Gamma-Funktion, Beppo-Levi < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei $s>1$
.
Zeigen Sie:
Für jedes [mm] $k\in\mathbb{N}$ [/mm] ist die Funktion [mm] $f_k:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ [/mm] definiert durch
[mm] $f_k(x):=e^{-kx}x^{s-1}$ [/mm] Lebesgue-integrierbar auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] mit
[mm] $\int_0^\infty f_k(x)\, dx=\frac{\Gamma(s)}{k^s}$ [/mm] |
Hallo,
ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe.
Als Hinweis ist gegeben, dass man geeignet substituieren soll.
Leider finde ich keine geeignete Substitution.
Ich habe bereits versucht [mm] $e^{-kx}$ [/mm] und [mm] $x^{s-1}$ [/mm] zu substituieren.
Am vielversprechendsten sah für mich die Substitution $u=kx$ aus.
Es ist [mm] $\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\, [/mm] dx$. (Edit: [mm] $\Gamma(x)$ [/mm] durch [mm] $\Gamma(s)$ [/mm] ersetzt)
Substituiere ich $u=kx$, so erhalte ich
$u'=k$, also [mm] $dx=\frac{du}{k}$
[/mm]
[mm] $\int_0^\infty e^{-u}\left(\frac{u}{k}\right)^{s-1}\cdot\frac{1}{k}\, du=\frac{1}{k^s}\int_0^\infty e^{-u}u^{s-1}\, du=\frac{\Gamma(u)}{k^s}$
[/mm]
Allerdings hilft das auch nicht sonderlich weiter.
Außerdem muss man auch den Satz von Beppo-Levi verwenden. Jedoch weiß ich nicht, wie ich meine Substitution wählen muss...
Hat jemand einen Tipp für mich?
Vielen Dank im voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Mi 09.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]s>1[/mm]
> .
> Zeigen Sie:
>
> Für jedes [mm]k\in\mathbb{N}[/mm] ist die Funktion
> [mm]f_k:[0,\infty)\to\mathbb{R}[/mm] definiert durch
>
> [mm]f_k(x):=e^{-kx}x^{s-1}[/mm] Lebesgue-integrierbar auf [mm][0,\infty)[/mm]
> mit
>
> [mm]\int_0^\infty f_k(x)\, dx=\frac{\Gamma(s)}{k^s}[/mm]
> Hallo,
>
> ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe.
> Als Hinweis ist gegeben, dass man geeignet substituieren
> soll.
>
> Leider finde ich keine geeignete Substitution.
> Ich habe bereits versucht [mm]e^{-kx}[/mm] und [mm]x^{s-1}[/mm] zu
> substituieren.
> Am vielversprechendsten sah für mich die Substitution [mm]u=kx[/mm]
> aus.
>
> Es ist [mm]\Gamma(x)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\, dx[/mm].
>
> Substituiere ich [mm]u=kx[/mm], so erhalte ich
>
> [mm]u'=k[/mm], also [mm]dx=\frac{du}{k}[/mm]
>
> [mm]\int_0^\infty e^{-u}\left(\frac{u}{k}\right)^{s-1}\cdot\frac{1}{k}\, du=\frac{1}{k^s}\int_0^\infty e^{-u}u^{s-1}\, du=\frac{\Gamma(u)}{k^s}[/mm]
Hä ???
Es ist doch
[mm] \frac{1}{k^s}\int_0^\infty e^{-u}u^{s-1}\, du=\frac{\Gamma(s)}{k^s}.
[/mm]
Wie kommst Du auf [mm] \Gamma(u) [/mm] ? $u$ ist duch die Integrationsvariable !
FRED
>
> Allerdings hilft das auch nicht sonderlich weiter.
> Außerdem muss man auch den Satz von Beppo-Levi verwenden.
> Jedoch weiß ich nicht, wie ich meine Substitution wählen
> muss...
>
> Hat jemand einen Tipp für mich?
> Vielen Dank im voraus.
|
|
|
| |
|
> Es ist doch
$ [mm] \frac{1}{k^s}\int_0^\infty e^{-u}u^{s-1}\, du=\frac{\Gamma(s)}{k^s}. [/mm] $
> Wie kommst Du auf $ [mm] \Gamma(u) [/mm] $ ?
Hmm, du hast recht. Ich habe oben die [mm] $\Gamma$-Funktion [/mm] auch falsch angegeben.
Aber dann erhalte ich durch diese Substitution ja direkt das Ergebnis, oder verstehe ich das etwas falsch. Was wäre hier denn dann noch zu tun?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Mi 09.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist doch
>
> [mm]\frac{1}{k^s}\int_0^\infty e^{-u}u^{s-1}\, du=\frac{\Gamma(s)}{k^s}.[/mm]
>
> > Wie kommst Du auf [mm]\Gamma(u)[/mm] ?
