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Hallo allerseits,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt.
Folgende Aufgabe:
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion mit der Gleichung:
[mm] y=\bruch{1}{2}x^3-x^2-\bruch{5}{2}x+3
[/mm]
Da ich nicht gerne mit Brüchen rechne habe ich sie in Dezimal umgestellt.
So erhalte ich:
[mm] y=0,5x^3-x^2-2,5x+3
[/mm]
Um die Nullstellen mit der mir bekannten P-Q-Formel zu errechnen muß ich nun die Gleichung zunächst einmal auf die Normalform bringen.
Also mittels der Polynomdivision erstmal so teilen, daß ich keine [mm] x^3 [/mm] mehr in der Gleichung habe.
Hierzu muß ich also ertsmal ermitteln, mit welcher Zahl eingesetzt die Gleichung Null ergibt.
Also y ist Null.
Da gibt es nun meiner Meinung nach zwei Möglichkeiten:
Nämlich 1 und 3
Mit beiden Zahlen ergibt die Gleichung jeweils Null !!!
Mein Problem ist nun, das bei der Polynomdivison mit X-1 logischerweise etwas anderes herauskommt als bei x-3.
Und somit natürlich auch unterschiedliche Nullstellen.
Das richtige Ergebnis für die Nullstellen ist laut Lösungsbuch x01=2 ; x02=-1,5 ; x03=3
Das wäre auch das Ergebnis von mir, wenn ich bei der Polynomdivision mit x-3 gerechnet hätte.
Warum aber kann ich nicht auch mit x-1 rechnen...???
Das wäre meiner Meinung nach auch möglich, aber nach dem Ergebnis zu urteilen falsch!
Wo liegt hier mein Denkfehler.???
Vielleicht versteht jemand mein Problem und kann mir helfen.
Danke
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Hallo Stromberg!
Es ist natürlich völlig egal, mit welcher der maximal drei Nullstellen Du die  Polynomdivision durchführst. Es müssen anschließend insgesamt immer dieselben drei Nullstellen herauskommen.
Allerdings habe ich als dritte Nullstelle entgegen dem Lösungsbuch [mm] $x_{N3} [/mm] \ = \ -2$ erhalten [mm] ($x_{1} [/mm] \ = \ 1$ sowie [mm] $x_{N2} [/mm] \ = \ 3$ habe ich auch).
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Stromberg,
>
> Folgende Aufgabe:
> Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion mit der
> Gleichung:
>
> [mm]y=\bruch{1}{2}x^3-x^2-\bruch{5}{2}x+3[/mm]
>
> Da ich nicht gerne mit Brüchen rechne habe ich sie in
> Dezimal umgestellt.
> So erhalte ich:
>
> [mm]y=0,5x^3-x^2-2,5x+3[/mm]
das ist in diesem Fall nicht schlimm; du solltest dir aber angewöhnen, stets mit Brüchen zu rechnen, damit du nicht "aus Versehen" mal mit gerundeten Zahlen ($0,3 [mm] \ne \bruch{1}{3}$) [/mm] rechnest.
>
> Um die Nullstellen mit der mir bekannten P-Q-Formel zu
> errechnen muß ich nun die Gleichung zunächst einmal auf die
> Normalform bringen.
> Also mittels der Polynomdivision erstmal so teilen, daß
> ich keine [mm]x^3[/mm] mehr in der Gleichung habe.
>
> Hierzu muß ich also ertsmal ermitteln, mit welcher Zahl
> eingesetzt die Gleichung Null ergibt.
> Also y ist Null.
>
> Da gibt es nun meiner Meinung nach zwei Möglichkeiten:
>
> Nämlich 1 und 3
>
> Mit beiden Zahlen ergibt die Gleichung jeweils Null !!!
und nun kannst du auch gleich durch $(x-1)(x-3) = [mm] x^2 [/mm] - 4x + 3$ teilen und bekommst sofort die letzte Nullstelle heraus.
Versuch's mal!
>
> Mein Problem ist nun, das bei der Polynomdivison mit X-1
> logischerweise etwas anderes herauskommt als bei x-3.
>
Gruß informix
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Hallo nochmal,
um Missverständnisse zu vermeiden möchte ich nochmal folgendes klarstellen:
Bei der Gleichung:
[mm] y=\bruch{1}{2}x^3-x^2-\bruch{5}{2}x+3
[/mm]
muß ich ja eine Zahl einsetzten, damit y = Null wird.
Die möglichen Zahlen hierfür wären 1 oder 3.
Bei beiden Zahlen wird die Gleichung (Y) Null.
Also x-1 oder x-3
Beides funktioniert !!!
Mein Problem beginnt nun aber bei der Nullstellenberechnung.
Hier habe ich gelernt, daß ich den Term mittels der Polynomdivision teilen muß.
Also [mm] (0,5x^3-x^2-2,5x+3) [/mm] : (x-1) = 1. Möglichkeit
oder [mm] (0,5x^3-x^2-2,5x+3) [/mm] : (x-3) = 2. Möglichkeit
Bei Berechnung durch Polynomdivision kommt logischerweise ein unterschiedliches Ergebnis heraus.
Ich benötige doch aber das Ergebnis der Division um damit die Nullstellen mit Hilfe der P-Q-Formel zu berechnen.
Woher weiß ich nun ob ich mit : (x-1) oder : (x-3) rechnen soll???
Denn falsch ist ja eigentlich keiner der beiden Wege, oder???
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Hallo Stromberg!
Wie weiter oben geschrieben: es ist egal, mit welcher Nullstelle dur beginnst bzw. die Polynomdivision durchführst.
