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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Mo 27.10.2014 | | Autor: | SiFER |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen vom 3. Grad, deren Graph durch A (-2|2), B (0|2), und C (2|2) geht und die x-Achse berührt. |
0. Funktion 3. Grades
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx^1+d
[/mm]
0. Ableitungen
Erste Ableitung:
[mm] f'(x)=3ax^2+2bx^1+1c
[/mm]
Zweite Ableitung:
[mm] f''(x)=6ax^1+2b
[/mm]
1. f(-2)=-8a-4b-2x=0
2. f(0)=d=2
3. f(2)=8a+4b+2c=0
___________
Ansatz:
[1] "berührt die xAchse ==> folglich f(x)=0
[mm] f(x)=ax³+bx²+cx^1=-2
[/mm]
Doppelte Nullstelle?
Erste Ableitung? ==> Steigung? Warum = 0?
Zweite Ableitung? ==> WP?
[2] 1. und 3. gleichsetzen?
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Hallo SiFER,
etwas mehr Konzentration, bitte. 
> Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen vom 3. Grad,
> deren Graph durch A (-2|2), B (0|2), und C (2|2) geht und
> die x-Achse berührt.
> 0. Funktion 3. Grades
>
> [mm]f(x)=ax^3+bx^2+cx^1+d[/mm]
>
> 0. Ableitungen
>
> Erste Ableitung:
> [mm]f'(x)=3ax^2+2bx^1+1c[/mm]
>
> Zweite Ableitung:
> [mm]f''(x)=6ax^1+2b[/mm]
Soweit gut. Interessante Nummerierung...
> 1. f(-2)=-8a-4b-2x=0
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du hast da doch x=-2 eingesetzt. Da sollte also kein x mehr vorkommen.
> 2. f(0)=d=2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 3. f(2)=8a+4b+2c=0
Aha. d=2 ist schon eingesetzt. Darauf solltest Du hinweisen.
___________
> Ansatz:
>
> [1] "berührt die xAchse ==> folglich f(x)=0
>
> [mm]f(x)=ax³+bx²+cx^1=-2[/mm]
Im Prinzip ja. Es ist aber besser, wenn Du hier nicht das allgemeine x nimmst, sondern eine neue Variable, z.B. [mm] x_0 [/mm] oder [mm] x_N [/mm] oder [mm] \hat{x} [/mm] oder...
> Doppelte Nullstelle?
Jawoll.
> Erste Ableitung? ==> Steigung? Warum = 0?
Weil es sich doch um ein Minimum oder Maximum handeln muss.
> Zweite Ableitung? ==> WP?
Nein, wieso?
> [2] 1. und 3. gleichsetzen?
Oder gehackte Mandeln drüberstreuen. Klappt beides nicht. Probiers mal zu überbacken, aber da würde ich mir auch nicht zuviel davon versprechen.
Wie kommst du auf diese Idee?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Mo 27.10.2014 | | Autor: | SiFER |
Entschuldigung. Es handelte sich um einen Tippfehler.
1. f(-2)=-8a+4b-2c=0
3. f(2)=8a+4b+2c=0
Wenn ich 1. und 3. gleichsetze, dann erhalte ich (bzw. 1. mit 3. addiere):
-8a+8a+4b+4b-2c+2c=0
8b=0
Folglich wäre b=0 , stimmt das ? [mm] o_o'
[/mm]
d=2 (richtig, das habe ich bereits eingesetzt :P)
Warum handelt es sich um eine doppelte Nullstelle?
Warum handelt es sich nicht um eine dreifache Nullstelle?
Welche Formel muss ich für die doppelte Nullstelle anwenden?
Ist die Steigung am Minimum/Maximum = 0 ?
Weitere Hinweise?
Vielen Dank. Die Mandeln sind lecker :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Mo 27.10.2014 | | Autor: | chrisno |
> Entschuldigung. Es handelte sich um einen Tippfehler.
>
> 1. f(-2)=-8a+4b-2c=0
>
> 3. f(2)=8a+4b+2c=0
>
> Wenn ich 1. und 3. gleichsetze, dann erhalte ich (bzw. 1.
> mit 3. addiere):
>
> -8a+8a+4b+4b-2c+2c=0
> 8b=0
>
> Folglich wäre b=0 , stimmt das ? [mm]o_o'[/mm]
>
> d=2 (richtig, das habe ich bereits eingesetzt :P)
so weit wäre das geklärt.
>
> Warum handelt es sich um eine doppelte Nullstelle?
> Warum handelt es sich nicht um eine dreifache Nullstelle?
>
> Welche Formel muss ich für die doppelte Nullstelle
> anwenden?