>
> Hmm, du hast recht. Ich habe oben die [mm]\Gamma[/mm]-Funktion auch
> falsch angegeben.
>
> Aber dann erhalte ich durch diese Substitution ja direkt
> das Ergebnis, oder verstehe ich das etwas falsch. Was wäre
> hier denn dann noch zu tun?
Du sollst doch zuerst zeigen, dass $ [mm] f_k(x):=e^{-kx}x^{s-1} [/mm] $ Lebesgue-integrierbar auf $ [mm] [0,\infty) [/mm] $ ist.
FRED
|
|
|
| |
|
> Du sollst doch zuerst zeigen, dass $ [mm] f_k(x):=e^{-kx}x^{s-1} [/mm] $ Lebesgue-integrierbar auf $ [mm] [0,\infty) [/mm] $ ist.
[mm] $f_k$ [/mm] ist Lebesgue-integrierbar, wenn
[mm] $\int_[0,\infty] |f_k(x)|\, dx<\infty$
[/mm]
richtig?
Da [mm] $f_k$ [/mm] positiv ist, kann ich die Beträge weglassen.
In einem gegebenen Tipp heißt es, dass man geeignet substituieren soll und dann Intervalle der Form [mm] $(\frac{1}{n}, [/mm] n)$ des Integrals betrachten soll um Beppo-Levi auszunutzen.
Also [mm] $\lim_{n\to\infty} \int_{\frac{1}{n}}^{n} f_k(x)\, [/mm] dx$ mit der Substitution von oben
[mm] $\frac{1}{k^s}\lim_{n\to\infty} \int_{\frac{1}{n}}^{n} e^{-u}u^{s-1}\, [/mm] du$
Nun hätte ich eine konstante Funktionenfolge, welche ich auch als Majorante wählen könnte.
Wenn ich den nun also die Grenzwerte vertausche, und da der Integrand von n nicht abhängt, erhält man
[mm] $\frac{1}{k^s}\int_{1/n}^n e^{-u}u^{s-1}\, [/mm] du$
Ich denke der Tipp ist anders gemeint, oder wäre es soweit korrekt?
|
|
|
| |
|
Hat hier noch jemand eine Anmerkung, bzw. einen Tipp?
|
|
|
| |
|
Hiho,
nur kurz:
> [mm]\frac{1}{k^s}\lim_{n\to\infty} \int_{\frac{1}{n}}^{n} e^{-u}u^{s-1}\, du[/mm]
>
> Nun hätte ich eine konstante Funktionenfolge, welche ich
> auch als Majorante wählen könnte.
>
> Wenn ich den nun also die Grenzwerte vertausche, und da der
> Integrand von n nicht abhängt, erhält man
>
> [mm]\frac{1}{k^s}\int_{1/n}^n e^{-u}u^{s-1}\, du[/mm]
der Schritt ist doch schlichtweg Blödsinn. Die Grenzen hängen von n ab und du ziehst die Grenzwertbildung bezüglich n einfach ins Integral.
Nach deiner Argumentation wäre ja für beliebiges [mm] $n\in\IN$
[/mm]
[mm] $\infty [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] n = [mm] \lim_{n\to\infty} \int_0^n [/mm] 1 dx = [mm] \int_0^n [/mm] 1 dx = n$
Das würde uns die Mathematik schon echt vereinfachen.....
Aber genug der Scherze: Du sollst zeigen, dass $ [mm] f_k(x):=e^{-kx}x^{s-1} [/mm] $ Lebesgue-integrierbar ist.
Offensichtlich gilt für jedes [mm] $l\in\IN$ [/mm] mit [mm] $l\ge [/mm] s$ gerade
$ [mm] f_k(x):=e^{-kx}x^{s-1} \le e^{-kx}x^{l-1}$
[/mm]
Zeige nun mit dem Tipp zur majorisierten Konvergenz und partieller Integration, dass [mm] $e^{-kx}x^{l-1}$ [/mm] Lebesgue-Integrierbar ist, indem du das Integral schlichtweg ausrechnest.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
> Zeige nun mit dem Tipp zur majorisierten Konvergenz und partieller Integration, dass $ [mm] e^{-kx}x^{l-1} [/mm] $ Lebesgue-Integrierbar ist, indem du das Integral schlichtweg ausrechnest.
Aber habe ich das Integral nicht bereits ganz zu Anfang ausgerechnet?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Aber habe ich das Integral nicht bereits ganz zu Anfang ausgerechnet?
wo denn? Ich sehe da nur eine Gleichheit. Noch kein Argument, warum links und rechts nicht auch unendlich stehen könnte.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Da hast du recht.
