemente die Nullstellen von
> > [mm]X^2-2[/mm] aufeinander abbildet:
> > [mm]Gal(\IQ(\sqrt3)/\IQ)=\{id, \tau: \sqrt3 \mapsto -\sqrt3\}[/mm]
>
> >
> > Das Hintereinanderausführen
> Sagen wir besser: Erzeugnis ...
> > der beiden Galoisgruppen
> > liefert
> ... hier hast Du ein kleines Problem: [mm]\tau[/mm] ist auf
> [mm]\IQ(\sqrt{3})[/mm], nicht aber auf [mm]K[/mm] definiert. Vielleicht
> kennst Du einen Satz, der Dir sagt, dass man [mm]\tau[/mm] auf [mm]K[/mm]
> fortsetzen kann?
Wir hatten in der Vorlesung folgenden Satz:
Sei K'=K(a)/K einfache algebraische Körpererweiterung, [mm] \sigma: [/mm] K [mm] \to [/mm] L Körperhomomorphismus, P [mm] \in [/mm] K[X] Minimalpolynom von a über K und b [mm] \in [/mm] L Nullstelle von [mm] \sigma [/mm] (P) [mm] \Rightarrow [/mm] es exisitiert genau eine Fortestung [mm] \sigma' [/mm] von [mm] \sigma [/mm] nach K' mit [mm] \sigma' [/mm] (a) =b
Könnte ich damit arbeiten?
Oder hattest du etwas anderes im Kopf?
>
> > [mm]Gal(K/\IQ)=\{id: \sqrt2 \mapsto \sqrt2, \sqrt3 \mapsto \sqrt3;
\sigma:\sqrt2 \mapsto -\sqrt2, \sqrt3 \mapsto \sqrt3;
\tau: \sqrt2 \mapsto \sqrt2, \sqrt3 \mapsto -\sqrt3;
\sigma \tau = \tau \sigma : \sqrt2 \mapsto -\sqrt2, \sqrt3 \mapsto -\sqrt3 \}[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow |Gal(K/\IQ)|=4[/mm]
> Nach Korrektur der obigen
> Luecke haettest Du bis jetzt gezeigt, dass es [mm]4[/mm]
> [mm]\IQ[/mm]-Automorphismen von [mm]K[/mm] gibt. Weshalb gibt es nicht mehr?
Weil aus [L:K]=n folgt: |Gal(L/K)| [mm] \le [/mm] n
Reicht das?
>
> > Dann zum Teil: "mit Galoisgruppe [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] x [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] "
> > Ich weiß, dass es nur zwei Gruppen mit vier Elementen
> > gibt, diese und [mm]\IZ/4\IZ.[/mm] und alle anderen Gruppen mit vier
> > Elementen sind zu diesen isomorph. Richtig?
> > Doch wie zeige ich nun, dass [mm]Gal(K/\IQ)=\{id: \sqrt2 \mapsto \sqrt2, \sqrt3 \mapsto \sqrt3;
\sigma:\sqrt2 \mapsto -\sqrt2, \sqrt3 \mapsto \sqrt3;
\tau: \sqrt2 \mapsto \sqrt2, \sqrt3 \mapsto -\sqrt3;
\sigma \tau = \tau \sigma : \sqrt2 \mapsto -\sqrt2, \sqrt3 \mapsto -\sqrt3 \} \cong (\IZ/2\IZ)[/mm]
> > x [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] ?
> > Kann mir hier jemand helfen?
> Wenn Du einsiehst, dass Deine Galoisgruppe kein Element
> der Ordnung [mm]4[/mm] hat, bist Du fertig.
alle vier Elemente der Galoisgruppe haben Ordnung kleiner 4:
Die Ordnung der Elemente einer Gruppe teilt die Gruppenordnung. Diese ist 4. Dh. es sind 1,2,4 möglich.
id hat Ordnung 1, da [mm] id^{1}=1
[/mm]
[mm] \sigma, \tau, \sigma \tau [/mm] haben jeweils Ordnung 2, da sie jeweils im Quadrat genommen bereits die Identität ergeben
Damit hat kein Element der Gruppe Ordnung 4.
Reicht das?
Dann kann man ja sagen, dass nur eine Gruppe mit 4 Elementen kein Element der Ordnung 4 hat und das ist [mm] (\IZ/2\IZ) [/mm] x [mm] (\IZ/2\IZ).
