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Forum "Differenzialrechnung" - Ganzrationale Funktion aufstel
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Ganzrationale Funktion aufstel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:25 So 26.08.2007
Autor: jaxon

Aufgabe
Bestimme eine ganzrationale Funktion dritten Grades, sodass für den Graphen der Funktion gilt:
H(-1|2) [H(1|0)] ist relativer Hochpunkt,W(0|0,5) Wendepunkt.

Ich habe jetzt die Bedingungen raus:f'(-1)=0
                                                           f(-1)=2
                                                           f''(0)=0
                                                           f(0)=0,5
Welche dieser angaben muss ich jetzt wo einsetzen um 3 Gleichungen rauszubekommen mit denen ich a,b,c ausrechnen kann?

        
Bezug
Ganzrationale Funktion aufstel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:34 So 26.08.2007
Autor: angela.h.b.


> Bestimme eine ganzrationale Funktion dritten Grades, sodass
> für den Graphen der Funktion gilt:
>  H(-1|2) [H(1|0)] ist relativer Hochpunkt,W(0|0,5)
> Wendepunkt.
>  Ich habe jetzt die Bedingungen raus:f'(-1)=0
>                                                            
> f(-1)=2
>                                                            
> f''(0)=0
>                                                            
> f(0)=0,5
>  Welche dieser angaben muss ich jetzt wo einsetzen um 3
> Gleichungen rauszubekommen mit denen ich a,b,c ausrechnen
> kann?

Hallo,

die von Dir aufgestellten Bedingungen sind völlig richtig, und Du wirst sie alle benötigen, denn Du hast 4(!) Variable a,b,c,d zu ermitteln.

Eine ganzrationale Funktion 3.Grades  hat die Gestalt [mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. [/mm]

Um weitermachen zu können, benötigst Du nun f'(x) und f''(x).

Dann setzt Du ein und erhältst 4 Gleichungen.

1. 0=f(-1)=...

2. [mm] 2=f(-1)=a(-1)^3+b(-1)^2+c(-1)+d=-a [/mm] + b - c +d

3. 0=f''(0)=...

4. 0.5=f(0)=...

Du hast dann ein lineares Gleichungsystem aus 4 Gleichungen mit 4 Variablen a,b,c,d, welches Du auflösen mußt.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Ganzrationale Funktion aufstel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 So 26.08.2007
Autor: jaxon

die gleichung ist ja f(x)= [mm] ax^3+bx^2+cx+d [/mm]
dann ist doch d=0 und man muss nur a,b,c ausrechnen oder nicht?
Mir sind die 4 punkte unten auch unklar :(

Bezug
                        
Bezug
Ganzrationale Funktion aufstel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 So 26.08.2007
Autor: espritgirl

Hey jaxon [winken],

> die gleichung ist ja f(x)= [mm]ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
>  dann ist doch d=0 und man muss nur a,b,c ausrechnen oder
> nicht?
>  Mir sind die 4 punkte unten auch unklar :(

Also, du hast die Funktion

f(x)= [mm] ax^{3} [/mm] + [mm] bx^{2} [/mm] + cx + d

Jetzt müssen die ersten zwei Ableitungen gebildet werden:

f'(x) = [mm] 3ax^{2} [/mm] + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b

Und das hier sind ja deine 4 Punkte:
f'(-1)=0
f(-1)=2
f''(0)=0
f(0)=0,5

Nehmen wir beispielsweise f(0)=0,5:

Du setzt diese Angaben jetzt einfach in die normale Funktionsgleichung ein:

f(x)= [mm] ax^{3} [/mm] + [mm] bx^{2} [/mm] + cx + d

f(0) = [mm] a*0^{3} [/mm] + [mm] b*0^{2} [/mm] + c*0 + d = 0,5
=> und das musst du so weit wie es geht vereinfachen

Wenn wir jetzt beispielsweise den Punkt
f''(0)=0
angucken, dann musst du diese Informationen (wie ich es in meinem Beispiel gemacht habe!) in die 2. Ableitung einsetzen.

Wenn noch Fragen sind, dann melde dich wieder ;-)


Liebe Grüße,

Sarah :-)



Bezug
                                
Bezug
Ganzrationale Funktion aufstel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Mo 27.08.2007
Autor: jaxon

in die gleichung in die du 0 eingesetzt hast,kommt dann da raus:f(0)=a+b+c?

Bezug
                                        
Bezug
Ganzrationale Funktion aufstel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 Mo 27.08.2007
Autor: espritgirl

Hey jaxon [winken],

> in die gleichung in die du 0 eingesetzt hast,kommt dann da
> raus:f(0)=a+b+c?

[notok]

[mm] f(x)=ax^{3} [/mm] + [mm] bx^{2} [/mm] + cx + d

[mm] f(0)=a0^{3} [/mm] + [mm] b0^{2} [/mm] + c*0 + d = 0,5
    = a*0 + b*0 + c*0 + d = 0,5
===> f(0)= d = 0,5


Liebe Grüße,

Sarah :-)

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