Ganzrationale Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen sie, dass es keine ganzrationale Funktion mit dem angegeben Grad gibt welche die geforderten Eigenschaften besitzt. Wie muss man die Forderung verändern damit eine Lösungsfunktion mit dem angegeben Grad existiert?Versuchen sie gnazrationale Funktionen höheren grades mit dem ürsprünglich geforderten Eigenschaften zu finden:
a) Grad 2: Nullstellen bei 0 und 3 relative Extremstelle bei 1
b)Grad 3: Relative Extremstelle bei 0 und 3 Wendestelle bei 1 |
Ich weiss überhauüt nicht wie dass gehen soll ausserdem habe ich dann noch eine aufgabe und zwar sind 3 graphen gezeichnet:
die aufgabe ist, Finden sie zu dem abgebildeteb Graph eine ganzrationale funktion.
Wirklich habe keine ahnung sodass ich noch nichteinmal einen Ansatz liefern kann
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Fr 24.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich zeig Dir mal a)
Angenommen, es gibt eine ganz rationale Funktion $f(x) = [mm] ax^2+bx+c$ [/mm] vom Grad 2 , also $ a [mm] \not= [/mm] 0$, mit
$f(0) = f(3) = 0$ und $f'(1) = 0$
$f(0) = 0 $ liefert $c= 0$
$f(3) = 0$ liefert
(1) $b+3a = 0$
$f'(1) = 0$ liefert
(2) $b+2a= 0$
Aus (1) und (2) erhalten wir den Widerspruch $a=0$
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:52 Fr 24.04.2009 | | Autor: | PeterSteiner |
ok danke das habe ich jetzt soweit verstanden nur wie kann ich anahnad von graphen eine ganzrationale funktion finden wenn mir nur die zeichnung vorliegt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Fr 24.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> ok danke das habe ich jetzt soweit verstanden nur wie kann
> ich anahnad von graphen eine ganzrationale funktion finden
> wenn mir nur die zeichnung vorliegt?
Wenn nur Dir die Zeichnung vorliegt und nicht mir, so kann ich Dir nicht antworten. Zeig mal die Zeichnung
FRED
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NR 18
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Fr 24.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Hinweis: Zahl der Nullstellen, dabei zaehlen beruehrpunkte wie in der 1. Zeichnung doppelt. die hat also 3 Nst.
2. Hinweis : zahl der Extrema.
3. Hinweis Symmetrien
4. Hinweis verhalten fuer grosse neg und pos. x.
Zu 1. Eine ganz rat. Fkt n.ten Grades hat hoechstens n Nullstellen
zu 2. Eine ganz rat. Fkt n.ten Grades hat hoechstens (n-1) Extrema
3, Eine ganz rat. Fkt mit nur geraden Exponenten ist symetrisch zur y-Achse, mit nur ungeraden Exponenten drehsym. zum ) Punkt.
4. ist der hoechst Exponent gerade, verhaelt sich die fkt fuer gross neg und pos x gleich, bei ungeraden ungleich.
Jetzt zur genauen Bestimmung der fkt am Beispiel der ersten Zeichnung
3 Nst, 2 extrema also 3. Grades.
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
f(0)=0 f(6)=0 f'(6)=0 f'(2)=0 gibt dir 4 Gleichungen um a,b,c,d zu bestimmen. Kontrolle dann etwa durch [mm] f(4)\approx [/mm] 4.
jetzt bist du dran mit der 2 ten.
bei der 3. hat man bei x=1 eine waagerechte Tangente und einen Wendepunkt.
Gruss leduart
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ok vorweg noch eine frage wi kommst du in diesem fall bei zeichnung 1 auf 3 nulsstellen ?? Sind doch nur 2 oder?
Ok 2 zeichnung:
2 Nullstellen 3 Extrema 2Wendepunkt also eine funktion 6 grades?
[mm] x^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+gx
[/mm]
f(2,8)=0
f-2,8)=0
ohh mir fällt was auf die funktion ist ja achsensymetrisch
also ist es dann eine funktion 4 grades oder:
Ich habe 1 extrema
Ich habe 2nullstellen
und ich habe eine horizontale tangenete
also f(-2,8)=0
f(-2)=-3
f(-0,8)=0
f`(0)=1
ist das soweit richtig oder falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Fr 24.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
> ok vorweg noch eine frage wi kommst du in diesem fall bei
> zeichnung 1 auf 3 nulsstellen ?? Sind doch nur 2 oder?