Letztendlich kommen (bei richtiger Rechnung) immer dieselben Nullstellen heraus.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo nochmal,
danke im übrigen für die schnellen Rückmeldungen.
Es ist mir klar und es scheint mir auch logisch, daß bei richtiger Berechnung immer die gleichen Nullstellen als Ergebnis rauskommen müssen.
Ich rechne nun aber schon eine ganze Weile herum und bekomme immer unterschiedliche Ergebnisse.
Vielleicht kann Mal jemand nachrechnen.
Ich teile (mittels Polynomdivision) folgende Gleichung:
[mm] (0,5x^3-x^2-2,5x+3) [/mm] : (x-1) = [mm] 0,5x^2-0,5x-3
[/mm]
Die (X-1) aus dem Grund, da wenn "1" in die Gleichung eingesetzt wird, y Null ergibt.
Nun könnte ich die gleiche Rechnung aber auch machen mit (x-3), da "3" eingesetzt in die Gleichung ebenfalls y = Null ergibt.
Also [mm] (0,5x^3-x^2-2,5x+3) [/mm] : (x-3) = [mm] 0,5x^2+0,5x-1
[/mm]
So...man kann erkennen, daß es zwei unterschiedliche Ergebnisse gibt.
Um nun die Nullstellen zu berechnen muß ich das Ergebnis (aus der ersten oder der zweiten Division) mit Hilfe der P-Q-Formel auflösen.
Und hier bekomme ich zwei unterschiedliche Ergebnisse.
Vielleicht kann Mal jemand die beiden Wege nachrechnen und mir mitteilen, warum ich unterschiedliche Nullstellen heraus bekomme.
Im Voraus schonmal besten Dank für eure Mithilfe
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Hi, stromberg,
Du kriegst die Nullstellen bei unterschiedlicher Polynomdivision nur in unterschiedlicher Reihenfolge:
Mal hast Du zuerst x=1 und kriegst nach der PD x=3 und x=-2;
mal hast Du zuerst x=3 und kriegst nach der PD x=1 und x=-2.
(Und wenn Du erst x=-2 geraten hättest, bekämst Du nach der PC durch (x+2) anschließend die Lösungen x=1 und x=3).
> Ich teile (mittels Polynomdivision) folgende Gleichung:
> [mm](0,5x^3-x^2-2,5x+3)[/mm] : (x-1) = [mm]0,5x^2-0,5x-3[/mm]
Schlau ist das natürlich nicht, denn wenn Du
[mm] 0,5x^3-x^2-2,5x+3 [/mm] = 0 setzt, hast Du nach Multiplikation mit 2:
[mm] x^{3} [/mm] - [mm] 2x^{2} [/mm] - 5x + 6 = 0
Demnach kannst Du bei der Rechnung ohne Brüche und ohne Kommazahlen auskommen:
[mm] (x^{3} [/mm] - [mm] 2x^{2} [/mm] - 5x + 6) : (x - 1) = [mm] x^{2} [/mm] - x - 6
Bei Dir kommt natürlich raus: [mm] 0,5x^{2} [/mm] - 0,5x - 3. Stimmt also schon mal!
> Nun könnte ich die gleiche Rechnung aber auch machen mit
> (x-3), da "3" eingesetzt in die Gleichung ebenfalls y =
> Null ergibt.
> Also [mm](0,5x^3-x^2-2,5x+3)[/mm] : (x-3) = [mm]0,5x^2+0,5x-1[/mm]
Stimmt auch!
> So...man kann erkennen, daß es zwei unterschiedliche
> Ergebnisse gibt.
Naja: Dass diese Ergebnisse unterschiedlich sind, ist doch logisch: Du hast ja auch unterschiedliche Divisionen durchgeführt!
Nimm' folgendes Zahlenbeispiel:
30:5 = 6
30:3 = 10
30:2 = 15
Dennoch ergibt sich aus allen 3 Ergebnissen: 30=2*3*5
> Um nun die Nullstellen zu berechnen muß ich das Ergebnis
> (aus der ersten oder der zweiten Division) mit Hilfe der
> P-Q-Formel auflösen.
>
> Und hier bekomme ich zwei unterschiedliche Ergebnisse.
Sicher!
Und zwar im ersten Fall: x=3 und x=-2;
im zweiten Fall: x=1 und x=-2.
Wenn Du nun alle drei Lösungen (einschließlich der anfangs geratenen) nebeneinanderschreibst, hast Du genau dieselben:
x=1; x=3; x=-2.
Was willst Du mehr?!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:19 Di 25.10.2005 | | Autor: | Stromberg |
Hallo nochmal,
ich steh leider immer noch auf dem Schlauch.
Nach Nutzung der P-Q-Formel bekomme ich bei der Gleichung:
[mm] 0,5x^2-0,5x-3 [/mm] folgende Nullstellen: x01=3; x02=2; x03=-1,5
bei
[mm] 0,5x^2+0,5x+1 [/mm] folgende Nullstellen: leere Menge
Ich finde einfach meinen Denkfehler nicht !!!
Ich müsste doch auch bei der unteren Gleichung die gleichen Nullstellen bekommen ?!?!? oder nicht
Vielleicht kann sich das nochmal jemand anschauen.
Aber vielen Dank für eure Hilfe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Di 25.10.2005 | | Autor: | Roadrunner |
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Sage mal ... hast Du vor Anwendung der p/q-Formel auch in die Normalform [mm] $\red{1}*x^2 [/mm] + p*x + q \ = \ 0$ umgeformt?
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Di 25.10.2005 | | Autor: | Stromberg |
Danke....habe es jetzt kapiert.
Super Hilfe von euch
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