Gamma-Verteilung < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:09 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Englein89 |
Hallo,
ich benötige nach langer Zeit einmal mehr eure geschätzte Hilfe!
Ich habe gegeben eine Gamma-Verteilung
[mm] f(x|r,\alpha)=Gamma(r,\alpha)=\bruch{\alpha^{r}x^{r-1}e^{-x\alpha}}{Gamma(r)} [/mm]
wobei Gamma (r) die vollständige Gammafunktion darstellt.
Mir sind die Werte r und [mm] \alpha [/mm] bekannt.
Wie kann ich nun die kumulierte Verteilungsfunktion ermitteln? Leider stehe ich total auf dem Schlauch.
Vielen Dank für eure Hilfe vorab!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Englein89,
auch wenn sich die Frage für dich erledigt hat, ist dies noch lange kein Grund, sie zu löschen. Ich habe sie wiederhergestellt und würde dich bitten, dies in Zukunft zu unterlassen.
Gruß, Diophant
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Das tut mir leid. Ich wollte nicht, dass sich ggf. jemand unnötig Mühe gibt, mir etwas zu erklären, was ich in der Zwischenzeit selbst herausgefunden bzw. vereinfacht habe.
Aber du hast Recht, es war ein Fehler, denn in Verbindung mit meiner anderen Frage zur e-Funktion https://vorhilfe.de/read?t=966817 wäre es ggf. angebracht, diese Diskussion bestehen zu lassen.
Ich habe die Frage deshalb zurückgezogen, da ich mittlerweile weiß, dass r=1 und Alpha=2. Und da Gamma(1)=1 folgt doch:
f(x)=2e^(-2x) oder?
In dem anderen Thread möchte ich nun gerne aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion f die Verteilungsfunktion F ermitteln. Das jedoch gelingt mir bisher nicht.
Entweder ist also mein Gedankengang hier nicht korrekt, oder das weitere Vorgehen mit der e-Funktion im anderen Thread.
Tut mir aufrichtig leid für die Umstände!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Mi 15.05.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin
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> f(x)=2e^(-2x) oder?
>
> In dem anderen Thread möchte ich nun gerne aus der
> Wahrscheinlichkeitsfunktion f die Verteilungsfunktion F
> ermitteln. Das jedoch gelingt mir bisher nicht.
>
Wo ist das Problem? Das ist die Dichte einer Exponentialverteilung, und eine alte Bauernregel besagt, dass deren Verteilungungsfunktion gegeben ist durch [mm] $F(x)=1-\exp(-2x)$ [/mm] fuer $x>0$ und $F(x)=0$ sonst.
vg Luis
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Hallo,
vielen Dank für diesen Tipp. Ich denke, für mich und alle Hilfswilligen sollte ich noch einmal zusammenfassen:
Ich habe eine Gammafunktion f, die inhaltlich die Anzahl an Käufen abbildet:
[mm] f(x|r,\alpha)=Gamma(r,\alpha)=\bruch{\alpha^{r}x^{r-1}e^{-x\alpha}}{Gamma(r)}
[/mm]
Ich weiß, dass r=1 und [mm] \alpha=2; [/mm] Gamma(1)=1
Also:
[mm] f(x)=2e^{-2x}
[/mm]
Nun sehe ich (dank des Hinweises von Luis!), dass dies nichts Anderes als die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Exponentialverteilung ist, wobei [mm] \Lambda=2. [/mm] D.h. in diesem Fall ist die Anzahl der Käufe nun exponentialverteilt. Kann man das so sagen?
Die (kumulierte) Verteilungsfunktion der Exponentialfunktion ist [mm] F(X|\Lambda)=1-e^{-\Lambda x}
[/mm]
Da [mm] \Lambda [/mm] im obigen Fall =2 ist, kann ich nun F(X) bilden, indem ich Lambda durch 2 ersetze, also
[mm] F(X|2)=1-e^{-2x}?
[/mm]
Ich habe nun verschiedene Zufallszahlen zwischen 0 und 1, also zufällig ausgegebene Wahrscheinlichkeiten. Diese möchte ich nun in die Funktion eingeben und mir eine beliebige Anzahl an Käufen simulieren lassen.
