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Gamma Funktion: Tipp, Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 Do 06.12.2007
Autor: gandhito

Aufgabe
Compute the following integral using the gamma function!

[mm] I=\integral_{0}^{\infty}{x^{n} e^{-mx} dx}, [/mm] m >0

Gamma Function: f(a)= [mm] \integral_{o}^{\infty}{ x^{a-1} e^{-x} dx}, [/mm] a [mm] \in \IR, [/mm] where f(a)= (a-1)f(a-1)

Wie löse ich das am einfachsten? Partielle Integration? Habe leider keine Lösung. Danke

        
Bezug
Gamma Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:30 Fr 07.12.2007
Autor: luis52

Moin   gandhito,

Setze $t=mx$, $x=t/m$, $dt/dx=m$. Dann ist

[mm] \begin{matrix} \int_0^\infty x^n\exp(-mx)\, dx &=& \int_0^\infty(t/m)^n\exp(-t)(1/m)\, dt\\ &=&\frac{1}{m^{n+1}}\int_0^\infty t^{(n+1)-1}\exp(-t)\, dt\\ &=&\frac{1}{m^{n+1}}f(n+1)\\ &=&\frac{n+1}{m^{n+1}}f(n) \end{matrix} [/mm]

lg Luis


Bezug
                
Bezug
Gamma Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Sa 08.12.2007
Autor: gandhito

Danke Luis. Habs mal nachgerechnet. Kriege aber am Schluss im Nenner nur ein n und nicht ein 1 + n. Kann das sein?

Bezug
                        
Bezug
Gamma Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Sa 08.12.2007
Autor: Blech


> Danke Luis. Habs mal nachgerechnet. Kriege aber am Schluss
> im Nenner nur ein n und nicht ein 1 + n. Kann das sein?

Wenn Du den Exponenten des Nenners meinst, dann hast Du wahrscheinlich vergessen, daß:
dt/dx=m
dt/m=dx
Da kommt das n+1-te m her.

Wenn Du den Zähler meinst, dann hast Du recht, da hat sich luis vertan.
[mm] $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ [/mm] =)

Bezug
                                
Bezug
Gamma Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:15 Sa 08.12.2007
Autor: luis52

Danke blech, du hast Recht.

lg Luis




Bezug
                                
Bezug
Gamma Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:46 Sa 08.12.2007
Autor: gandhito

Hab den Zähler gemeint. Jetzt is mir alles klar. Danke

Bezug
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