Aber es ist doch [mm] $\Gamma(s+1)=s!$ [/mm] und da man s fest wählt, ist dies endlich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Do 10.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Da hast du recht.
>
> Aber es ist doch [mm]\Gamma(s+1)=s![/mm]
Das gilt aber nur für s [mm] \in \IN
[/mm]
FRed
> und da man s fest wählt,
> ist dies endlich.
|
|
|
| |
|
Ja, aber kann ich für [mm] $s\in\mathbb{R}$ [/mm] das $s$ nicht einfach nach oben Abschätzen? Durch [mm] $\lfloor s\rfloor+1$.
[/mm]
(Wollte eigentlich die "Aufrundungsklammern" verwenden, aber kann mir den Code nicht merken...)
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Aber es ist doch $ [mm] \Gamma(s+1)=s! [/mm] $
> Ja, aber kann ich für [mm]s\in\mathbb{R}[/mm] das [mm]s[/mm] nicht einfach nach oben Abschätzen? Durch [mm]\lfloor s\rfloor+1[/mm].
Sofern ihr obiges für natürliche s bereits gezeigt habt, kann man das so machen.
Denn letztendlich ist genau das in dieser Aufgabe zu zeigen.
Mein Ansatz läuft ja letztendlich darauf hinaus.
> (Wollte eigentlich die "Aufrundungsklammern" verwenden,
> aber kann mir den Code nicht merken...)
Wenn du selbst entwickelst: Abrunden ist immer FLOOR, aufrunden ist CEIL
Dementsprechend ist die linke Abrundeklammer eben LFLOOR und die rechte eben RFLOOR.
Überraschung: Die Aufrundeklammern sind LCEIL und RCEIL
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Ich habe noch mal ins Skript geschaut und nein, dies haben wir leider bisher nicht bewiesen.
Ich soll nun also die Stammfunktion von
[mm] $\int e^{-kx}x^{s-1}\, [/mm] dx$ bestimmen und dann das uneigentliche Integral ausrechnen, bzw. zeigen, dass es beschränkt ist. Und dann kann ich, wie oben, zeigen, dass das Ergebnis [mm] $\frac{\Gamma(s)}{k^s}$ [/mm] ist.
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Ich soll nun also die Stammfunktion von
>
> [mm]\int e^{-kx}x^{s-1}\, dx[/mm] bestimmen
Für [mm] $s\in\IN$.
[/mm]
Für beliebige [mm] $s\ge [/mm] 1$ wirst du keine geschlossene Form angeben können (sonst wäre die Gammafunktion ja sinnfrei...)
> und dann das uneigentliche Integral ausrechnen, bzw. zeigen, dass es beschränkt ist. Und dann kann ich, wie oben, zeigen, dass das Ergebnis [mm]\frac{\Gamma(s)}{k^s}[/mm] ist.
Korrekt. Das geht mit (s-1)-facher partieller Integration aber recht einfach.
Da du eh nur die Beschränktheit zeigen willst und dir das Ergebnis egal ist, geht das mit vollständiger Induktion sogar noch viel viel schneller.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Für die vollständige Induktion benötige ich ja eine Rekursionsformel, die ich dann beweisen kann.
Ich habe die partielle Integration zwei mal angewandt. Im ersten Schritt erhalte ich:
[mm] $-\frac{1}{k}e^{-kx}x^{s-1}+(s-1)\frac{1}{k}\int e^{-kx}x^{s-2}\, [/mm] dx$
im zweiten Schritt
[mm] $-\frac{1}{k}e^{-kx}x^{s-1}+(s-1)\frac{1}{k^2}(-e^{-kx}x^{s-1}+(s-2)\int e^{-kx}x^{s-3}\, [/mm] dx)$
Gibt es eine effektivere Methode die Rekursion zu erkennen?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Für die vollständige Induktion benötige ich ja eine Rekursionsformel, die ich dann beweisen kann.
Nö.
Wie wäre es mit:
[mm] $\int_0^\infty e^{-kx}x^{s-1}\, [/mm] dx < [mm] \infty$
[/mm]
für [mm] $s\in\IN$
[/mm]
> Ich habe die partielle Integration zwei mal angewandt. Im
> ersten Schritt erhalte ich:
>
> [mm]-\frac{1}{k}e^{-kx}x^{s-1}+(s-1)\frac{1}{k}\int [/mm]
>
> im zweiten Schritt
>
> [mm]-\frac{1}{k}e^{-kx}x^{s-1}+(s-1)\frac{1}{k^2}(-e^{-kx}x^{s-1}+(s-2)\int e^{-kx}x^{s-3}\, dx)[/mm]
>
> Gibt es eine effektivere Methode die Rekursion zu erkennen?