>
Alles Fragen, die wahrscheinlich daher rühren, dass das Wort "berühren" noch nicht genau interpretiert wird. Ich sehe es im Gegensatz zu "schneiden". Also "kommt der Funktionsgraph von unten (oben) berührt die x-Achse und biegt wieder nach unten (oben) ab".
Nullstelle 1: an der Berührstelle gilt [mm] $f(x_b) [/mm] = 0$
Nullstelle 2: Damit der beschriebene Verlauf entsteht, muss ein lokales Extremum vorliegen, also [mm] $f'(x_b) [/mm] = 0$
Da es ein Extremum und nicht ein Sattelpunkt sein soll, sonst würde ja doch ein Schneiden entstehen, muss [mm] $f''(x_b) \ne [/mm] 0$ gelten.
Mehr wir nicht in der Aufgabe gefordert, also können keine weiteren Bedingungen entstehen.
> Ist die Steigung am Minimum/Maximum = 0 ?
>
Wenn das wirklich unklar ist, dann musst Du noch mal an das Thema "lokale Extrema" ran.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Di 28.10.2014 | | Autor: | abakus |
Hallo SiFER,
es handelt sich also um eine Funktion die an drei Stellen den Funktioinswert 2 hat.
Das erhält man aus einer Funktion, die an diesem drei Stellen Nullstellen besitzt um um 2 Einheiten nach oben verschoben wurde.
Die Darstellung dafür ist
f(x)=a*(x+2)*x*(x-2)+2.
Finde mit der ersten Ableiutung heraus, wo sie ihre Extremstellen hat. Passe dann a so an, dass an einer dieser beiden Stellen der Funktionswert 0 entsteht.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Di 28.10.2014 | | Autor: | SiFER |
f(x)=a*(x+2)*x*(x-2)+2
f(x)=a*(x+2)*x*(x-2)+2
[mm] f(x)=a*x^2+2x2-2^2*x*x^2-2*x-2-2^2+2
[/mm]
[mm] f(x)=a*x^2+4x+4*x*x^2-2*x-2+4+2
[/mm]
[mm] f(x)=a*x^2+8x*x^2+2x+4
[/mm]
f^'(x) =2ax+8*2x+2
X=-0,1
a=2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Di 28.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> f(x)=a*(x+2)*x*(x-2)+2
>
> f(x)=a*(x+2)*x*(x-2)+2
> [mm]f(x)=a*x^2+2x2-2^2*x*x^2-2*x-2-2^2+2[/mm]
> [mm]f(x)=a*x^2+4x+4*x*x^2-2*x-2+4+2[/mm]
> [mm]f(x)=a*x^2+8x*x^2+2x+4[/mm]
Das ist völlig falsch !
FRED
> f^'(x) =2ax+8*2x+2
>
> X=-0,1
> a=2
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Di 28.10.2014 | | Autor: | chrisno |
Da ich zu faul bin, genau bei Abakus nachzuforschen, wo das c geblieben ist, schlage ich folgendes vor:
Stand der Dinge: d = 2 und b = 0 sind bestimmt, bleiben noch a und c.
f(x) mit erster und zweiter Ableitung hinschreiben.
Die beiden Gleichungen, die ich schon gegeben habe hinschreiben.
Feststellen, dass sich aus f'(... = 0 eine quadratische Gleichung ergibt.
Diese lösen.
Dann anhalten, vielleicht lässt sich die Lösung in f( .... = 0 einsetzen.
Zum Schluss f'' untersuchen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Di 28.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Da ich zu faul bin, genau bei Abakus nachzuforschen, wo das
> c geblieben ist, schlage ich folgendes vor:
> Stand der Dinge: d = 2 und b = 0 sind bestimmt, bleiben
> noch a und c.
Hallo,
eine Funktion dritten Grades mit den Nullstellen -2, 0 und 2 ist
y=(x+2)*x*(x-2).
Alle Funktionen dritten Grades mit diesen Nullstellen lassen sich völlig ohne "c" darstellen mit
y=a*(x+2)*x*(x-2) .
Zwei Einheiten nach oben verschieben:
[mm] y=a*(x+2)*x*(x-2)+2=a*(x^3-4x)+2
[/mm]
Ableitung:
[mm] y'=a*(3x^2-4)
[/mm]
Gruß Abakus
> f(x) mit erster und zweiter Ableitung hinschreiben.
> Die beiden Gleichungen, die ich schon gegeben habe
> hinschreiben.
> Feststellen, dass sich aus f'(... = 0 eine quadratische
> Gleichung ergibt.
> Diese lösen.
> Dann anhalten, vielleicht lässt sich die Lösung in f(
> .... = 0 einsetzen.