Diese Wahrscheinlichkeiten kann ich in die obige Verteilungsfunktion nicht eingeben. Dafür muss ich die Inverse bilden. Diese lautet:
-1/2ln(1-y) oder auch -1/2ln(y), denn es ist in meinem Falle doch eigentlich egal, ob ich 1-p oder p eingebe, es sind ja immernoch Zufallszahlen?
Für Korrekturen (gerne auch inhaltlich) würde ich mich sehr freuen! Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Englein89 |
Das freut mich. Danke!
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Hallo,
eine Frage hätte ich dann doch noch: Wenn ich f(x)=Gamma(r,alpha) mit r=1 und alpha=2 zeichnen möchte, gibt es einen Plotter online, der mir das ausgeben kann?
Ich frage mich nämlich, ob die Besonderheit mit den Parametern nicht bedeuten könnte, dass zum Einsetzen der Zufallszahlen zwischen 0 und 1 die Ermittlung von F(x) gar nicht nötig ist, weil ohnehin nur Werte zwischen 0 und 1 eingesetzt werden können?
Ggf. kann ich mir bei dem Vorgehen, wie oben gezeigt, die Ermittlung von F(x) und die Berechnung der Inverse sparen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Do 16.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> Hallo,
> eine Frage hätte ich dann doch noch: Wenn ich
> f(x)=Gamma(r,alpha) mit r=1 und alpha=2 zeichnen möchte,
> gibt es einen Plotter online, der mir das ausgeben kann?
Wozu?
>
> Ich frage mich nämlich, ob die Besonderheit mit den
> Parametern nicht bedeuten könnte, dass zum Einsetzen der
> Zufallszahlen zwischen 0 und 1 die Ermittlung von F(x) gar
> nicht nötig ist, weil ohnehin nur Werte zwischen 0 und 1
> eingesetzt werden können?
Willst du nun zeichnen oder Zufallszahlen erzeugen?
Im letzteren Fall erzeugst du gleichverteillte Zufallszahlen [mm] $u_1,\dots,u_n$ [/mm] und transformierst sie zu [mm] $x_1=-\ln(u_1)/\lambda, \dots, x_n=-\ln(u_n)/\lambda$. [/mm] Dann hast du $n$ [mm] Exponential($\lambda$)-verteilte [/mm] Zufallszahlen.
>
> Ggf. kann ich mir bei dem Vorgehen, wie oben gezeigt, die
> Ermittlung von F(x) und die Berechnung der Inverse sparen?
Ja, siehe oben.
vg Luis
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> > Ich frage mich nämlich, ob die Besonderheit mit den
> > Parametern nicht bedeuten könnte, dass zum Einsetzen der
> > Zufallszahlen zwischen 0 und 1 die Ermittlung von F(x) gar
> > nicht nötig ist, weil ohnehin nur Werte zwischen 0 und 1
> > eingesetzt werden können?
>
> Willst du nun zeichnen oder Zufallszahlen erzeugen?
Ich dachte, das Zeichnen würde mir ggf. beim Verständnis helfen.
Ich will zufällig erzeugte Zahlen u (in Excel) zwischen 0 und 1 in eine Funktion einsetzen (hier die anfangs genannte Gammafunktion mit einem festen Parameter r und alpha), die mir dann wiederum eine zufällige Anzahl an Käufen x ausgeben soll. Denn diese sind gammaverteilt.
>
> Im letzteren Fall erzeugst du gleichverteillte
> Zufallszahlen [mm]u_1,\dots,u_n[/mm] und transformierst sie zu
> [mm]x_1=-\ln(u_1)/\lambda, \dots, x_n=-\ln(u_n)/\lambda[/mm]. Dann
> hast du [mm]n[/mm] Exponential([mm]\lambda[/mm])-verteilte Zufallszahlen.
Aber um diese Zufallszahlen x (hier: zufällige Anzahl an Käufen) zu ermitteln, kann ich doch nicht einfach die Inverse von f(x) sondern MUSS die Inverse von F(x) bilden, oder?
>
> >
> > Ggf. kann ich mir bei dem Vorgehen, wie oben gezeigt, die
> > Ermittlung von F(x) und die Berechnung der Inverse sparen?
>
> Ja, siehe oben.