Leduart hatte Dich extra darauf hingewiesen: bei $x \ = \ 6$ wird die x-Achse "nur" berührt: es handelt sich hier also um eine doppelte Nullstelle, so dass insgesamt 3 Nullstellen existieren.
Gruß
Loddar
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ok lass es uns nocheinmal schritt für schritt machen.
Ich muss mir ja meine ganzen punkte suchen damit ich mit hinterher eine funktion bauen kann, diese muss gearde exponenten besitzen da achsensymetrie vorliegt.
Also auf Bild NR2 von NR 18 ist folgendes festzustellen:
3 Extrema :
(-2/-3)
(2/-3)
(0/1)
4 Nullstellen die man aber nicht genau ablesen kann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Soweit stimmt es. Stelle also nun die Bestimmungsgleichungen auf.
Gruß
Loddar
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3 Extrema :
(-2/-3)
(2/-3)
(0/1)
4 Nullstellen die man aber nicht genau ablesen kann
f(-2)=-3
f`2)=-3
f(0)=1
das zu den extrema
oder muss ich die erste ableitung nehmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
> f(-2)=-3
> f'2)=-3
Ich hoffe, hinter dem f soll eine "Klammer auf" sein.
> f(0)=1
> das zu den extrema
> oder muss ich die erste ableitung nehmen?
Ja, das solltest Du. Wie lautet denn Deine allgemeine Funktionsvorschrift für die achsensymmetrische Funktion?
Wieviel Unbekannte hast Du, wieviele Bestimmungsgleichungen benötigst Du demnach?
Gruß
Loddar
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f(-2)=-3
f(2)=-3
f(0)=1
also ich habe jetzt 3 unbekannte also eine funktion 2 grades
[mm] ax^2+bx+c
[/mm]
und jetzt dann quasi einsetzen ?
also
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
> also ich habe jetzt 3 unbekannte also eine funktion 2 grades
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wieviel Extrema kann eine Funktion 2. Grades haben?
Gruß
Loddar
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einen aber ich weiss nicht so recht was ich machen muss ich hab die drei koordinaten von meinen punkten also 3 extrema.
Es muss aber dann eine funktion 4 grades sein nur wo bekomme ich dann eine 4 koordiante her?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Sa 25.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
> einen aber ich weiss nicht so recht was ich machen muss ich
> hab die drei koordinaten von meinen punkten also 3
> extrema.
> Es muss aber dann eine funktion 4 grades sein nur wo
> bekomme ich dann eine 4 koordiante her?
Hallo
Du hast eine achsensymmetrische Funktion 4 Grades, also der Form:
[mm] f(x)=ax^{4}+bx²+c
[/mm]
Und jetzt hast du einen Extrempunkt bei P(0/1), daraus kannst du dann folgende Bedignungen erstellen:
f(0)=1 (Punkt)
f'(0)=0 (Extremstelle bei x=0)
Wenn du jetzt noch f(2)=-3 "einbaust", hast du drei Bedingungen für drei unbekannte.
Marius
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Aber brauche ich bei einer funktion [mm] x^4 [/mm] nicht 5 punkte.
Und warum kann ich sagen der punkt (0/1) ist f(0)=1 und f`(0)=0
dann könnte ich das ja bei den andren extrama auch sagen aber dann hätte ich ja 6 punkte geben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Sa 25.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt wurde dir schon mehrfach gesagt, dass die fkt sym ist, du also keine ungeraden Exponenten hast.
Aber wenn du lieber Gleichungen mit 5 als mit 3 unbekannten loest, kannst du auch einfach deine 3 Punkte und 3 Ableitungen in die allgemeine fkt 4 ten grades einsetzen. es stellt sich dann heraus, dass eine der Gleichungen eigentlich ueberfluesig ist, aber das schad ja nicht.
Auch wenn du die sym gleichung nimmst mit 3 Unbekannten, hat sie von alleine schon ableitung 0 bei 0 (sonst koennte sie nicht sym sein.
ob du da also noch f'(0)=0 setzt bringt nichts neues, du hast 4 Gl. mit 3 Unbekannten, die eine ist von alleine erfuellt.