[/mm]
Oder?
> Alternativer Weg: [mm]K[/mm] Zerfaellungskoerper eines separablen
> Polynoms.
Das habe ich nun auch mal ausprobiert, aber ich komme nicht so recht weiter:
Ich habe mir überlegt, dass [mm] P=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)=x^{4}-5x^{2}+6 [/mm] das gesuchte Polynom sein könnte. Dies ist zwar laut Reduktionskriterium mit modulo 5 irreduzibel in [mm] \IQ[X] [/mm] aber da P' nicht verschwindet, nicht separabel.
Wie könnte man denn auf ein passendes Polynom kommen?
Ich bin weiterhin für jede Hilfe sehr dankbar!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:33 Mo 17.03.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
> Danke erstmal für deine Antwort!
>
>
>
> > > Zur Vereinfachung sei [mm]K=\IQ(\sqrt2,\sqrt3).[/mm]
>
> > > 2. [mm]|Gal(K/\IQ)|=4[/mm] :
> > > Wir betrachten zwei unterschiedliche Galoisgruppen
> in
> > > Anlehnung an die oben genannten Minimalpolynome
> > > a) Die Galoisgruppe, deren Elemente die Nullstellen
> von
> > > [mm]X^2-3[/mm] aufeinander abbildet:
> > > [mm]Gal(K/\IQ(\sqrt3))=\{id, \sigma: \sqrt2 \mapsto -\sqrt2\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > b) Die Galoisgruppe, deren Elemente die Nullstellen von
> > > [mm]X^2-2[/mm] aufeinander abbildet:
> > > [mm]Gal(\IQ(\sqrt3)/\IQ)=\{id, \tau: \sqrt3 \mapsto -\sqrt3\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Das Hintereinanderausführen
> > Sagen wir besser: Erzeugnis ...
> > > der beiden Galoisgruppen
> > > liefert
> > ... hier hast Du ein kleines Problem: [mm]\tau[/mm] ist auf
> > [mm]\IQ(\sqrt{3})[/mm], nicht aber auf [mm]K[/mm] definiert. Vielleicht
> > kennst Du einen Satz, der Dir sagt, dass man [mm]\tau[/mm] auf [mm]K[/mm]
> > fortsetzen kann?
>
> Wir hatten in der Vorlesung folgenden Satz:
> Sei K'=K(a)/K einfache algebraische Körpererweiterung,
> [mm]\sigma:[/mm] K [mm]\to[/mm] L Körperhomomorphismus, P [mm]\in[/mm] K[X]
> Minimalpolynom von a über K und b [mm]\in[/mm] L Nullstelle von
> [mm]\sigma[/mm] (P) [mm]\Rightarrow[/mm] es exisitiert genau eine Fortestung
> [mm]\sigma'[/mm] von [mm]\sigma[/mm] nach K' mit [mm]\sigma'[/mm] (a) =b
> Könnte ich damit arbeiten?
> Oder hattest du etwas anderes im Kopf?
Ja genau, etwas von dieser Sorte.
>
> >
> > > [mm]Gal(K/\IQ)=\{id: \sqrt2 \mapsto \sqrt2, \sqrt3 \mapsto \sqrt3;
\sigma:\sqrt2 \mapsto -\sqrt2, \sqrt3 \mapsto \sqrt3;
\tau: \sqrt2 \mapsto \sqrt2, \sqrt3 \mapsto -\sqrt3;
\sigma \tau = \tau \sigma : \sqrt2 \mapsto -\sqrt2, \sqrt3 \mapsto -\sqrt3 \}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\Rightarrow |Gal(K/\IQ)|=4[/mm]
> > Nach Korrektur der
> obigen
> > Luecke haettest Du bis jetzt gezeigt, dass es [mm]4[/mm]
> > [mm]\IQ[/mm]-Automorphismen von [mm]K[/mm] gibt. Weshalb gibt es nicht mehr?
>
> Weil aus [L:K]=n folgt: |Gal(L/K)| [mm]\le[/mm] n
> Reicht das?
Stimmt: Daran hatte ich gar nicht gedacht.
>
> >
>
>
>
> > > Dann zum Teil: "mit Galoisgruppe [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] x [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] "
> > > Ich weiß, dass es nur zwei Gruppen mit vier
> Elementen
> > > gibt, diese und [mm]\IZ/4\IZ.[/mm] und alle anderen Gruppen mit vier
> > > Elementen sind zu diesen isomorph. Richtig?