> Zum Schluss f'' untersuchen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Mi 29.10.2014 | | Autor: | SiFER |
Chrisno,
soweit war ich vorher schon. Ich habe die Aufgabe nochmal neu begonnen.
Also ich habe folgendes ermittelt und benötige deine Hilfe.
I. f(x)= [mm] ax^3+cx+2=0
[/mm]
II. f'(x)= [mm] 3ax^2+c=0
[/mm]
III. f''(x)=6ax (muss ungleich 0 sein, weil wir kein SP haben)
II. [mm] f'(x)=3ax^2+c=0
[/mm]
=> c = [mm] -3x^2
[/mm]
Ich setze nun c aus II. in I. ein und erhalte:
f(x)=0
[mm] f(x)=ax^3(-3ax^2)+2=0
[/mm]
Nun habe ich mit dem Taschenrechner a=1 x=1 herausbekommen, aber das kann es ja nicht sein. Bitte einmal den nächsten Schritt erklären. Ich bin schon lange aus der Schule raus und mein Wissen ist eingestaubt. Sorry. Vielen Dank. :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Mi 29.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Chrisno,
>
> soweit war ich vorher schon. Ich habe die Aufgabe nochmal
> neu begonnen.
>
> Also ich habe folgendes ermittelt und benötige deine
> Hilfe.
>
>
> I. f(x)= [mm]ax^3+cx+2=0[/mm]
c kannst Du doch noch durch a ausdrücken.
> II. f'(x)= [mm]3ax^2+c=0[/mm]
> III. f''(x)=6ax (muss ungleich 0 sein, weil wir kein SP
> haben)
>
> II. [mm]f'(x)=3ax^2+c=0[/mm]
> => c = [mm]-3x^2[/mm]
>
> Ich setze nun c aus II. in I. ein und erhalte:
>
> f(x)=0
> [mm]f(x)=ax^3(-3ax^2)+2=0[/mm]
>
>
> Nun habe ich mit dem Taschenrechner a=1 x=1 herausbekommen,
> aber das kann es ja nicht sein. Bitte einmal den nächsten
> Schritt erklären. Ich bin schon lange aus der Schule raus
> und mein Wissen ist eingestaubt. Sorry. Vielen Dank. :)
Fangen wir noch mal von vorne an (den Weg, den Abakus vorgeschlagen hat, hast Du offenbar nicht verfolgt)
Sei [mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d.
[/mm]
Aus f(0)=2 folgt sofort d=2.
Aus f(2)=2 und f(-2)=2 bekommen wir die Gleichungen
(1) 2=8a+4b+2c+2
und
(2) 2=-8a+4b-2c+2.
Adiert man die Gleichungen (1) und (2), so erhält man
4=8b+4,
also b=0. Damit folgt aus (1), dass c=-4a ist.
Fazit: [mm] f(x)=ax^3-4ax+2.
[/mm]
Nun soll der Graph von f die x-Achse berühren. Das bedeutet: es gibt (mindestens) ein x [mm] \in \IR [/mm] mit
f'(x)=0 und f(x)=0.
Die Gleichung f(x)=0 hat 2 Lösungen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2. [/mm] Bestimme diese (sie sind unabhängig von a).
Setze dann [mm] x_1 [/mm] in f ein und betrachte die Gleichung [mm] f(x_1)=0. [/mm] Bestimme daraus den ersten Wert von a. Nenne ihn [mm] a_1.
[/mm]
Setze dann [mm] x_2 [/mm] in f ein und betrachte die Gleichung [mm] f(x_2)=0. [/mm] Bestimme daraus den zweiten Wert von a. Nenne ihn [mm] a_2.
[/mm]
Dann gibt es also 2 Funktionen, die alle Bedingungen erfüllen:
[mm] f_1(x)=a_1x^3-4a_1x [/mm] und [mm] f_2(x)=a_2x^3-4a_2x.
[/mm]
Fertig ist der Schuh (die 2. Ableitung braucht man nicht !)
FRED
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Mi 29.10.2014 | | Autor: | SiFER |
Hallo,
danke für deine Rückmeldung.
Wenn ich c=-4a in die Ausgangsgleichung einsetze, erhalte ich
[mm] f(x)=ax^3-4a*x
[/mm]
Super. Soweit war ich auch schon. Nur ich verstehe nicht, wie ich die Gleichung lösen kann, indem 2 Unbekannte sind. (a und x)
Nun sagst du, dass a unabhängig von x ist...Also nehme ich an, dass a=0 ist.