Das würde der obigen Aussage widersprechen, oder verstehe ich dich falsch? Denn [mm] x_n=-\ln(u_n)/\Lambda [/mm] erhalte ich ja nur, indem ich die Inverse von F(X) berechne, die in meinem Fall die Inverse der Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit Lambda=2 darstellt (und nicht mehr die Inverse der Verteilungsfunktion der Gammaverteilung, da diese mit den Parametern r=1 und Alpha=2 zu einer Exponentialverteilung wird).
Ich frage deshalb so genau, da ein Kommilitone einfach die Inverse der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, also f(x), gebildet hat und damit wesentlich bessere Ergebnisse erzeugen konnte.
Aber mir leuchtet nicht ein, weshalb man die Inverse von f(x) bilden darf und dort die u-Werte zwischen 0 und 1 eingibt, um eine zufällige Anzahl an Käufen x zu generieren. Werte zwischen 0 und 1 kann man doch nur in eine (kumulierte) Verteilungsfunktion eingeben, oder nicht?
Und dann kam mir die Idee, ob durch die Parameter-Festlegung nicht bspw. ohnehin nur u-Werte zwischen 0 und 1 in die Inverse von f(x) eingesetzt werden können, weil durch die Parameter bestimmt sein könnte, dass f(x) nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann. So bräuchte ich ja die kumulierte Verteilungsfunktion von f(x) nicht mehr.
Kurz:
Brauche ich die Inverse von f(x)=2e^(-2x) oder
brauche ich die Inverse von F(X)=1-e^(-2x)
um die zufällig erzeugten Zahlen u zwischen 0 und 1 einzusetzen und dann eine zufällige Anzahl an Käufen zu erzeugen? Und warum?
Vielen Dank für die Zeit, die du dir nimmst, um die Frage zu verstehen und darauf zu antworten! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Do 16.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> Ich frage deshalb so genau, da ein Kommilitone einfach die
> Inverse der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, also f(x),
> gebildet hat und damit wesentlich bessere Ergebnisse
> erzeugen konnte.
Das glaube ich nicht. Es ist [mm] $f^{-1}(y)=-\ln(y/2)/2$, [/mm] $0<y<2$. Fuer $0<y<1$ liegt [mm] $f^{-1}(y)$ [/mm] im Intervall [mm] $(0.3465,\infty)$. [/mm] Eine exponentialverteilte Zufallsvariable nimmt aber auch gerne Werte an $<0.3465$.
> Aber mir leuchtet nicht ein, weshalb man die Inverse von
> f(x) bilden darf und dort die u-Werte zwischen 0 und 1
> eingibt, um eine zufällige Anzahl an Käufen x zu
> generieren. Werte zwischen 0 und 1 kann man doch nur in
> eine (kumulierte) Verteilungsfunktion eingeben, oder nicht?
Ja.
>
> Und dann kam mir die Idee, ob durch die
> Parameter-Festlegung nicht bspw. ohnehin nur u-Werte
> zwischen 0 und 1 in die Inverse von f(x) eingesetzt werden
> können, weil durch die Parameter bestimmt sein könnte,
> dass f(x) nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann. So
> bräuchte ich ja die kumulierte Verteilungsfunktion von
> f(x) nicht mehr.
Vergiss $f$. Im allgemeinen macht das auch keinen Sinn, wenn $f$ keine Umkehrfunktion besitzt, wie beispielsweise die Normalverteilung.
>
> Kurz:
> Brauche ich die Inverse von f(x)=2e^(-2x) oder
Nein.
> brauche ich die Inverse von F(X)=1-e^(-2x)
Ja. Hier ist ein Beweis: Die Verteilungsfunktion der Gleichverteilung ist $G(u)=u$ fuer $0<u<1$. Gesucht ist die Verteilung von [mm] $F^{-1}(U)$. [/mm] z.B. ihre Verteilungsfunktion:
[mm] $P(F^{-1}(U)\le x)=P(U\le [/mm] F(x))=F(x)$.
vg Luis
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Verstehe.
Was ich mich nun noch frage: Wenn ich eine Zufallszahl eingebe, dann bekomme ich ja stetige Werte ausgegeben, also zB 2,56748.