> > > Doch wie zeige ich nun, dass [mm]Gal(K/\IQ)=\{id: \sqrt2 \mapsto \sqrt2, \sqrt3 \mapsto \sqrt3;
\sigma:\sqrt2 \mapsto -\sqrt2, \sqrt3 \mapsto \sqrt3;
\tau: \sqrt2 \mapsto \sqrt2, \sqrt3 \mapsto -\sqrt3;
\sigma \tau = \tau \sigma : \sqrt2 \mapsto -\sqrt2, \sqrt3 \mapsto -\sqrt3 \} \cong (\IZ/2\IZ)[/mm]
> > > x [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] ?
> > > Kann mir hier jemand helfen?
> > Wenn Du einsiehst, dass Deine Galoisgruppe kein Element
> > der Ordnung [mm]4[/mm] hat, bist Du fertig.
>
> alle vier Elemente der Galoisgruppe haben Ordnung kleiner
> 4:
> Die Ordnung der Elemente einer Gruppe teilt die
> Gruppenordnung. Diese ist 4. Dh. es sind 1,2,4 möglich.
> id hat Ordnung 1, da [mm]id^{1}=1[/mm]
> [mm]\sigma, \tau, \sigma \tau[/mm] haben jeweils Ordnung 2, da sie
> jeweils im Quadrat genommen bereits die Identität ergeben
> Damit hat kein Element der Gruppe Ordnung 4.
> Reicht das?
Ja.
> Dann kann man ja sagen, dass nur eine Gruppe mit 4
> Elementen kein Element der Ordnung 4 hat und das ist
> [mm](\IZ/2\IZ)[/mm] x [mm](\IZ/2\IZ).[/mm]
> Oder?
In Ordnung.
>
> > Alternativer Weg: [mm]K[/mm] Zerfaellungskoerper eines separablen
> > Polynoms.
>
> Das habe ich nun auch mal ausprobiert, aber ich komme nicht
> so recht weiter:
> Ich habe mir überlegt, dass
> [mm]P=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)=x^{4}-5x^{2}+6[/mm]
> das gesuchte Polynom sein könnte. Dies ist zwar laut
> Reduktionskriterium mit modulo 5 irreduzibel in [mm]\IQ[X][/mm] aber
> da P' nicht verschwindet, nicht separabel.
> Wie könnte man denn auf ein passendes Polynom kommen?
Da bringst Du irgendetwas durcheinander: $P$ ist separabel und liefert das gewuenschte.
>
> Ich bin weiterhin für jede Hilfe sehr dankbar!
> Grüßle, Lily
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Hallo!
> > > > Zur Vereinfachung sei [mm]K=\IQ(\sqrt2,\sqrt3).[/mm]
> >
> > > > 2. [mm]|Gal(K/\IQ)|=4[/mm] :
> > > > Wir betrachten zwei unterschiedliche Galoisgruppen in Anlehnung an die oben genannten Minimalpolynome
> > > > a) Die Galoisgruppe, deren Elemente die Nullstellen von [mm]X^2-3[/mm] aufeinander abbildet:[mm]Gal(K/\IQ(\sqrt3))=\{id, \sigma: \sqrt2 \mapsto -\sqrt2\}[/mm]
> > > > b) Die Galoisgruppe, deren Elemente die Nullstellen von [mm]X^2-2[/mm] aufeinander abbildet:[mm]Gal(\IQ(\sqrt3)/\IQ)=\{id, \tau: \sqrt3 \mapsto -\sqrt3\}[/mm]
> > > > Das Hintereinanderausführen
> > > Sagen wir besser: Erzeugnis ...
> > > > der beiden Galoisgruppen liefert
> > > ... hier hast Du ein kleines Problem: [mm]\tau[/mm] ist auf
> > > [mm]\IQ(\sqrt{3})[/mm], nicht aber auf [mm]K[/mm] definiert. Vielleicht
> > > kennst Du einen Satz, der Dir sagt, dass man [mm]\tau[/mm] auf [mm]K[/mm]
> > > fortsetzen kann?