Ja!
Wo sind deine Grenzen hin???
Setze die ein, dann passiert da was.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Jaja, die Grenzen.... :)
Immer wenn ich Stammfunktionen bestimme, lasse ich die Grenzen erstmal weg und setze sie dann am Ende ein. Das finde ich auch eigentlich erstmal übersichtlicher, und natürlich auch weniger Schreibarbeit. Sollte mir das dann vielleicht mal abgewöhnen. Ist auch noch ein Überbleibsel aus der Abiturzeit.
Dann ist
[mm] $F(x)=\lim_{a\to\infty}[-\frac{1}{k}e^{-kx}x^{s-1}]_{0}^a+(s-1)\frac{1}{k}\int_0^{\infty}e^{-kx}x^{s-2}\, [/mm] dx$
Der erste Teil ist dann Null, weil die e-Funktion sich gegenüber der polynomialen Funktion "durchsetzt", salopp gesagt.
Übrig bleibt also
[mm] $F(x)=(s-1)\frac{1}{k}\int_0^{\infty}e^{-kx}x^{s-2}\, [/mm] dx$
Jetzt kann ich eigentlich so weiter mit partieller Integration vorgehen. Nach (s-1) Schritten, müsste ich dann am Ende
[mm] $F(x)=(s-1)!\frac{1}{k^{s-1}}\int_0^{\infty}e^{-kx}\, [/mm] dx$
erhalten.
[mm] $\int_0^{\infty}e^{-kx}\, dx=\frac{1}{k}$, [/mm] also ist der Ausdruck beschränkt.
|
|
|
| |
|
Hiho,
so siehts aus.
Und bei vollständiger Induktion wärst du schon nach dem ersten Schritt fertig, denn:
s=1:
$ [mm] \int_0^{\infty}e^{-kx}=\frac{1}{k} [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
Vor: Aussage gilt für s-1 d.h.
$ [mm] \int_0^{\infty}e^{-kx}x^{(s-1)-1} \, [/mm] dx < [mm] \infty$
[/mm]
s-1 [mm] \to [/mm] s:
$ [mm] \int_0^{\infty}e^{-kx}x^{s-1} \, [/mm] dx = [mm] \frac{(s-1)}{k} \int_0^{\infty}e^{-kx}x^{s-2} \, [/mm] dx < [mm] \infty$
[/mm]
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Ok. Dann habe ich die Integrierbarkeit gezeigt und kann nun so vorgehen wie ganz zu Anfang und bin dann bereits fertig?
Brauche ich den Satz von Beppo-Levi dann hier wieder wenn ich das uneigentliche Integral berechne und dann den Grenzwert einsetze?
|
|
|
| |
|
Hiho,
Du hast ja bei der partiellen Integration bereits einen Grenzwert reingezaubert. Wenn du Beppo Levi anwendest bekommst du den auch legal da rein :)
Gruß
Gono
|
|
|
| |
|
Als Tipp war noch gegeben Intervalle der Form $(1/n,n)$ zu betrachten.
Das machen wir hier ja auch nicht.
Ich finde das etwas eigenartig, da die Rechnung an sich ja ziemlich einfach ist, weshalb man einen solchen Tipp gibt. Kannst du dir das erklären?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Als Tipp war noch gegeben Intervalle der Form [mm](1/n,n)[/mm] zu
> betrachten.
> Das machen wir hier ja auch nicht.
>
> Ich finde das etwas eigenartig, da die Rechnung an sich ja
> ziemlich einfach ist, weshalb man einen solchen Tipp gibt.
> Kannst du dir das erklären?
der Tipp würde Sinn machen, wenn 0 eine kritische Stelle ist. Durch die Angabe, dass $s>1$ ist sie das aber nicht. Daher würde es hier ausreichen Intervalle der Form $[0,n]$ zu betrachten.
Dir ist hoffentlich klar, dass du genau das tust, wenn du Beppo-Levi anwendest.
Es gilt nämlich:
[mm] $\lim_{n\to\infty} f_k1_{[0,n]} [/mm] = [mm] f_k$ [/mm] und mit Beppo Levi folgt
[mm] $\lim_{n\to\infty} \int_0^n f_k [/mm] dx = [mm] \int_0^\infty f_k [/mm] dx$
Ich vermute, dass die ursprüngliche Aufgabe war, das für $s>0$ zu machen. Dann wäre auch 0 eine kritische Stelle und der Hinweis wäre in seiner Gänze sinnvoll und die Aufgabe trotzdem genauso zu lösen.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Ja, das macht Sinn.
Vielen Dank für deine Hilfe.
|
|
|
|