Ich suche aber eine Anzahl an Käufen, also einen diskreten Wert. Ändert das irgendetwas an der Vorgehensweise?
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Ich habe beim Recherchieren im Internet herausgefunden, dass Excel den Befehl =Gammainv(p, Alpha, Beta) mitliefert.
Ich frage mich nur, ob das tatsächlich das gleiche tut und ob ich für beta einfach mein r eingeben kann oder in Wirklichkeit für alpha r eingesetzt werden müsste und für beta mein alpha. Das wird irgendwie nirgendwo spezifiziert.
Kann da jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 21.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
ich habe eine Funktion die lautet
2e^(-2x)
Nun habe ich f zu F "aufgeleitet":
-e^(-2x)
Nun würde ich gerne die Inverse bilden, also: y=-e^(-2x) nach x auflösen. Leider stehe ich auf dem Schlauch und mir fällt kein Weg ein. Ist mein Integral überhaupt richtig berechnet worden und kann ich damit die Inverse bilden um y-Werte einzusetzen?
Ursprünglich hatte ich eine Gamma-Funktion. Das Integral habe ich entsprechend der Definition über [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] gebildet.
Ich hoffe, ich bin nicht total auf dem falschen Weg.
Vielen Dank!
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Hallo,
> Hallo,
> ich habe eine Funktion die lautet
>
> 2e^(-2x)
>
> Nun habe ich f zu F "aufgeleitet":
>
> -e^(-2x)
>
Du hast eine Stammfunktion bestimmt. Den Unsinn mit dem Unwort Aufleiten sollte man unterlassen, da es sprachlicher Humbug ist.
> Nun würde ich gerne die Inverse bilden, also: y=-e^(-2x)
> nach x auflösen. Leider stehe ich auf dem Schlauch und mir
> fällt kein Weg ein. Ist mein Integral überhaupt richtig
> berechnet worden und kann ich damit die Inverse bilden um
> y-Werte einzusetzen?
Das Integral ist wie gesagt richtig, und die Inverse bekommt man durch Logarithmieren.
> Ursprünglich hatte ich eine Gamma-Funktion. Das Integral
> habe ich entsprechend der Definition über
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] gebildet.
>
Das kann man so nicht nachvollziehen. Wie wäre es denn, deine Fragen in Zukunft gründlicher vorzubereiten? Dann musst du nicht die eine Frage löschen und eine zweite damit zusammenhängende einstellen, so dass man diesen Zusammenhang nicht nachvollziehen kann.
Gruß, Diophant
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In Ordnung. Tut mir leid.
Zur Bildung der Stammfunktion bin ich so vorgegangen:
Da der Ursprung eine Gammverteilung war https://vorhilfe.de/read?i=966821 habe ich aus f(x)=2e^(-2x) mit den Grenzen [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] die allgemeine Stammfunktion, in diesem Fall die kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung ermitteln wollen. Das Ergebnis war:
-e^(-2x). Aber ich habe bisher immer nur mit den Grenzen [mm] \integral_{0}^{x}{f(x) dx} [/mm] gerechnet und weiß nicht, ob ich bei der Rechnung mit [mm] \infty [/mm] anders integrieren muss. Im Grunde frage ich mich das auch deshalb, weil aus meiner Sicht eine kumulierte Wahrscheinlichketsfunktion doch nicht negativ sein darf bzw. negative Werte ausgeben darf?!
Und dann würde ich gerne die Inverse der F-Funktion bilden, jedoch sind die Logarithmier-Regeln schon sehr lange her, sodass ich wirklich auf dem Schlauch stehe.
Vielen Dank und nochmals Entschuldigung für die Umstände!
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Na sowas, das Englein!
Hallo!
> Zur Bildung der Stammfunktion bin ich so vorgegangen:
>
> Da der Ursprung eine Gammverteilung war
> https://vorhilfe.de/read?i=966821 habe ich aus f(x)=2e^(-2x)
> mit den Grenzen [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] die
> allgemeine Stammfunktion,
Es ist [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}=\lim_{a\to\infty}\integral_{0}^{a}{f(x) dx}, [/mm]
verwenden wir Deine Stammfunktion, dann haben wir
[mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}= \lim_{a\to\infty}[-e^{-2x}]_{0}^{a}=\lim_{a\to\infty}(-e^{-2a}-(-e^{-2*0})]
[/mm]
[mm] =\lim_{a\to\infty}(-e^{-2a}+1)=...