> >
> > Wir hatten in der Vorlesung folgenden Satz:
> > Sei K'=K(a)/K einfache algebraische Körpererweiterung,
> > [mm]\sigma:[/mm] K [mm]\to[/mm] L Körperhomomorphismus, P [mm]\in[/mm] K[X]
> > Minimalpolynom von a über K und b [mm]\in[/mm] L Nullstelle von
> > [mm]\sigma[/mm] (P) [mm]\Rightarrow[/mm] es exisitiert genau eine Fortestung
> > [mm]\sigma'[/mm] von [mm]\sigma[/mm] nach K' mit [mm]\sigma'[/mm] (a) =b
> > Könnte ich damit arbeiten?
> > Oder hattest du etwas anderes im Kopf?
> Ja genau, etwas von dieser Sorte.
hm... irgendwie komme ich damit nicht zurecht, wie ich den Satz auf diese Situation übertrage:
wir suchen eine Fortsetzung von [mm] \tau
[/mm]
[mm] \tau [/mm] bildet eine Nullstelle des [mm] Min_{\IQ}(\sqrt3)=x^2-3 [/mm] auf eine andere ab
Dieses ist das P aus dem Satz
und [mm] \sqrt3 [/mm] bzw. [mm] -\sqrt3 [/mm] sind Möglichkeiten für das b
Oder?
Aber was ist dann die einfache algebraische Körpererweiterung?
> >
> > > Alternativer Weg: [mm]K[/mm] Zerfaellungskoerper eines separablen
> > > Polynoms.
> >
> > Das habe ich nun auch mal ausprobiert, aber ich komme nicht
> > so recht weiter:
> > Ich habe mir überlegt, dass
> > [mm]P=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)=x^{4}-5x^{2}+6[/mm]
> > das gesuchte Polynom sein könnte. Dies ist zwar laut
> > Reduktionskriterium mit modulo 5 irreduzibel in [mm]\IQ[X][/mm] aber
> > da P' nicht verschwindet, nicht separabel.
> > Wie könnte man denn auf ein passendes Polynom kommen?
> Da bringst Du irgendetwas durcheinander: [mm]P[/mm] ist separabel
> und liefert das gewuenschte.
Also ein Polynom ist doch separabel, wenn seine Ableitung nicht verschwindet, oder?
Mit [mm] P(x)=x^{5}-5x^{2}+6 [/mm] ist [mm] P'(x)=5x^{4}-10x
[/mm]
und P'(0)=0, das heißt, es kann verschwinden und ist damit nicht separabel.
Das war die Logik, die ich verfolgt habe.
Wo hängt es da?
Ich habe nun auch gelesen, dass man sagen kann, dass über einen Körper mit Charakteristik 0 alle Polynome separabel sind. Da wir uns über [mm] \IQ [/mm] befinden, ist dies gegeben. Würde das reichen?
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Mo 17.03.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
>
> > > > > Zur Vereinfachung sei [mm]K=\IQ(\sqrt2,\sqrt3).[/mm]
> > >
> > > > > 2. [mm]|Gal(K/\IQ)|=4[/mm] :
> > > > > Wir betrachten zwei unterschiedliche
> Galoisgruppen in Anlehnung an die oben genannten
> Minimalpolynome
> > > > > a) Die Galoisgruppe, deren Elemente die
> Nullstellen von [mm]X^2-3[/mm] aufeinander
> abbildet:[mm]Gal(K/\IQ(\sqrt3))=\{id, \sigma: \sqrt2 \mapsto -\sqrt2\}[/mm]
>
> > > > > b) Die Galoisgruppe, deren Elemente die Nullstellen von
> [mm]X^2-2[/mm] aufeinander abbildet:[mm]Gal(\IQ(\sqrt3)/\IQ)=\{id, \tau: \sqrt3 \mapsto -\sqrt3\}[/mm]
>
> > > > > Das Hintereinanderausführen
> > > > Sagen wir besser: Erzeugnis ...
> > > > > der beiden Galoisgruppen liefert
>
> > > > ... hier hast Du ein kleines Problem: [mm]\tau[/mm] ist auf
> > > > [mm]\IQ(\sqrt{3})[/mm], nicht aber auf [mm]K[/mm] definiert. Vielleicht
> > > > kennst Du einen Satz, der Dir sagt, dass man [mm]\tau[/mm] auf [mm]K[/mm]
> > > > fortsetzen kann?
