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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Mi 22.02.2006 | | Autor: | cycilia |
| Aufgabe | Man bestimme die Galois-Gruppe von folgendem Polynom:
f = [mm] X^4-X^2-3 [/mm] im Ring über dem Primkörper mit 5 Elementen |
mein Problem ist der Pimkörper. In dem polynomring der rationalen Zahlen ist das kein Problem. Kann jemand den Lösungsweg erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Mi 22.02.2006 | | Autor: | felixf |
> Man bestimme die Galois-Gruppe von folgendem Polynom:
> f = [mm]X^4-X^2-3[/mm] im Ring über dem Primkörper mit 5 Elementen
> mein Problem ist der Pimkörper. In dem polynomring der
> rationalen Zahlen ist das kein Problem. Kann jemand den
> Lösungsweg erklären?
Was weisst du ueber endliche Koerper? Jeder endliche Koerper mit [mm] $p^n$ [/mm] Elementen, $p$ eine Primzahl, ist ja eindeutig bis auf Isomorphie, und weiterhin isomorph zum Zerfaellungskoerper von [mm] $x^{p^n} [/mm] - x$ ueber [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] (genauer: er ist exakt die Menge der Nullstellen von diesem Polynom im Zerfaellungskoerper).
Wenn du nun eine endliche Koerpererweiterung $L/K$ hast mit $K$ einem endlichen Koerper, und $|K| = q$, dann ist die Erweiterung Galoisch und die Galoisgruppe von $L/K$ ist zyklisch (der Ordnung $n$). Sie wird von [mm] $\varphi_q [/mm] : L [mm] \to [/mm] L$, $x [mm] \mapsto x^q$ [/mm] erzeugt (Frobeniusautomorphismus).
Hattet ihr das schon? (Oder Teile davon?) Wenn nicht, versuch das zu zeigen. Um die eigentliche Aufgabe dann zu loesen, musst du nur noch den Grad $n$ der Koerpererweiterung Zerfaellungskoerper ueber [mm] $\IZ/5\IZ$ [/mm] zu bestimmen; die Galoisgruppe ist dann nach dem eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Mi 22.02.2006 | | Autor: | cycilia |
Thx, jo, das hatte ich vermutet und auch so gemacht gehabt, aber ich war mir nicht sicher, ob das stimmt. Hatten wir eigentlich alles, ich hab nur oft Schwieigkeiten, Sachverhalte zu kombinieren. Dann ist das klar, DANKE
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