[mm] f(x)=x^3-4x=0
[/mm]
[mm] f(x)=x*(x^2-4)=0
[/mm]
x1= +2
x2= -2
Wenn ich die x-Werte in die Gleichung [mm] a*(+2)^3-4*a*(+2) [/mm] einsetze, dann erhalte ich a=0 , weil 8a-8a = 0
Sorry, es ist bestimmt einfacher als gedacht.
f'(x) = [mm] 3ax^2+bx+1c
[/mm]
f'(x) = [mm] 3ax^2+(0*x)+(-4a)
[/mm]
f'(x) = [mm] 3ax^2-4a
[/mm]
Wenn ich die erste Ableitung = 0 setze, dann habe ich eine quadratische Gleichung, die ich mittels Mitternachtsformel oder p-q Formel berechnen kann.
Demnach habe ich für x1= 1,547
und für x2=-1,547 raus.
Wenn ich diese Werte in die Ausgangsgleichung einsetze, dann erhalte ich
[mm] f(x)=a*1,55^3-4*1,55*a=0
[/mm]
Wo ist der Wurm? Ich habe wirklich nur Probleme mit dem Sachverhalt "berührt die x-Achse" und probiere gerade sämtliche Wege. Leider ohne Erfolg. Demotivierend. -.-
Danke schon mal..........
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Mi 29.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> danke für deine Rückmeldung.
>
> Wenn ich c=-4a in die Ausgangsgleichung einsetze, erhalte
> ich
>
> [mm]f(x)=ax^3-4a*x[/mm]
Ich hatte mich oben verschrieben. Richtig ist
[mm] f(x)=ax^3-4ax+2.
[/mm]
>
> Super. Soweit war ich auch schon. Nur ich verstehe nicht,
> wie ich die Gleichung lösen kann, indem 2 Unbekannte sind.
> (a und x)
>
> Nun sagst du, dass a unabhängig von x ist...Also nehme ich
> an, dass a=0 ist.
Unsinn !!!!
Es ist [mm] f'(x)=3ax^2-4a, [/mm] somit ist
f'(x)=0 [mm] \gdw 3x^2=4 \gdw x^2=\bruch{4}{3} \gdw [/mm] x= [mm] \pm \bruch{2}{\wurzel{3}},
[/mm]
Also: [mm] x_1=\bruch{2}{\wurzel{3}} [/mm] und [mm] $x_2= -\bruch{2}{\wurzel{3}}$
[/mm]
Bestimme nun aus
[mm] f(x_1)=0 [/mm] (bzw. [mm] f(x_2)=0) [/mm] die gesuchten Zahlen [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2.
[/mm]
FRED
>
> [mm]f(x)=x^3-4x=0[/mm]
> [mm]f(x)=x*(x^2-4)=0[/mm]
>
> x1= +2
> x2= -2
>
> Wenn ich die x-Werte in die Gleichung [mm]a*(+2)^3-4*a*(+2)[/mm]
> einsetze, dann erhalte ich a=0 , weil 8a-8a = 0
>
> Sorry, es ist bestimmt einfacher als gedacht.
>
> f'(x) = [mm]3ax^2+bx+1c[/mm]
> f'(x) = [mm]3ax^2+(0*x)+(-4a)[/mm]
> f'(x) = [mm]3ax^2-4a[/mm]
>
> Wenn ich die erste Ableitung = 0 setze, dann habe ich eine
> quadratische Gleichung, die ich mittels Mitternachtsformel
> oder p-q Formel berechnen kann.
>
> Demnach habe ich für x1= 1,547
> und für x2=-1,547 raus.
>
> Wenn ich diese Werte in die Ausgangsgleichung einsetze,
> dann erhalte ich
>
>
> [mm]f(x)=a*1,55^3-4*1,55*a=0[/mm]
>
>
> Wo ist der Wurm? Ich habe wirklich nur Probleme mit dem
> Sachverhalt "berührt die x-Achse" und probiere gerade
> sämtliche Wege. Leider ohne Erfolg. Demotivierend. -.-
>
> Danke schon mal..........
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:46 Mi 29.10.2014 | | Autor: | SiFER |
Genau ... soweit war ich auch schon ;)
x1 = +1,155 = [mm] 2*\wurzel{3}\3
[/mm]
x2 = -1,155
x1 in f(x)
$ [mm] f(x)=a\cdot{}1,55^3-4\cdot{}1,55\cdot{}a=0 [/mm] $
a1=20/31=0,65
f(x1) = [mm] 0,65*x^3-2,6x+2
[/mm]
x2 in f(x)
a2=-0,427
f(x2) = [mm] -0,43*x^3-1,71x+2
[/mm]
Voila? ;)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Mi 29.10.2014 | | Autor: | SiFER |
Kann mir einer eine geeignete Lektüre empfehlen?
Ich würde die ganzen Verfahren gerne aus dem Handgelenk schütteln.
& meine Defizite beheben. :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 29.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ina Brabandt