> > >
> > > Wir hatten in der Vorlesung folgenden Satz:
> > > Sei K'=K(a)/K einfache algebraische
> Körpererweiterung,
> > > [mm]\sigma:[/mm] K [mm]\to[/mm] L Körperhomomorphismus, P [mm]\in[/mm] K[X]
> > > Minimalpolynom von a über K und b [mm]\in[/mm] L Nullstelle von
> > > [mm]\sigma[/mm] (P) [mm]\Rightarrow[/mm] es exisitiert genau eine Fortestung
> > > [mm]\sigma'[/mm] von [mm]\sigma[/mm] nach K' mit [mm]\sigma'[/mm] (a) =b
> > > Könnte ich damit arbeiten?
> > > Oder hattest du etwas anderes im Kopf?
> > Ja genau, etwas von dieser Sorte.
>
> hm... irgendwie komme ich damit nicht zurecht, wie ich den
> Satz auf diese Situation übertrage:
> wir suchen eine Fortsetzung von [mm]\tau[/mm]
> [mm]\tau[/mm] bildet eine Nullstelle des [mm]Min_{\IQ}(\sqrt3)=x^2-3[/mm]
> auf eine andere ab
> Dieses ist das P aus dem Satz
> und [mm]\sqrt3[/mm] bzw. [mm]-\sqrt3[/mm] sind Möglichkeiten für das b
> Oder?
> Aber was ist dann die einfache algebraische
> Körpererweiterung?
Wende das Lemma fuer $(K, a, L, [mm] \sigma, [/mm] b):= [mm] (\IQ(\sqrt{2}), \sqrt{3}, \IQ(\sqrt{3},\sqrt{2}), \tau, -\sqrt{3})$ [/mm] an. Beachte dabei, dass [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] und [mm] $\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] das gleiche Minimalpolynom hat. Im Restbeweis brauchst Du nur noch [mm] $\tau$ [/mm] durch die Fortsetzung zu ersetzen. Formal bleibt alles gueltig.
>
> > >
> > > > Alternativer Weg: [mm]K[/mm] Zerfaellungskoerper eines separablen
> > > > Polynoms.
> > >
> > > Das habe ich nun auch mal ausprobiert, aber ich komme nicht
> > > so recht weiter:
> > > Ich habe mir überlegt, dass
> > > [mm]P=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)=x^{4}-5x^{2}+6[/mm]
> > > das gesuchte Polynom sein könnte. Dies ist zwar laut
> > > Reduktionskriterium mit modulo 5 irreduzibel in [mm]\IQ[X][/mm] aber
> > > da P' nicht verschwindet, nicht separabel.
> > > Wie könnte man denn auf ein passendes Polynom
> kommen?
> > Da bringst Du irgendetwas durcheinander: [mm]P[/mm] ist
> separabel
> > und liefert das gewuenschte.
>
> Also ein Polynom ist doch separabel, wenn seine Ableitung
> nicht verschwindet, oder?
Nein, ein Polynom ist separabel, wenn es keine mehrfachen Nullstellen hat! Aber: Ein irreduzibles $f$ ist separabel, wenn [mm] $f'\neq [/mm] 0$. Damit ist hier aber das Nullpolynom gemeint; $f'$ darf durchaus Nullstellen haben.
> Mit [mm]P(x)=x^{5}-5x^{2}+6[/mm] ist [mm]P'(x)=5x^{4}-10x[/mm]
> und P'(0)=0, das heißt, es kann verschwinden und ist
> damit nicht separabel.
> Das war die Logik, die ich verfolgt habe.
> Wo hängt es da?
>
> Ich habe nun auch gelesen, dass man sagen kann, dass über
> einen Körper mit Charakteristik 0 alle Polynome separabel
> sind. Da wir uns über [mm]\IQ[/mm] befinden, ist dies gegeben.
> Würde das reichen?
Ja.
>
> Grüßle, Lily
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Hallo!