[/mm]
kurz überlegen: [mm] \quad [/mm] " [mm] \quad e^{-\infty} \quad [/mm] " =0 (Graph angucken!).
Also bekommst Du ...=-0+1=1,
dh. [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}=1.
[/mm]
Inverse Funktion berechnen: x und y tauschen und dann nach y auflösen.
Aufzulösen nach y ist also
[mm] x=-e^{-2y} \qquad [/mm] |*(-1)
[mm] -x=e^{-2y} \qquad jetzt\quad die\quad Umkehrfunktion\quad der\quad [/mm] Exponentialfunktion:
[mm] ln(-x)=ln(e^{-2y}) [/mm]
Weil der ln die e-Funktion umkehrt, bekommt man:
ln(-x)=-2y.
Nun noch durch -2 dividieren, und damit bist Du dann fertig.
LG Angela
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Hallo,
das heißt, die allgemeine Stammfunktion habe ich richtig berechnet. Das ist schon einmal schön.
Zur Ermittlung der allgemeinen Stammfunktion verwende ich aber [mm] \integral_{0}^{x}{f(x) dx} [/mm] richtig? Verwende ich [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}, [/mm] weiß ich, dass die Funktion gegen unendlich gegen 1 läuft. Habe ich das richtig intepretiert?
Die Inverse lautete also
ln(-x)/-2=y. Aber für x kann ich dann nur negative Werte einsetzen, oder? Den Logarithmus einer negativen Zahl kann ich ja nicht berechnen. Das würde irgendeinen Denkfehler bedeuten, denn mir liegen nur positive x-Werte vor, die ich einsetzen will und dann damit Werte für y berechnen möchte.
Was würde es denn bedeuten, wenn ich die Inverse von f verwende statt der Inversen von F? In die Inverse von f könnte ich ja positive x-Werte einsetzen. Vielleicht hilft es ja, wenn ich nochmals auf den Thread hier verweise https://vorhilfe.de/read?i=966813. Damit habe ich ja f(x) erst berechnet. Möglicherweise liegt das Problem schon irgendwo am Anfang.
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> Zur Ermittlung der allgemeinen Stammfunktion verwende ich
> aber [mm]\integral_{0}^{x}{f(x) dx}[/mm] richtig?
Hallo,
eine Stammfunktion ist [mm] F(x):=\integral_{0}^{x}{f(t) dt}.
[/mm]
(Die Integrationsvariable und die Grenze müssen unterschiedlich heißen. Sonst gibts Wirrwarr.)
> Verwende ich
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx},[/mm] weiß ich, dass die
> Funktion gegen unendlich gegen 1 läuft.
Das Integral geht gegen 1, dh. die Fläche zwischen dem Graphen Deiner Funktion und der pos. x-Achse geht gegen 1.
> Die Inverse lautete also
>
> ln(-x)/-2=y. Aber für x kann ich dann nur negative Werte
> einsetzen, oder?
Ja.
>
>
> Was würde es denn bedeuten, wenn ich die Inverse von f
> verwende statt der Inversen von F?
Die Inverse von y=2e^(-2x) ist y=-1/2*ln(x/2).
Zur Bedeutung im Sachzusammenhang kann ich Dir nichts sagen, Du scheinst ja irgendwas Statistisches zu bearbeiten, und da kenne ich mich nicht genug aus.
LG Angela
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Besten Dank Angela!
Genau, ich bearbeite etwas Statistisches.
Die Gammafunktion gibt die Anzahl an erwarteten Kundenkäufen an, wobei die Parameter Alpha und r gegeben sind. Vielleicht hilft das als Verständnis für die ganze Aufgabe.
Mit der Inversen will ich erreichen, dass ich für eine Zufallszahl in Excel (zwischen 0 und 1) die Anzahl von Kundenkäufen simulieren kann.
In diesem Moment kommt mir die Frage: Reicht es dann nicht, einfach die Inverse der Gamma-Verteilung mit den gesetzten Parametern zu bilden? Oder muss ich die Stammfunktion bilden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 19.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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