Gruss leduart
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egal was ich auch mache es kommt nur **** heraus.
Also:
[mm] f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
[/mm]
f`(x)= [mm] 4ax^3+3bx^2+2cx+d
[/mm]
f(0)=1 e=1
f`(0)=0 d=0
f(2)=-3 16a+8b+4c=-3 wie soll ich den hier weiter machen das geht doch nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Sa 25.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfach noch die naechsten 2 oder 3 Gleichungen hinschreiben.
dann das Gleichungssystem loesen.
immer 2 gleichungen so multiplizieren und dann addieren, dass eine unbekannte wegfaellt.
Gruss leduart
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ich bin so verwirrt das ich nicht merh weiss was ich da wirklich machen soll:
das aufstellen von den punkten will mir nicht in den kop wenn ich dann diese 5 punkte habe benutze ich das gaussverfahren um herrauszufinden was a b c d und e und f ist nur ich weiss beim besten willen nicht wie man auf einmal auf die punkte kommt:
Ich Notire mir als erstes die 3 extrema.
dann habe ich schoneinmal 3 Punkte geben.
Dann bilde ich die Ableitung von einem Hochpunkt und einem tiefpunkt?
also f(0)=0
und f(-2)=0
das macht dann zusammen 5 Punkte die geben sind ist das soweit richtig?
Falls es richtig sein sollte stelle ich jeweils zu jedem Punkt die Gleichung auf bzw. setzte x ein.
also [mm] f(x)=ax^4+bx^3+c^3+dx+e [/mm]
[mm] F´(x)=4ax^3+3bx^2+d
[/mm]
x werte einsetzen
f`(-2)= -32a+12b-4c+d=0
f`(0)=d=0
f(-2)= 16a-8b+4c+e=-3
f(2)= 16a+8b+4c+e=-3
f(0)= 1a+1b+1c+e=1
Und jetzt wende ich das gauss verfahren an um a b c d e herauszubekommen am ende setze ich an ab c d e die die Funktion ein [mm] f(x)=ax^4+bx^3+c^3+dx+e [/mm]
Ist diese Vorgehensweise richtig?
Was mir nur nicht in den Kopf geht ist, warum nehme ich nur eine Ableitung von den beiden Tiefpunkten?? wenn ich 2 nehmen würde hätte ich 6 Punkte geben ist es weil der Graph achsensymmetrisch ist??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Sa 25.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Peter
zum n.ten mal, du darfst alle 6 Gl. verwenden.
mach das doch!
2. die fkt ist sym, deshalb wuerden 3 Gleichungen genuegen, wenn du gleich b und d weglaesst. so kriegst du halt mit deinen 5 oder 6 Gl. raus, dass d und b 0 sind. Das schadet nichts.
Aber du solltest die posts genauer lesen und auch darauf eingehen.
Dazu gibts den Knopf zitieren, dann kannst du an jeder Stelle die du nicht verstanden hast nachfragen, oder kommentieren hab ich kapiert.
So hab ich den Eindruck, ich schreibe 10 Min. due liest 1 min. und stellst ohne den post verdaut zu haben die naechste Frage, die fast immer schon weiter oben beantwortet ist.
Gruss leduart
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ok.
kannst du mir den die lösung dafür geben dann kann ich vielleicht solnage herum knobeln bis ich es auf meine weise verstanden habe..
Gruß
peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Sa 25.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Peter
Nein , fertige Loesungen gibts bei uns nie.
Aber du hast, wenn du die posts noch mal ansiehst, alles was du brauchst und musst nur noch die aufgestellten gleichungen loesen. (Dann koennen iwr kontrollieren.)
Gruss leduart
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wie sieht die b dann aus?
hab mal was gmeahct
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d f`(x)=3ax^2+2bx+c
[/mm]
f`(0)=f`(3)=0 f``(1)=0
f`(0)=0 <> c=0
f`(3)=0 <> 27a+6b+c=0
f``(1)=0 <> 3a+2b+c=0
C=0
27a+6b=0
3a+2b=0
Muss ich jetzt nach einer der beiden variabeln auflösen?
Wenn ich das mache dann kommt herraus a =0 und b =0 und C=0 somit ein Wiederspruch?
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![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]"){kind=small}
Huch, wie kommst du darauf?