> > > > Wir hatten in der Vorlesung folgenden Satz:
> > > > Sei K'=K(a)/K einfache algebraische
> > Körpererweiterung,
> > > > [mm]\sigma:[/mm] K [mm]\to[/mm] L Körperhomomorphismus, P [mm]\in[/mm] K[X]
> > > > Minimalpolynom von a über K und b [mm]\in[/mm] L Nullstelle von
> > > > [mm]\sigma[/mm] (P) [mm]\Rightarrow[/mm] es exisitiert genau eine Fortestung
> > > > [mm]\sigma'[/mm] von [mm]\sigma[/mm] nach K' mit [mm]\sigma'[/mm] (a) =b
> Wende das Lemma fuer [mm](K, a, L, \sigma, b):= (\IQ(\sqrt{2}), \sqrt{3}, \IQ(\sqrt{3},\sqrt{2}), \tau, -\sqrt{3})[/mm]
> an. Beachte dabei, dass [mm]\sqrt{3}[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm] und
> [mm]\IQ(\sqrt{2})[/mm] das gleiche Minimalpolynom hat. Im Restbeweis
> brauchst Du nur noch [mm]\tau[/mm] durch die Fortsetzung zu
> ersetzen. Formal bleibt alles gueltig.
Aber [mm] \tau [/mm] ist doch auf [mm] \IQ(\sqrt3) [/mm] definiert, nicht auf [mm] \IQ(\sqrt2), [/mm] oder?
Müsste dann nicht [mm] K=\IQ(\sqrt3) [/mm] sein?
> > > > > Alternativer Weg: [mm]K[/mm] Zerfaellungskoerper eines separablen
> > > > > Polynoms.
> > Also ein Polynom ist doch separabel, wenn seine Ableitung
> > nicht verschwindet, oder?
> Nein, ein Polynom ist separabel, wenn es keine mehrfachen
> Nullstellen hat! Aber: Ein irreduzibles [mm]f[/mm] ist separabel,
> wenn [mm]f'\neq 0[/mm]. Damit ist hier aber das Nullpolynom gemeint;
> [mm]f'[/mm] darf durchaus Nullstellen haben.
>
Achso!
Vielen, vielen Dank!
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Di 18.03.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
> > > > > Wir hatten in der Vorlesung folgenden Satz:
> > > > > Sei K'=K(a)/K einfache algebraische
> > > Körpererweiterung,
> > > > > [mm]\sigma:[/mm] K [mm]\to[/mm] L Körperhomomorphismus, P [mm]\in[/mm] K[X]
> > > > > Minimalpolynom von a über K und b [mm]\in[/mm] L Nullstelle von
> > > > > [mm]\sigma[/mm] (P) [mm]\Rightarrow[/mm] es exisitiert genau eine Fortestung
> > > > > [mm]\sigma'[/mm] von [mm]\sigma[/mm] nach K' mit [mm]\sigma'[/mm] (a) =b
>
> > Wende das Lemma fuer [mm](K, a, L, \sigma, b):= (\IQ(\sqrt{2}), \sqrt{3}, \IQ(\sqrt{3},\sqrt{2}), \tau, -\sqrt{3})[/mm]
> > an. Beachte dabei, dass [mm]\sqrt{3}[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm] und
> > [mm]\IQ(\sqrt{2})[/mm] das gleiche Minimalpolynom hat. Im Restbeweis
> > brauchst Du nur noch [mm]\tau[/mm] durch die Fortsetzung zu
> > ersetzen. Formal bleibt alles gueltig.
> Aber [mm]\tau[/mm] ist doch auf [mm]\IQ(\sqrt3)[/mm] definiert, nicht auf
> [mm]\IQ(\sqrt2),[/mm] oder?
> Müsste dann nicht [mm]K=\IQ(\sqrt3)[/mm] sein?
Du hast voellig recht! Also wende das Lemma auf $(K, a, L, [mm] \sigma, [/mm] b):= [mm] (\IQ(\sqrt{3}), \sqrt{2}, \IQ(\sqrt{3},\sqrt{2}), \tau, \sqrt{2})$ [/mm] an. $b:= [mm] -\sqrt{2}$ [/mm] waere uebrigens auch in Ordnung.
>
>
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> > > > > > Alternativer Weg: [mm]K[/mm] Zerfaellungskoerper eines separablen
> > > > > > Polynoms.
>
> > > Also ein Polynom ist doch separabel, wenn seine Ableitung
> > > nicht verschwindet, oder?
> > Nein, ein Polynom ist separabel, wenn es keine
> mehrfachen
> > Nullstellen hat! Aber: Ein irreduzibles [mm]f[/mm] ist separabel,
> > wenn [mm]f'\neq 0[/mm]. Damit ist hier aber das Nullpolynom gemeint;
> > [mm]f'[/mm] darf durchaus Nullstellen haben.
> >
> Achso!
>
> Vielen, vielen Dank!
>
> Grüßle, Lily
>
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